複素数と方程式｜２次方程式の整数解について

06/04/2021数学２

今回は、２次方程式の整数解について学習しましょう。２次方程式の解について、特定の条件が与えられており、そのときの係数や定数項を定めるのがここでの主題です。

解と係数の関係について、様々な事柄を学習してきましたが、この単元が最後となります。応用的な内容で難しく感じるかもしれませんが、じっくり取り組みましょう。

２次方程式の整数解

２次方程式が整数解をもつような係数や定数項を求める問題では、一般に、２つの解法があります。

方程式の整数解

(整数)×(整数)＝(整数)の形にする。
不等式で範囲を絞り込む。

基本的な方針としては、「(整数)×(整数)＝(整数)」の形にすることを目指しましょう。

(整数)×(整数)＝(整数)の形にする

「(整数)×(整数)＝(整数)」の形にする解法は、整数の組を求める問題でよく利用されます。

ただし、注意したいのは、与えられた２次方程式を使って「(整数)×(整数)＝(整数)」の形にするわけではないことです。

２次方程式の解と係数の関係を利用して、新たに２つの整数解α，βについての方程式を導く必要があります。この方程式を変形して「(整数)×(整数)＝(整数)」を導きます。

やはり解と係数の関係を利用します。求めるものが係数や定数項で、解に関する情報が提示してあれば、解と係数の関係を利用できないかを考えることが大切です。

不等式で範囲を絞り込む

不等式で範囲を絞り込む解法では、２次方程式の判別式を利用します。

２次方程式の係数が整数であれば、解と係数の関係から２次方程式は整数解をもちます。このとき「整数解ならば実数解であるから判別式Ｄ≧０」が成り立ちます。

判別式の条件から、係数についての不等式が得られます。この不等式を満たす整数値（係数）を求め、その中から２次方程式が整数解をもつものを絞り込んでいきます。

ただし、この解法では不等式を満たす整数値が無数にある場合があります。このような場合、整数解をもつ２次方程式を絞り込むことができません。

不等式で範囲を絞り込む解法では、上手くいく場合とそうでない場合があるということです。ですから、こちらの解法は次善の策にしておいた方が良いでしょう。

２次方程式の整数解を扱った例題

次の例題を考えてみましょう。

例題

$\begin{align*} &\text{$x$ に関する $2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-(m-7)x+m=0 \\[ 5pt ] &\text{の解がともに正の整数であるとき、} \\[ 5pt ] &\text{$m$ の値とそのときの解を求めよ。} \end{align*}$

例題の解答・解説

求めたいのは、係数や定数項にある文字ｍの値です。それに加えて、２次方程式の解も求めます。

２次方程式の解についての条件があり、求めたいのは係数や定数項にある文字ｍの値です。ですから、解と係数の関係を利用します。

例題の解答例 1⃣

$\begin{align*} &\text{$x$ に関する $2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-(m-7)x+m=0 \\[ 5pt ] &\text{の $2$ つの解を} \\[ 5pt ] &\quad \alpha \ , \ \beta \quad (\alpha \leqq \beta) \\[ 5pt ] &\text{とすると、解と係数の関係より} \\[ 5pt ] &\quad \alpha+\beta=m-7 \\[ 5pt ] &\quad \alpha \beta=m \end{align*}$

解と係数の関係から、α，βについての式を導くことができました。これらが文字ｍを共通にもつことに注目すると、α，βについての方程式を新たに導くことができます。

例題の解答例 2⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\quad \alpha+\beta=m-7 \\[ 5pt ] &\quad \alpha \beta=m \\[ 7pt ] &\text{$m$ を消去すると} \\[ 5pt ] &\quad \alpha+\beta=\alpha \beta-7 \end{align*}$

α，βについての方程式を変形して、「(整数)×(整数)＝(整数)」の形にします。

例題の解答例 3⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\quad \alpha+\beta=\alpha \beta-7 \\[ 7pt ] &\text{これを変形して} \\[ 5pt ] &\quad \alpha \beta-\left( \alpha+\beta \right)=7 \\[ 7pt ] &\quad \alpha \beta-\left( \alpha+\beta \right)+1=8 \\[ 7pt ] &\quad \left( \alpha-1 \right) \left( \beta-1 \right)=8 \quad \text{…①} \end{align*}$

これでようやく「(整数)×(整数)＝(整数)」の形を得ることができました。α－１とβ－１は、その積が８となる組合せであることが分かります。

２つの解α，βを用いて、(αの１次式)×(βの１次式)＝(整数)の形を作ろう。

ここで、２次方程式の解α，βが正の整数であることに注目します。①式の左辺について、２つの整数α－１，β－１についての条件を導くことができます。

例題の解答例 4⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\quad \left( \alpha-1 \right) \left( \beta-1 \right)=8 \quad \text{…①} \\[ 7pt ] &\text{$\alpha \ , \ \beta$ は正の整数であるので、$\alpha-1 \ , \ \beta-1$ は} \\[ 5pt ] &\quad \alpha-1 \geqq 0 \ , \ \beta-1 \geqq 0 \\[ 7pt ] &\text{を満たす整数である。} \\[ 5pt ] &\text{また、$\alpha \leqq \beta$ も考慮すると} \\[ 5pt ] &\quad \alpha-1 \leqq \beta-1 \end{align*}$

解答例4⃣の作業をしておかないと、不要な組合せを考えることになります。たとえば、α－１＝４，β－１＝２の組合せは不要です。無駄な組合せを除くために必要なので、しっかり記述しておきましょう。

