確率｜条件つき確率について
今回は条件つき確率について学習しましょう。入試では頻繁に出題されているので、今後も出題されると考えておいた方が無難です。しっかりマスターしておきましょう。
記事の画像が見辛いときはクリックすると拡大できます。
条件つき確率、乗法定理の定義
条件つき確率とは、２つの事象Ａ，Ｂについて、Ａが起こったという条件のもとでＢが起こる確率のことです。このＡが起こったという条件のもとでＢが起こる条件つき確率のことをＰA(Ｂ)と表します。
また、２つの事象Ａ，Ｂがともに起こる積事象の確率Ｐ(Ａ⋂Ｂ)は、Ａが起こる確率Ｐ(Ａ)とＡが起こったという条件のもとでＢが起こる条件つき確率ＰA(Ｂ)との積で表されます。これを乗法定理と言います。
乗法定理
事象 $A$ が起こる確率を $P(A)$、事象 $B$ が起こる確率を $P(B)$ とする。
$2$ つの事象 $A \ , \ B$ がともに起こる積事象の確率 $P(A \cap B)$ は、$A$ が起こる確率 $P(A)$ と $A$ が起こったという条件のもとで $B$ が起こる条件つき確率 $P_{A}(B)$ との積で表される。
\begin{align*} \quad P \left( A \cap B \right) = P(A) \times P_{A} \left( B \right) \end{align*}式や記号を見れば、条件つき確率ＰA(Ｂ)と積事象が起こる確率Ｐ(Ａ⋂Ｂ)とが異なるものだと分かります。
しかし、入試レベルの問題では、これらを区別するのは単なる暗記だと少々難しいです。たくさんの演習をこなして、２つの違いをしっかりと理解することが大切です。入試レベルの問題でもきちんと区別できるようにしておきましょう。
条件つき確率を求めよう
特定の事象を全事象に見立てる
事象Ａが起こったという条件のもとで事象Ｂが起こる確率のことを条件つき確率ＰA(Ｂ)と言います。この「事象Ａが起こったという条件のもと」の部分がポイントです。
「事象Ａが起こったという条件のもと」ということなので、事象Ａの中だけで考えれば良いということになります。言い換えると、事象Ａが全事象となったと捉えることができます。
このように全事象に見立てた特定の事象から無作為に選ぶときの話が条件つき確率の話になります。このことを理解しているだけでもかなり違います。普段の全事象Ｕとは異なるので注意しましょう。
条件つき確率では、事象Ａを全事象に見立てて考えるのがポイント。
２つの事象に共通な事象は積事象
以上のことから、条件つき確率ＰA(Ｂ)は、全事象に見立てた事象Ａから無作為に選んだものがＢに属する確率と捉えることができます。
ところで、事象Ａから無作為に選んだものが事象Ｂにも属するというのは、言い換えれば、事象Ａ，Ｂがともに起こる積事象Ａ⋂Ｂに属するということです。このことはベン図を見れば明らかです。
また、要素に注目すると、「事象Ａが起こったという条件のもとで事象Ｂが起こる」というのは、「事象Ａに属する要素の中で、事象Ｂにも属する要素である」ということです。
ですから、条件つき確率では、一方の事象の中で無作為に選んだ要素が、他方の事象にも属する共通の要素である確率を求めていることが分かります。
このことから、事象Ａが起こったという条件のもとで事象Ｂが起こる条件つき確率ＰA(Ｂ)は以下のような式で表されます。
条件つき確率ＰA(Ｂ)
事象 $A$ の要素の個数を $n(A)$、$2$ つの事象 $A \ , \ B$ がともに起こる積事象の要素の個数を $n(A \cap B)$ とする。
$A$ が起こったという条件のもとで $B$ が起こる条件つき確率 $P_{A}(B)$ は
