２次関数｜２次不等式の解法について（基本編）

12/28/2022数学１

２次不等式を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問１の解答・解説

問１

次の $2$ 次不等式を解け。

\begin{align*} \quad \left(x-2 \right)\left(x-3 \right) \gt 0 \end{align*}

２次不等式の左辺を良く観察しましょう。すでに左辺が因数分解されています。

また、２次の項の係数は正の数（展開してみよう）なので、下に凸のグラフを作図して考えます。

グラフ・値域・共有点のｘ座標の情報をもとに定義域、すなわち２次不等式の解を求めます。

問１の解答例

\begin{align*} \quad \left(x-2 \right)\left(x-3 \right) \gt 0 \end{align*}

より、求める解は

\begin{align*} \quad x \lt 2 \ , \ x \lt 3 \end{align*}

図示なしでも解けそうな易しい問題ですが、グラフとの関係を意識するために図示してから解きましょう。

問２の解答・解説

問２

次の $2$ 次不等式を解け。

\begin{align*} \quad x^{2}-3x-4 \leqq 0 \end{align*}

２次不等式の左辺をよく観察しましょう。

左辺を見ると、２次の項の係数は正の数（展開すると分かる）なので、下に凸のグラフで考えます。また、左辺を因数分解できるか確認します。

左辺を因数分解できるので、与式をそのまま利用して解きます。

問２の解答例

\begin{align*} \quad x^{2}-3x-4 \leqq 0 \end{align*}

与式の左辺を変形して

\begin{align*} \quad \left(x+1 \right)\left(x-4 \right) \leqq 0 \end{align*}

よって、求める解は

\begin{align*} \quad -1 \leqq x \leqq 4 \end{align*}

左辺を因数分解できれば、問１と同じ流れで解くことができます。

式を見て、因数分解できるかどうかを素早く判断しよう。

問３の解答・解説

問３

次の $2$ 次不等式を解け。

\begin{align*} \quad x^{2}-3x+1 \geqq 0 \end{align*}

２次不等式の左辺をよく観察しましょう。２次の項の係数が正の数であるので、下に凸のグラフを用いて考えます。

また、左辺を因数分解できるか確認します。残念ながら、左辺を因数分解できないようです。

因数分解が無理であれば、２次方程式を作りましょう。そして、解の公式を利用して２次方程式を解き、グラフとｘ軸との共有点のｘ座標を求めます。

問３の解答例 1⃣

\begin{align*} \quad x^{2}-3x+1 \geqq 0 \end{align*}

与式より

\begin{align*} \quad x^{2}-3x+1 = 0 \end{align*}

とおいて、これを解くと

\begin{align*} \quad x &= \frac{-(-3) \pm \sqrt{\left(-3 \right)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} \\[ 7pt ] &=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \end{align*}

解の公式が使えるのは、２次方程式の解を求めるときです。解の公式を利用すると２次方程式の解が得られるので、グラフと共有点のｘ座標が分かります。

２次不等式の左辺を因数分解できないときは、２次方程式を作って解の公式を利用。

グラフ・値域・共有点のｘ座標の情報をもとに定義域、すなわち２次不等式の解を求めます。もちろん、一般化された関係が分かっているので慣れたらそちらで解きましょう。

問３の解答例 2⃣

\begin{align*} \quad x^{2}-3x+1 \geqq 0 \end{align*} \begin{align*} \quad \vdots \end{align*} \begin{align*} \quad x &= \frac{-(-3) \pm \sqrt{\left(-3 \right)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} \\[ 7pt ] &=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \end{align*}

よって、求める解は

\begin{align*} \quad x \leqq \frac{3 – \sqrt{5}}{2} \ , \ \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \leqq x \end{align*}

問３のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

ここでで扱った２次不等式の解法は、基本的な解法です。基本的な解法では、不等式の左辺を因数分解できるかどうかがポイントです。

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