複素数と方程式|2次方程式の整数解について

数学2整数解,複素数と方程式,2次方程式

2次方程式の整数解を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。


\begin{align*}
&\text{2次方程式 $x^{\scriptsize{2}}+(2+a)x+3-a=0$ が2つの整数解 $\alpha \ , \ \beta$ を} \\[ 5pt ]
&\text{もつとき、$a$ の値をすべて求めよ。}
\end{align*}

問の解答・解説

例題と同じ要領で進めていきます。「文字 a の値をすべて求めよ」とあるので、求める文字 a の値は複数あると考えましょう。

2次方程式の解についての条件があり、求めたいのは係数や定数項にある文字 a の値です。ですから、解と係数の関係を利用します。

問の解答例①
\begin{align*}
&\text{解と係数の関係より} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha+\beta=-a-2 \quad \text{…①} \\[ 7pt ]
&\quad \alpha \beta=-a+3 \quad \text{…②}
\end{align*}

解と係数の関係から、α,βについての式を導くことができました。これらはともに文字 a を共通にもちます。このことに注目すると、α,βについての方程式を新たに導くことができます。

問の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad \alpha+\beta=-a-2 \quad \text{…①} \\[ 7pt ]
&\quad \alpha \beta=-a+3 \quad \text{…②} \\[ 7pt ]
&\text{②-①より} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha \beta-\bigl( \alpha+\beta \bigr)=5
\end{align*}

α,βについての方程式を変形して、「(整数)×(整数)=(整数)」の形にします。

問の解答例③
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad \alpha \beta-\bigl( \alpha+\beta \bigr)=5 \\[ 7pt ]
&\text{この両辺に $1$ を加えると} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha \beta-\bigl( \alpha+\beta \bigr)+1=6 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( \alpha-1 \bigr) \bigl( \beta-1 \bigr)=6 \quad \text{…③}
\end{align*}

ようやく「(整数)×(整数)=(整数)」、すなわち「(αの1次式)×(βの1次式)=(整数)」の形を得ることができました。

左辺の積の組み合わせを考えるために、α-1,β-1の値について確認しておきます。

問の解答例④
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( \alpha-1 \bigr) \bigl( \beta-1 \bigr)=6 \quad \text{…③} \\[ 7pt ]
&\text{ここで、$\alpha \ , \ \beta$ はともに整数であるので、$\alpha-1 \ , \ \beta-1$ も整数である。} \\[ 5pt ]
&\text{また、$\alpha \leqq \beta$ とすると $\alpha-1 \leqq \beta-1$}
\end{align*}

例題とは異なり、α,βは単に整数です。例題のように、α-1,β-1はともに0以上であるとは言えません。注意しましょう。

この条件を考慮して、整数α-1,β-1の組を書き出します。右辺が6なので、6の約数を考えましょう。

問の解答例⑤
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\text{よって、③を満たす $\alpha-1 \ , \ \beta-1$ の組は} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( \alpha-1 \ , \ \beta-1 \bigr)=\bigl( 1 \ , \ 6 \bigr) \ , \ \bigl( 2 \ , \ 3 \bigr) \ , \ \bigl( -3 \ , \ -2 \bigr) \ , \ \bigl( -6 \ , \ -1 \bigr)
\end{align*}

α-1とβ-1はともに整数であるので、負の整数となることもあります。

整数:負の整数、0、正の整数(自然数)

αとβの組を求めます。

問の解答例⑤
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( \alpha-1 \ , \ \beta-1 \bigr)=\bigl( 1 \ , \ 6 \bigr) \ , \ \bigl( 2 \ , \ 3 \bigr) \ , \ \bigl( -3 \ , \ -2 \bigr) \ , \ \bigl( -6 \ , \ -1 \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( \alpha \ , \ \beta \bigr)=\bigl( 2 \ , \ 7 \bigr) \ , \ \bigl( 3 \ , \ 4 \bigr) \ , \ \bigl( -2 \ , \ -1 \bigr) \ , \ \bigl( -5 \ , \ 0 \bigr)
\end{align*}

最後に、文字 a の値を忘れずに求めます。

問の解答例⑥
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\text{①より} \\[ 5pt ]
&\quad a= -\bigl( \alpha+\beta+2 \bigr)\\[ 7pt ]
&\text{であるので} \\[ 5pt ]
&\quad a=-11 \ , \ -9 \ , \ 1 \ , \ 3
\end{align*}

文字 a の値を求めるとき、①式ではなく、②式を利用しても構いません。なお、蛇足ですが、文字 a の値と2次方程式の解との関係は以下のようになります。

参考
\begin{align*}
&\quad \text{$a=-11$ のとき、解は $x=2 \ , \ 7$} \\[ 7pt ]
&\quad \text{$a=-9$ のとき、解は $x=3 \ , \ 4$} \\[ 7pt ]
&\quad \text{$a=1$ のとき、解は $x=-2 \ , \ -1$} \\[ 7pt ]
&\quad \text{$a=3$ のとき、解は $x=-5 \ , \ 0$}
\end{align*}

問も例題と同じように、不等式で範囲を絞り込む解法では上手くいきません。この単元でのポイントは、解と係数の関係を知っているだけでなく、得られた式の使い方を知っておくことです。これは、公式や定理にも言えることです。

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さいごにもう一度まとめ

  • 2次方程式の解について条件があり、そのときの係数や定数項を求めるには、解と係数の関係を利用しよう。
  • 解と係数の関係から得られた2つの式から、新たな式を導こう。
  • (整数)×(整数)=(整数)の形を導こう。
  • 左辺や右辺の値についての条件も忘れずに考慮しよう。
  • 整数の組は約数を考えよう。