条件を考慮して、整数α－１，β－１の組を書き出します。右辺が８なので、８の正の約数を考えます。

例題の解答例 5⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\text{よって、①を満たす $\alpha-1 \ , \ \beta-1$ の組は} \\[ 5pt ] &\quad ( \alpha-1 \ , \ \beta-1 )=( 1 \ , \ 8 ) \ , \ ( 2 \ , \ 4 ) \end{align*}$

先に条件を考えたので、２組だけで済みました。αとβの組を求めます。

例題の解答例 6⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\quad ( \alpha-1 \ , \ \beta-1 )=( 1 \ , \ 8 ) \ , \ ( 2 \ , \ 4 ) \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad ( \alpha \ , \ \beta )=( 2 \ , \ 9 ) \ , \ ( 3 \ , \ 5 ) \end{align*}$

最後に、文字ｍの値を忘れずに求めます。

例題の解答例 7⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\quad ( \alpha \ , \ \beta )=( 2 \ , \ 9 ) \ , \ ( 3 \ , \ 5 ) \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad m= \alpha \beta \\[ 7pt ] &\text{より} \\[ 5pt ] &\quad ( \alpha \ , \ \beta )=( 2 \ , \ 9 ) \ \text{のとき} \quad m=18 \\[ 7pt ] &\quad ( \alpha \ , \ \beta )=( 3 \ , \ 5 ) \ \text{のとき} \quad m=15 \\[ 7pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad \text{解が $x=2 \ , \ 9$ のとき} \quad m=18 \\[ 7pt ] &\quad \text{解が $x=3 \ , \ 5$ のとき} \quad m=15 \end{align*}$

整数の組を考えるとき、条件を出してからにしましょう。解の条件を上手に利用すれば、最低限の労力で整数の組を書き出すことができます。

例題の別解例

２次方程式を変形して、解が正の整数であることを利用して解くこともできます。２次方程式の解が整数であることを上手に利用した解法です。ただし、かなり難易度が高い解法なので、焦らずじっくり取り組みましょう。

例題の別解例

$\begin{align*} &\text{$2$ 次方程式を変形すると} \\[ 7pt ] &\quad m \left(x-1\right)=x^{\scriptsize{2}}+7x \\[ 7pt ] &\text{右辺について、$x$ が正の整数ならば右辺は正となる。} \\[ 5pt ] &\text{これより左辺について、$x \neq 1$ であり、$m$ も正の整数である。} \\[ 5pt ] &\text{両辺を $x-1 \ (\neq0)$ で割ると} \\[ 7pt ] &\quad m =\frac{x^{\scriptsize{2}}+7x}{x-1} \\[ 7pt ] &\text{右辺の分子を変形して} \\[ 7pt ] &\quad m =\frac{(x-1)(x+8)+8}{x-1} \\[ 7pt ] &\text{より} \\[ 7pt ] &\quad m =x+8+\frac{8}{x-1} \quad \text{…①} \\[ 7pt ] &\text{ここで、$m$ は正の整数であるので、右辺の分数も正の整数となる。} \\[ 5pt ] &\text{よって} \\[ 7pt ] &\quad x-1=1 \ , \ 2 \ , \ 4 \ , \ 8 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 7pt ] &\quad x=2 \ , \ 3 \ , \ 5 \ , \ 9 \\[ 7pt ] &\text{このとき、①より $m$ は順に} \\[ 7pt ] &\quad m=18 \ , \ 15 \ , \ 15 \ , \ 18 \\[ 7pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad \text{解が $x=2 \ , \ 9$ のとき} \quad m=18 \\[ 7pt ] &\quad \text{解が $x=3 \ , \ 5$ のとき} \quad m=15 \end{align*}$

分数の変形がやや難しいですが、たとえばグラフの漸近線を求めるときによく使われる変形です。

不等式で範囲を絞り込む解法で解く

不等式で範囲を絞り込む解法で例題を解いてみましょう。この解法では、判別式の条件を利用します。

不等式で範囲を絞り込む解法では上手くいかない例

$\begin{align*} &\text{$2$ 次方程式の解がともに正の整数ならば、} \\[ 5pt ] &\text{解はともに実数解である。} \\[ 5pt ] &\text{$2$ 次方程式の判別式を $D$ とすると} \\[ 5pt ] &\quad D = \bigl\{-(m-7)\bigr\}^{\scriptsize{2}}-4 \cdot 1 \cdot m \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad D = m^{\scriptsize{2}}-18m+49 \\[ 7pt ] &\text{$D \geqq 0$ より} \\[ 5pt ] &\quad m^{\scriptsize{2}}-18m+49 \geqq 0 \\[ 7pt ] &\text{これを解くと} \\[ 5pt ] &\quad m \leqq 9-4\sqrt{2} \ , \ 9+4\sqrt{2} \leqq m \quad \text{…①} \\[ 7pt ] &\text{解と係数の関係から $m$ は正の整数となるが、} \\[ 5pt ] &\text{①では $m$ が定まらない。} \end{align*}$

判別式から文字ｍについての不等式を導出して、その解を求めます。しかし、文字ｍの値の範囲が閉じた範囲になりません。このような場合、文字ｍが整数であるという条件が加わっても、その値は無数にあって定まりません。

文字ｍの値が無数にあれば、２次方程式も無数にあることになります。その中から整数解をもつ２次方程式を探すのは現実的ではありません。そうは言っても、この解法で上手くいく場合もあるので、全く無視して良いわけではありません。

次は、２次方程式の整数解を扱った問題を実際に解いてみましょう。

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Posted by kiri

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