複素数と方程式｜２次方程式の解と係数の関係について

05/24/2021数学２

２次方程式の解と係数の関係を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問

次の $2$ 次方程式の $2$ つの解の和と積を求めよ。

$\begin{align*} &(1) \quad 2x^{\scriptsize{2}}+3x=0 \\[ 7pt ] &(2) \quad 3x^{\scriptsize{2}}+5=0 \end{align*}$

公式を利用するとき、公式の文字と代入する数との対応関係を正しく読み取りましょう。

問(1)の解答・解説

問(1)

次の $2$ 次方程式の $2$ つの解の和と積を求めよ。

$\begin{equation*} \quad 2x^{\scriptsize{2}}+3x=0 \end{equation*}$

解と係数の関係を利用するために、対応する数を正しく読み取ります。

問(1)の解答例 1⃣

$\begin{align*} &\text{与式を変形すると} \\[ 5pt ] &\quad 2x^{\scriptsize{2}}+3x = 2x^{\scriptsize{2}}+3x+0 \\[ 7pt ] &\text{よって、} \\[ 5pt ] &\quad a=2 \ , \ b=3 \ , \ c=0 \end{align*}$

与式には定数項がないことに注意しましょう。文字と数の対応関係が分かりました。ただし、答案を作成するとき、解答例1⃣を記述せずに、解答例2⃣から記述します。

解と係数の関係を表す式に、対応する数を代入して整理します。

問(1)の解答例 2⃣

$\begin{align*} &\quad 2x^{\scriptsize{2}}+3x \\[ 7pt ] &\text{解と係数の関係より、$2$ つの解の和は} \\[ 5pt ] &\quad -\frac{3}{2} \\[ 5pt ] &\text{同様に、$2$ つの解の積は} \\[ 5pt ] &\quad \frac{0}{2} = 0 \\[ 5pt ] &\text{よって、和は $-\frac{3}{2}$ 、積は $0$} \end{align*}$

２次方程式と言えば、基本は３項式です。２次の項、１次の項、定数項の３つです。２次方程式が３項式でないときには注意しましょう。

定数項がない＝定数項が０

問(2)の解答・解説

問(2)

次の $2$ 次方程式の $2$ つの解の和と積を求めよ。

$\begin{equation*} \quad 3x^{\scriptsize{2}}+5=0 \end{equation*}$

問(1)と同じように、解と係数の関係を利用するために、対応する数を正しく読み取ります。

問(2)の解答例 1⃣

$\begin{align*} &\text{与式を変形すると} \\[ 5pt ] &\quad 3x^{\scriptsize{2}}+5 = 3x^{\scriptsize{2}}+0 \cdot x+5 \\[ 7pt ] &\text{よって、} \\[ 5pt ] &\quad a=3 \ , \ b=0 \ , \ c=5 \end{align*}$

与式には１次の項がないことに注意しましょう。文字と数の対応関係が分かりました。ただし、答案を作成するとき、解答例1⃣を記述せずに、解答例2⃣から記述します。

解と係数の関係を表す式に、対応する数を代入して整理します。

問(2)の解答例 2⃣

$\begin{align*} &\text{解と係数の関係より、$2$ つの解の和は} \\[ 5pt ] &\quad -\frac{0}{3} = 0 \\[ 5pt ] &\text{同様に、$2$ つの解の積は} \\[ 5pt ] &\quad \frac{5}{3} \\[ 5pt ] &\text{よって、和は $0$ 、積は $\frac{5}{3}$} \end{align*}$

与式は２項からなる２次方程式です。３項式であることが基本なので、欠けた項を探しましょう。

１次の項がない＝１次の項の係数が０

解と係数の関係は、対称式と関連付けて出題されることが多いのが特徴です。対称式については、次の単元で学習します。それまでに解と係数の関係をきちんと理解しておきましょう。

Recommended books

オススメその１

予習の際に理解が進めば授業のスピードについていくことができ、復習や課題をこなす時間も少なくて済みます。予習や復習の補助教材に向いている教材が『とってもやさしい数学』シリーズです。

とってもやさしい数学１・Ａでは２冊とも中学で学習した内容にも触れており、中学内容と高校内容とのつながりを把握しやすい教材です。

一学期のうちは不安を抱えながら学習を進めていく人も多いかと思います。スタートで躓かないためにも易しく取り組みやすい教材を使うのも一つのやり方です。無理をして内容の難しい教材を使うよりもはるかに良いでしょう。

基礎的な内容を扱っているので、数学が苦手な人でも取り組みやすくなっています。興味のある人はぜひ一読してみて下さい。

『高校とってもやさしい数学１・Ａ改訂版その１』は「数と式」「２次関数」の単元を扱っています。

高校とってもやさしい数学１・Ａ改訂版その１

created by Rinker

『高校とってもやさしい数学１・Ａ改訂版その２』は「場合の数」「確率」「整数の性質」「図形の性質」「三角比」の単元を扱っています。

高校とってもやさしい数学１・Ａ改訂版その２

created by Rinker

オススメその２

『高校の数学Ｉ・Ａが１冊でしっかりわかる本』は、これ１冊で数学１・Ａの全範囲を復習できます。内容のレベルは「とってもやさしい」シリーズとそれほど変わらず、教科書レベルです。

本書と「とってもやさしい」シリーズのページ数を比較してみました。「とってもやさしい」シリーズは、１冊ごとのページ数が少ないのですが、分冊なのが難点です。

ページ数を比べると分かるように、本書の方が１冊でも遥かにページ数が少ないので、短時間でこなすことができます。

紹介した教材を使うとした場合、高校１年生であれば「とってもやさしい」シリーズで復習し、高校２，３年生であれば『高校の数学Ｉ・Ａが１冊でしっかりわかる本』と「とってもやさしい」シリーズを組み合わせて復習すると良いでしょう。

高校の数学Ｉ・Ａが１冊でしっかりわかる本

created by Rinker

こんな人に向いています

定期試験や大学受験のための基礎を固めて、成績を上げたい高校生へ。
医療看護系入試、高卒認定試験などの対策で、短期間で数学１・Ａを理解したい方へ。
学び直しや頭の体操をしたい大人の方へ。

さいごにもう一度まとめ

２次方程式の２つの解の和と積は、各項の係数や定数項で表される。
係数や定数項が負の数のとき、文字と数の対応関係に気を付けよう。
１次の項や定数項のない２次方程式には気を付けよう。
対称式を扱った式の値では、解と係数の関係がよく利用される。

数学２複素数と方程式,２次方程式,解と係数の関係

Posted by kiri

複素数と方程式｜解と係数の関係と対称式について

複素数と方程式｜係数に虚数のある２次方程式について