数列の極限｜はさみうちの原理を正しく使おう
「はさみうちの原理」の使い方のまとめ
さいごに「はさみうちの原理」の使い方をまとめてみましょう。3つのステップを踏みます。
ステップ１
- （ア）数列｛ｃn｝の極限値の予想はつくが、あくまでも予想である。（その値をαとする。）
- （イ）ｎ→∞のとき、数列｛ｃn｝が一定値に収束するかどうか予想がつかない。
２つの事柄(ア)，(イ)を確認したら、ステップ２に進みます。
ステップ２
- 数列｛ｃn｝よりつねに小さい数列｛ａn｝でαに収束するものを探す。
- 数列｛ｃn｝よりつねに大きい数列｛ｂn｝でαに収束するものを探す。
ステップ２で、数列{ａn}，{ｂn}が見つかったら、ステップ３に進みます。
ステップ３
- ｎ→∞のとき、ａn＜ｃn＜ｂn かつ ａn＝ｃn＝ｂn＝αより、$\small{ \displaystyle \lim_{ n \to \infty } c_n }$ の収束が保証される。
- その値は $\small{ \displaystyle \lim_{ n \to \infty } c_n = \alpha }$ である。
はさみうちの原理を使うときには、以上のようなステップを踏むようにしましょう。その際、極限が分からないものに対して、極限をとるようなことがないようにしましょう。
例題の記述例としては、解答例２の方が適切です。解答例１のような記述にならないように気を付けましょう。
解答例２
二項定理より、十分大きい $n$ に対して
\begin{align*} \quad 2^{n} = {(1+1)^{n}} = \displaystyle \sum_{ k = 0 }^{ n } {}_n \mathrm{ C }_k \gt \frac{n(n-1)}{2} \end{align*}となるので
\begin{align*} \quad 0 \lt \frac{n}{2^{n}} \lt \frac{n}{\frac{n(n-1)}{2}} = \frac{2}{n-1} \end{align*}が成り立つ。
\begin{align*} \quad \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{2}{n-1} = 0 \end{align*}が成り立つので、はさみうちの原理より
\begin{align*} \quad \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{n}{2^n} = 0 \end{align*}はさみうちの原理を利用するのであれば、不等式の両端の極限値を求めてから、真ん中の極限値を示す手順で進めよう。
Recommended books
数列の極限を基本から学習できる書籍です。気になる書籍があったら、ぜひ一読してみて下さい。
オススメその１
『大学入試１０日で極める数列・数列の極限』は、理系の人向けの問題集です。出版年月日が新しいので、近年の出題傾向を踏まえた内容になっています。傾向と対策は基本なので、ありがたい一冊です。
短期間で基礎から難関大突破レベルまで効率的に学習できる、理系数学の分野別入試問題集。主要大学の入試において、近年出題率の高い分野の問題を掲載。補充問題も充実。
オススメその２
数学３の演習であれば、『数学３基礎問題精講』の１冊でほとんど足ります。
本書は教科書から入試への橋渡しをコンセプトにした入試対策書です。
数学３を１２５のテーマに分け、基礎問→精講→解答→ポイント→演習問題で１つのテーマを完結していますのでスムーズに無理なく学習ができます。
また、一つのテーマは１ページもしくは２ページの見開きになっています。 旺文社ＨＰで、演習問題の解答をダウンロードできるようになりました。
旺文社公式サイト
難関大や医歯薬系であれば、『数学３ 標準問題精講』や『数学３ 上級問題精講』までやれば大丈夫でしょう。
以下、数学の読み物としてオススメです。あくまでも読み物なので、受験のためというよりも、教養を深めるために読むと良いでしょう。
オススメその３
『意味がわかれば数学の風景が見えてくる 改訂合本』は、「数学の風景が見える」シリーズ４冊が１冊になった合本です。
計算ができるようになることよりも「意味がわかること」に焦点が当てられているので、丁寧な解説になっています。ページ数が多いのは丁寧に解説してあるからです。
多くの読者の声にお応えして「数学の風景が見える」シリーズ４冊を１冊にまとめました！
新規原稿を加えるなどして新しく生まれ変わった本書は、７００ページを超えるボリュームですが、わかりやすい文章と見開き完結のスタイルでスラスラ読めます。「微分積分」「数と計算」「図形空間」「統計確率」の４部構成で、どちらから読んでもＯＫ。
本書を読めば、数学が今までとは違ったものに見えてくるでしょう。
数学が苦手な原因は、数式が単なる数や文字の羅列にしか見えていないからではないでしょうか。もしそうであれば、立式したり、式変形したりするのはかなり苦労するでしょう。
そのことを踏まえると、数式の表す意味を読み取る（数式を言葉に翻訳できる）能力はとても大切ではないかと思います。
本書ではそこに焦点を当てており、とても興味深い書籍です。本書を読めば、これまでとは違う景色が見えるかもしれません。
オススメその４
『生き抜くための高校数学 高校数学の全範囲の基礎が完璧にわかる本』は、高校数学の総復習に使える読み物です。ベストセラーの「新体系・高校数学の教科書」シリーズ著者の最高傑作と名高い一冊です。
- 高校数学１，２，３，Ａ，Ｂ，Ｃというアラカルト方式でもなく、計算問題、公式・定理といったテーマ別でもなく、「全範囲」の基礎がたった１冊で完璧にわかる！
- 語りかけ口調の文章だから、授業を受けているような感覚で、自然と数学に親しめる
- 生きた題材や役立つ雑談、ビジュアル要素がもりだくさんだから、数学を身近に感じられ、理解が深まる
- 中学数学からつまずいてしまった高校生や受験生にも、数学を学び直したい大学生や社会人にも最適!
- 数学を学ぶことを通じて、論理的に考える力や、客観的に説明する力、試行錯誤する力が身につく
「この本ならば、最後までやり抜くことができる。数学に苦手意識を持つ大人にも子どもにも使える好著。」と佐藤優氏（作家・元外務省主任分析官）が大絶賛したのが本書。
目安としては、数学３まで学んでいれば「新体系シリーズ」、中学から高校までの数学をほとんど理解していなければ「生き抜くためのシリーズ」が向いているでしょう。
