複素数と方程式｜２つの解の関係をもとにした係数の決定について（応用）

05/24/2021数学２

２つの解の関係をもとにした係数の決定を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問

$\begin{align*} &\quad \alpha \ , \ \beta \\[ 7pt ] &\text{を $2$ つの解とする $2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+ax+b=0 \\[ 7pt ] &\text{がある。} \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}} \ , \ {\beta}^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\text{もこの方程式の $2$ つの解であるような} \\[ 5pt ] &\text{定数 $a \ , \ b$ の値をすべて求めよ。} \end{align*}$

問の解答・解説

問で与えられた情報を整理しましょう。

与えられた情報を整理しよう

与えられた２次方程式はｘ²＋ａｘ＋ｂ＝０。
２つの解α，βをもつ。
α²，β²も解にもつ。
求めたいのは、定数ａ，ｂの値。

与えられた情報を整理してみましたが、少し違和感を感じるかもしれません。

２次方程式の２つの解はただ１組だけだと思っていたのに、問題文を読むとそうではないようです。与式はα，βとは別にもう１組の解α²，β²ももつようです。

２次方程式を満たす解が複数組あるかどうかの確認は後回しにして、まずは解いてみましょう。

定数ａ，ｂは２次方程式の係数や定数項です。２組の解それぞれについて、解と係数の関係を書き出してみましょう。

問の解答例 1⃣

$\begin{align*} &\quad x^{\scriptsize{2}}+ax+b=0 \\[ 7pt ] &\text{与式の解が $\alpha \ , \ \beta$ であるので} \\[ 5pt ] &\text{解と係数の関係より} \\[ 5pt ] &\quad \alpha+\beta=-a \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \alpha \beta=b \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\text{また、${\alpha}^{\scriptsize{2}} \ , \ {\beta}^{\scriptsize{2}}$ も与式の解であるので} \\[ 5pt ] &\text{解と係数の関係より} \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}}=-a \quad \cdots \text{③} \\[ 7pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}} {\beta}^{\scriptsize{2}}=b \quad \cdots \text{④} \end{align*}$

解と係数の関係から①～④式を得ることができました。

求めるのは定数ａ，ｂの値なので、①～④式から定数ａ，ｂについての方程式を導きます。ただし、式変形してから代入する必要があるので、例題よりもやや難しいですが、慌てずに進めていきます。

問の解答例 2⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \alpha+\beta=-a \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \alpha \beta=b \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}}=-a \quad \cdots \text{③} \\[ 7pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}} {\beta}^{\scriptsize{2}}=b \quad \cdots \text{④} \\[ 7pt ] &\text{③より} \\[ 5pt ] &\quad \left(\alpha+\beta \right)^{\scriptsize{2}}-2\alpha \beta=-a \\[ 7pt ] &\text{これに①，②を代入すると} \\[ 5pt ] &\quad \left(-a \right)^{\scriptsize{2}}-2b=-a \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad a^{\scriptsize{2}}-2b=-a \quad \cdots \text{⑤} \\[ 7pt ] &\text{②，④より} \\[ 5pt ] &\quad b^{\scriptsize{2}}=b \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad b\left(b-1 \right)=0 \quad \cdots \text{⑥} \end{align*}$

①～④式から定数ａ，ｂについての方程式を２つ導くことができました（⑤，⑥式）。例題と同じように、等式の性質を利用して解きます。

問の解答例 3⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad a^{\scriptsize{2}}-2b=-a \quad \cdots \text{⑤} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad b\left(b-1 \right)=0 \quad \cdots \text{⑥} \\[ 7pt ] &\text{⑥より} \\[ 5pt ] &\quad b=0 \quad \text{または} \quad b=1 \\[ 7pt ] &[1] \ b=0 \ \text{のとき、⑤より} \\[ 5pt ] &\quad a^{\scriptsize{2}}=-a \\[ 7pt ] &\text{これを解くと} \\[ 5pt ] &\quad a\left(a+1 \right)=0 \\[ 7pt ] &\text{より} \\[ 5pt ] &\quad a=-1 \ , \ 0 \\[ 7pt ] &[2] \ b=1 \ \text{のとき、⑤より} \\[ 5pt ] &\quad a^{\scriptsize{2}}-2=-a \\[ 7pt ] &\text{これを解くと} \\[ 5pt ] &\quad a^{\scriptsize{2}}+a-2=0 \\[ 7pt ] &\text{より} \\[ 5pt ] &\quad \left(a-1 \right)\left(a+2 \right)=0 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad a= -2 \ , \ 1 \\[ 7pt ] &[1] \ , \ [2] \ \text{から} \\[ 5pt ] &\quad (a \ , \ b)=(-2 \ , \ 1) \ , \ (-1 \ , \ 0) \ , \ (0 \ , \ 0) \ , \ (1 \ , \ 1) \end{align*}$

