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複素数と方程式｜２次方程式の解と判別式について

数学２

今回は、２次方程式の解と判別式について学習しましょう。

２次方程式の解や判別式については、すでに数学１で学習していますが、そのときと異なることがあります。それは、数の範囲が広がっていることです。

数学１では実数までを扱っていましたが、この単元では実数だけでなく、虚数も含む複素数までを扱っています。ですから、解の種類についてもう少し詳細に分類できるようになります。

２次方程式の解法

２次方程式の解法には、主に２通りの解法が挙げられます。

２次方程式の解法

  • 解法１　因数分解して解を求める。
  • 解法２　解の公式に代入して解を求める。

一般に、解の公式を利用できれば、上手く因数分解できなくても、２次方程式の解を求めることができます。ここでは、解の公式に絞って解説します。

２次方程式の解の公式は、方程式の係数や定数項で表される式です。導出の過程を知っておくと、式の成り立ちをよく理解できるでしょう。

２次方程式の解の公式

a , b , c を実数とする。また、a≠0このとき、2 次方程式ax2+bx+c=0の解はx=−b±√b2−4ac2a特に、b=2b′ のとき、2 次方程式ax2+2b′x+c=0の解はx=−b′±√b′2−aca

解の公式が２つありますが、１次の項の係数が偶数かどうかで使い分けます。

公式を導出すると以下のようになります。式変形の訓練にちょうど良いので、力試しに取り組んでみると良いでしょう。

２次方程式の解の公式の導出 1⃣

ax2+bx+c=0a(x2+bax)+c=0（a でくくる）a{(x+b2a)2−(b2a)2}+c=0（平方完成）a{(x+b2a)2−b24a2}+c=0a(x+b2a)2−b24a+c=0（a で分配法則）a(x+b2a)2=b24a−c（左辺から右辺へ移項）a(x+b2a)2=b2−4ac4a（右辺を通分）(x+b2a)2=b2−4ac4a2（両辺を a で割る）x+b2a=±√b2−4ac4a2（両辺の平方根をとる）x+b2a=±√b2−4ac2ax=±√b2−4ac2a−b2a（左辺から右辺へ移項）x=−b±√b2−4ac2a（右辺を通分）

公式の導出を見ると分かるように、２次方程式の解の公式は、平方完成を利用して導出されます。

また、１次の項の係数が偶数のときは以下のようになります。

２次方程式の解の公式の導出 2⃣

特に、b=2b′ のとき

x=−2b′±√(2b′)2−4ac2a=−2b′±√4b′2−4ac2a=−2b′±√4(b′2−ac)2a=−2b′±2√b′2−ac2a=−b′±√b′2−aca

これまでの２次方程式では、整式を扱っていました。しかし、複素数を学習したこともあり、今後、方程式の係数はすべて実数として扱います。また、方程式の解は複素数の範囲で考えなければなりません。

方程式の係数が整数とは限らない。方程式の解も実数解だけとは限らない。

２次方程式の解の種類の判別

解の公式で得られる２次方程式の解を考えます。このとき、根号の中の式に注目すると、解を分類することができます。これが解の種類の判別です。

「負の数の平方根は存在しない」という平方根の定義を思い出しましょう。この定義を用いれば、根号の中にある式の値によって、解の種類を分類できることが分かるでしょう。

解の公式において、根号の中にある式に注目します。

判別式の定義 1⃣

2 次方程式ax2+bx+c=0の解はx=−b±√b2−4ac2aここで、D=b2−4acとおくとx=−b±√D2a

一般に、根号の中にある式をＤで表し、判別式と呼びます。

判別式という用語を知っていても、何を判別できるのかを説明できる人は意外と多くありません。２次方程式の解の種類を判別する式だから「判別式」と言います。

判別式＝２次方程式の解の種類を判別するための式

２次方程式の解を、判別式の値に応じて分類します。これまでと異なるのは、判別式の値が負のときです。

２次方程式の解の種類の判別

x=−b±√D2a(1) D>0 のとき、+√D と −√D が存在するので、2 次方程式は異なる 2 つの実数解をもつ。(2) D=0 のとき、±√D=0 となるので、2 次方程式は重解（ただ 1 つの実数解）をもつ。(3) D<0 のとき、負の数の平方根となるので、2 次方程式は異なる 2 つの虚数解をもつ。

まとめると以下のようになります。

２次方程式の解と判別式

x=−b±√D2a(1)D>0 ⇔ 異なる 2 つの実数解をもつ(2)D=0 ⇔ 重解をもつ(3)D<0 ⇔ 異なる 2 つの虚数解をもつなお、(1) と (2) をまとめてD≧

一般に判別式と言う場合、上記の式を覚えておけば問題ありません。

また、１次の項の係数が偶数のとき、判別式をもう少し簡単な式で表せます。計算が楽になるので、余裕があれば覚えておくと良いでしょう。

判別式の定義 2⃣

\begin{align*} &\text{$2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0 \\[ 7pt ] &\text{の解は} \\[ 5pt ] &\quad x= \frac{-b \pm \sqrt{b^{\scriptsize{2}}-4ac}}{2a} \\[ 7pt ] &\text{ここで、} \\[ 5pt ] &\quad D = b^{\scriptsize{2}}-4ac \\[ 7pt ] &\text{とおく。} \\[ 5pt ] &\text{$b=2b’$ のとき} \end{align*} \begin{align*} \quad D &= \left(2b’ \right)^{\scriptsize{2}}-4ac \\[ 7pt ] &= 4b’^{\scriptsize{2}}-4ac \end{align*} \begin{align*} &\text{両辺を $4$ で割ると} \\[ 5pt ] &\quad \frac{D}{4} = b’^{\scriptsize{2}}-ac \end{align*}

１次の項の係数が偶数のとき、判別式を４で割っても、判別式の値の正負には影響しません。ですから、このような変形をしても問題ありません。

１次の項の係数が偶数のときは、解の公式はもちろんですが、判別式も簡単な式になります。これらを利用すれば計算ミスを減らせるので、使いこなせるようにしておきましょう。

次は、２次方程式の解と判別式を扱った問題を実際に解いてみましょう。

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Posted by kiri