複素数と方程式｜余りの決定について

05/24/2021数学２

今回は、余りの決定について学習しましょう。ここでは、整式の割り算で出てくる余りについて考えます。この余りを決定するときにも剰余の定理を利用します。

整式の割り算

整式に限りませんが、割り算の問題では、割り算の基本公式を利用することがほとんどです。割り算の基本公式とは、商や余りを用いてもとの数や式を表した式です。

割り算の基本公式

$\begin{align*} &\text{同じ $1$ つの文字についての $2$ つの整式} \\[ 5pt ] &\quad A \ , \ B \quad (B \neq 0) \\[ 7pt ] &\text{において、$A$ を $B$ で割ったときの商を $Q$} \\[ 5pt ] &\text{余りを $R$ とすると} \\[ 5pt ] &\quad A = BQ + R \\[ 7pt ] &\text{ただし、$R$ は $0$ か、$B$ より次数の低い整式} \end{align*}$

割られる整式Ａは、割る整式Ｂ、商Ｑ、余りＲの３つを用いて表されます。特に、余りの条件は、余りを決定する問題では必須なので、きちんと覚えておきましょう。

余りと割る式の次数の関係

$\begin{align*} &\text{余り $R$ と割る式 $B$ の次数の関係は} \\[ 5pt ] &\quad ( \ \text{余り $R$ の次数} \ ) \ \lt \ ( \ \text{割る式 $B$ の次数} \ ) \\[ 7pt ] &\text{となる。} \end{align*}$

たとえば、割る式が２次式であれば、余りは１次式または定数、つまり１次式以下となります。

余りを決定してみよう

次の例題を考えてみましょう。

例題

$\begin{align*} &\text{整式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると $3$ 余り、} \\[ 5pt ] &\text{$2x+1$ で割ると $4$ 余る。} \\[ 5pt ] &\text{$P(x)$ を $(x-1)(2x+1)$ で割ったときの} \\[ 5pt ] &\text{余りを求めよ。} \end{align*}$

例題の解答・解説

整式がないと式の値を求めることができません。そうなると、剰余の定理を利用して、１次式で割った余りを調べることができません。

最初にすべきことは、割り算の基本公式を利用して、整式を商や余りで表すことです。

例題の解答例 1⃣

$\begin{align*} &\text{$P(x)$ を $(x-1)(2x+1)$ で割ったときの商を $Q(x)$} \\[ 5pt ] &\text{余りを $ax+b$ とすると、次の等式が成り立つ。} \\[ 5pt ] &\quad P(x)=\left(x-1 \right) \left(2x+1 \right)Q(x)+ax+b \quad \cdots \text{①} \end{align*}$

求めるものは２次式で割ったときの余りです。ですから、余りは１次式以下となるように定義します。

定義した余りには、２つの定数ａ，ｂが用いられています。これらの値を求めることが、余りを求めることになります。そのためには、定数ａ，ｂについての方程式が２つ必要です。

整式を１次式で割ったときの余りについて、２つの情報が与えられています。上手に活用すれば方程式を２つ用意できそうです。これらについて剰余の定理を利用します。

剰余の定理から、整式を１次式ｘ－１で割ったときの余りは、整式にｘ＝１を代入した式の値に等しくなります。

例題の解答例 2⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad P(x)=\left(x-1 \right) \left(2x+1 \right)Q(x)+ax+b \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\text{$P(x)$ を $x-1$ で割ったときの} \\[ 5pt ] &\text{余りが $3$ であるから} \\[ 5pt ] &\quad P(1)=3 \\[ 7pt ] &\text{①の両辺に $x=1$ を代入すると} \\[ 5pt ] &\quad P(1)=a+b \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad a+b=3 \quad \cdots \text{②} \end{align*}$

同じように剰余の定理から、整式を１次式２ｘ＋１で割ったときの余りは、整式にｘ＝－１/２を代入した式の値に等しくなります。

例題の解答例 3⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad P(x)=\left(x-1 \right) \left(2x+1 \right)Q(x)+ax+b \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad a+b=3 \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\text{また、$P(x)$ を $2x+1$ で割ったときの} \\[ 5pt ] &\text{余りが $4$ であるから} \\[ 5pt ] &\quad P\left(-\frac{1}{2} \right)=4 \\[ 7pt ] &\text{①の両辺に $x=-\frac{1}{2}$ を代入すると} \\[ 5pt ] &\quad P\left(-\frac{1}{2} \right)=-\frac{1}{2}a+b \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad -\frac{1}{2}a+b=4 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad -a+2b=8 \quad \cdots \text{③} \end{align*}$

定数ａ，ｂについての方程式を２つ導くことができました。これらを連立して解きます。

例題の解答例 4⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad P(x)=\left(x-1 \right) \left(2x+1 \right)Q(x)+ax+b \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad a+b=3 \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad -a+2b=8 \quad \cdots \text{③} \\[ 7pt ] &\text{②＋③} \\[ 5pt ] &\quad 3b=11 \quad \text{よって} \quad b=\frac{11}{3} \\[ 7pt ] &\text{これと②より} \\[ 5pt ] &\quad a+\frac{11}{3}=3 \quad \text{よって} \quad a=-\frac{2}{3} \\[ 7pt ] &\text{したがって、求める余りは} \\[ 5pt ] &\quad -\frac{2}{3}x+\frac{11}{3} \end{align*}$

余りを決定する問題は、割り算の基本公式と剰余の定理を組み合わせた問題です。剰余の定理を利用するために、整式を商や余りを用いて表せるようになっておきましょう。

複素数と方程式｜剰余の定理について

次は、余りの決定を扱った問題を実際に解いてみましょう。

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Posted by kiri

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