定数ａ，ｂの組が複数あるので注意しましょう。このような場合、座標と同じ要領で記述します。

定数ａ，ｂの組を記述するとき、求めた順で構いません。ここでは、定数ａの値の小さい方から順に書き並べています。

２次方程式が複数組の解をもつかどうかの確認

さきほど整理した情報は以下のようになります。

与えられた情報を整理しよう

与えられた２次方程式はｘ²＋ａｘ＋ｂ＝０。
２つの解α，βをもつ。
α²，β²も解にもつ。
求めたいのは、定数ａ，ｂの値。

このような条件を２次方程式が満たすのかを確認します。定数ａ，ｂの値は複数組ありますが、２組だけ確認しておきます。余裕があれば、他の組み合わせも確認してみましょう。

２次方程式が複数組の解をもつのかどうかの確認 1⃣

$\begin{align*} &\text{$a=-2 \ , \ b=1$ のとき、与式は} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-2x+1=0 \\[ 7pt ] &\text{となる。このときの解は} \\[ 5pt ] &\quad \left(x-1 \right)^{\scriptsize{2}}=0 \\[ 7pt ] &\text{より} \\[ 5pt ] &\quad x=1 \quad \text{（重解）} \\[ 7pt ] &\text{これより $\alpha \ , \ \beta$ は} \\[ 5pt ] &\quad \alpha =1 \ , \ \beta=1 \\[ 7pt ] &\text{となり、このとき ${\alpha}^{\scriptsize{2}} \ , \ {\beta}^{\scriptsize{2}}$ は} \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}}=1 \ , \ {\beta}^{\scriptsize{2}}=1 \\[ 7pt ] &\text{となる。} \\[ 5pt ] &\text{したがって、$a=-2 \ , \ b=1$ のとき} \\[ 5pt ] &\text{ $\alpha \ , \ \beta$ を解にもつ $2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+ax+b=0 \\[ 7pt ] &\text{は ${\alpha}^{\scriptsize{2}} \ , \ {\beta}^{\scriptsize{2}}$ も解にもつ。} \end{align*}$

もう１組についても確認します。

２次方程式が複数組の解をもつのかどうかの確認 2⃣

$\begin{align*} &\text{$a=1 \ , \ b=1$ のとき、与式は} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+x+1=0 \\[ 7pt ] &\text{となる。このときの解は、解の公式より} \\[ 5pt ] &\quad x=\frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2} \\[ 7pt ] &\text{これより $\alpha \ , \ \beta$ は} \\[ 5pt ] &\quad \alpha =\frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \\[ 7pt ] &\quad \beta=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \\[ 7pt ] &\text{（逆でも良い）} \\[ 7pt ] &\text{となり、このとき ${\alpha}^{\scriptsize{2}} \ , \ {\beta}^{\scriptsize{2}}$ は} \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}}=\left(\frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\quad {\beta}^{\scriptsize{2}}=\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\text{整理すると} \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}}=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \\[ 7pt ] &\quad {\beta}^{\scriptsize{2}}=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \\[ 7pt ] &\text{となる。} \\[ 5pt ] &\text{したがって、$a=1 \ , \ b=1$ のとき} \\[ 5pt ] &\text{ $\alpha \ , \ \beta$ を解にもつ $2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+ax+b=0 \\[ 7pt ] &\text{は ${\alpha}^{\scriptsize{2}} \ , \ {\beta}^{\scriptsize{2}}$ も解にもつ。} \end{align*}$

２次方程式がα，βを解にもち、さらにα²，β²も解にもつのは、解の組み合わせが同じになるときです。もちろん、このようなことは特定の係数の場合でしか成り立ちません。

結局、複数組の解をもつわけではないということです。文字だと解が複数組あるように感じますが、具体的な数で考えてみるとそうではないことが分かります。

「２次方程式の２つの解は、ただ１組だけである」ということで、最初に違和感を感じたのは間違いではなかったということです。

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