\begin{align*} \quad P_{A} \left( B \right) &= \frac{n \left( A \cap B \right)}{n \left( A \right)} \\[ 10pt ] &= \cfrac{ \cfrac{n \left( A \cap B \right)}{n \left( U \right)} }{ \cfrac{n \left( A \right)}{n \left( U \right)} } \\[ 10pt ] &= \frac{P \left( A \cap B \right)}{P(A)} \end{align*}確率は場合の数で求めるのが基本ですが、条件つき確率でも同じように求めることができます。最初のうちは、各事象の要素から条件つき確率を求める方が簡単で理解しやすいと思います。
また、２～３行目のように、分母と分子を全事象Ｕの場合の数ｎ(Ｕ)でそれぞれ割ると、確率を用いて表すこともできます。
確率を用いる場合に注意したいのは、全事象Ｕに対する事象Ａや積事象Ａ⋂Ｂが起こる確率を用いることです。記号の意味を理解し、慣れてきたら、確率の方でも解いてみると良いでしょう。
なお、両辺にＰ(Ａ)を掛けると、乗法定理の式を導出できます。
条件つき確率では時間的な順序は関係ない
学習したての頃によく間違えるのは「事象Ａが起こったという条件のもとで」という表現の取り扱いです。
この表現から「事象Ａが先に起こり、その後に事象Ｂが起こる（起こらなければならない）」と解釈しがちです。このような解釈のままでいると、条件つき確率を扱った問題を解けるようにはなりません。
実は、事象Ａが起こったあとに事象Ｂが起こるとは限らない場合があります。２つの事象Ａ，Ｂには時間的な順序は関係ないことに注意しましょう。
具体例をいくつか見てみましょう。
条件つき確率の具体例その１
１～１０の１０個の整数から１個を無作為に選ぶとき、それが偶数であるという条件のもとで３の倍数である確率。
１０個の整数から１個を選ぶ試行は１回だけです。ですから、選んだ整数が偶数である事象と、選んだ整数が３の倍数である事象とは同時に起こっています。２つの事象に時間的な順序がついていないことが分かります。
条件つき確率の具体例その２
１０本中３本が当たりのくじをＸ，Ｙの順に１本ずつ引くとき、Ｙが当たりを引く（引いた）という条件のもとでＸが当たりを引く（引いていた）確率。ただし、引いたくじは戻さない。
Ｘ，Ｙの２人が順番にくじを引くので、２つの試行には時間的に順番がついています。しかし、事象Ａに相当するのは、Ｙが当たりを引く（引いた）事象です。これは、２回目の試行における事象です。
このように事象Ａに相当するものが時間的に後の結果であっても問題ありません。時間的な順序は無視するようにしましょう。
これまでをまとめると以下のようになります。
各種の確率の混同に注意しよう
学習したての頃は、各種の確率Ｐ(Ａ)，Ｐ(Ａ⋂Ｂ)，ＰA(Ｂ)をよく混同しやすいので注意しましょう。
それぞれの違いは、ベン図を利用するとよく理解することができます。字面だけでなく、図解しながら学習しましょう。
事象に属する要素（根元事象）に注目して違いをまとめると以下のようになります。
用語の違いを理解しよう
- 事象Ａが起こるＰ(Ａ) … 全事象Ｕの中から無作為に選んだ要素が、事象Ａに属する確率
- 積事象が起こるＰ(Ａ⋂Ｂ) … 全事象Ｕの中から無作為に選んだ要素が、積事象Ａ⋂Ｂに属する確率
- 条件つき確率ＰA(Ｂ) … 事象Ａの中から無作為に選んだ要素が、事象Ｂに属する確率
これまで扱ってきた確率では、全事象はすべての根元事象を含む事象Ｕでした。しかし、条件つき確率だと違います。
全事象となるのは、事象ＡやＢなどの特定の事象です。この違いを押さえておけば、条件つき確率をマスターするのも早いでしょう。
次は、条件つき確率を扱った問題を実際に解いてみましょう。