複素数と方程式|x,yに関する2次式の因数分解について

数学2

x,yに関する2次式の因数分解を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

$k$ を定数とする $2$ 次式 $x^{\scriptsize{2}}+3xy+2y^{\scriptsize{2}}-3x-5y+k$ が $x \ , \ y$ の $1$ 次式の積に因数分解できるとき、$k$ の値を求めよ。

また、そのときの因数分解の結果を求めよ。

問の解答・解説

例題と同じ要領で進めていきます。まず、xについての2次方程式を導きます。このとき、降べきの順に整理しておきましょう。

問の解答例 1⃣

\begin{align*} &\text{与式から} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+3xy+2y^{\scriptsize{2}}-3x-5y+k=0 \\[ 7pt ] &\text{とおいた方程式を $x$ についての $2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\text{と考えて} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+\left(3y-3 \right)x+ \left(2y^{\scriptsize{2}}-5y+k \right)=0 \quad \cdots \text{①} \end{align*}

xについての2次方程式と考えて、この方程式の解を求めます。そうすれば、方程式の左辺、すなわち与式を因数分解できます。

ここで、解の公式で解を求める前に、2次方程式の判別式を求めておきます。

問の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+\left(3y-3 \right)x+ \left(2y^{\scriptsize{2}}-5y+k \right)=0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\text{ここで、①の判別式を $D_{1}$ とすると、} \\[ 5pt ] &\quad D_{1}=\left(3y-3 \right)^{\scriptsize{2}}-4 \cdot 1 \cdot \left(2y^{\scriptsize{2}}-5y+k \right) \\[ 7pt ] &\text{これを整理すると} \\[ 5pt ] &\quad D_{1}=y^{\scriptsize{2}}+2y+9-4k \end{align*}

判別式が分かったので、①式の解を求めて与式を因数分解します。

問の解答例 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+\left(3y-3 \right)x+ \left(2y^{\scriptsize{2}}-5y+k \right)=0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad D_{1}=y^{\scriptsize{2}}+2y+9-4k \\[ 7pt ] &\text{よって、①の解は} \\[ 5pt ] &\quad x=\frac{-\left(3y-3 \right) \pm \sqrt{D_{1}}}{2} \\[ 7pt ] &\text{であるので、与式は} \\[ 5pt ] &\quad \text{(与式)} \ = \left\{ x- \frac{-\left(3y-3 \right) – \sqrt{D_{1}}}{2} \right\} \left\{ x- \frac{-\left(3y-3 \right) + \sqrt{D_{1}}}{2} \right\} \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\text{と変形できる。} \end{align*}

与式を因数分解できましたが、1次式の積であることが条件です。そのために、解が1次式である必要があります。根号の中の判別式に注目して条件を導きます。

根号の中の判別式は、yについての2次式です。これが完全平方式となるとき、解は1次式となります。このことについて答案に記述しておきます。また、yについての2次方程式の判別式も求めておきます。

問の解答例 4⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+\left(3y-3 \right)x+ \left(2y^{\scriptsize{2}}-5y+k \right)=0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad D_{1}=y^{\scriptsize{2}}+2y+9-4k \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \text{(与式)} \ = \left\{ x- \frac{-\left(3y-3 \right) – \sqrt{D_{1}}}{2} \right\} \left\{ x- \frac{-\left(3y-3 \right) + \sqrt{D_{1}}}{2} \right\} \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\text{与式が $x$ と $y$ の $1$ 次式の積に分解されるための} \\[ 5pt ] &\text{必要十分条件は、①の解が $y$ の $1$ 次式となること、} \\[ 5pt ] &\text{すなわち $D_{1}$ が $y$ の完全平方式となることである。} \\[ 5pt ] &\text{このとき、$D_{1}=0$ とおいた $y$ の $2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad y^{\scriptsize{2}}+2y+9-4k=0 \\[ 7pt ] &\text{の判別式を $D_{2}$ とすると} \\[ 5pt ] &\quad \frac{D_{2}}{4} = 1^{\scriptsize{2}}-1 \cdot \left(9-4k \right) \\[ 7pt ] &\text{これを整理すると} \\[ 5pt ] &\quad \frac{D_{2}}{4} = 4k-8 \end{align*}

yの2次式が完全平方式となるのは、yについての2次方程式が重解をもつときです。言い換えると、判別式の値が0となるときです。

このことを利用して、定数kについての方程式を導き、定数kの値を求めます。

問の解答例 5⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \frac{D_{2}}{4} = 4k-8 \\[ 7pt ] &\text{$D_{2}=0$ となればよいので} \\[ 5pt ] &\quad 4k-8=0 \\[ 7pt ] &\text{これを解くと} \\[ 5pt ] &\quad k=2 \end{align*}

例題ではここで終わりでしたが、問では因数分解の結果を示す必要があります。

求めた定数kの値を用いて、①式の解を求めます。これと合わせて、根号の中の判別式も確認しておきましょう。

問の解答例 6⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad D_{1}=y^{\scriptsize{2}}+2y+9-4k \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \text{(与式)} \ = \left\{ x- \frac{-\left(3y-3 \right) – \sqrt{D_{1}}}{2} \right\} \left\{ x- \frac{-\left(3y-3 \right) + \sqrt{D_{1}}}{2} \right\} \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad k=2 \\[ 7pt ] &\text{また、このとき $D_{1}$ は} \\[ 5pt ] &\quad D_{1}=y^{\scriptsize{2}}+2y+9-4 \cdot 2 \\[ 7pt ] &\text{より} \\[ 5pt ] &\quad D_{1}=y^{\scriptsize{2}}+2y+1 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad D_{1}=\left(y+1 \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\text{したがって、①の解は} \\[ 5pt ] &\quad x=\frac{-\left(3y-3 \right) \pm \sqrt{ \left(y+1 \right)^{\scriptsize{2}} }}{2} \\[ 7pt ] &\text{より} \\[ 5pt ] &\quad x=\frac{-\left(3y-3 \right) \pm \left(y+1 \right) }{2} \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad x=-y+2 \ , \ -2y+1 \end{align*}

yの2次式D1が完全平方式になったので、根号が無事に消えました。その結果、①式の解がちゃんと1次式になっています。

①式の解が分かったので、因数分解の結果を示します。

問の解答例 7⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \text{(与式)} \ = \left\{ x- \frac{-\left(3y-3 \right) – \sqrt{D_{1}}}{2} \right\} \left\{ x- \frac{-\left(3y-3 \right) + \sqrt{D_{1}}}{2} \right\} \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad x=-y+2 \ , \ -2y+1 \\[ 7pt ] &\text{これより、②は} \\[ 5pt ] &\quad \text{(与式)} \ = \left\{ x- \left(-y+2 \right) \right\} \left\{ x- \left(-2y+1 \right) \right\} \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad \text{(与式)} \ = \left(x+y-2 \right) \left(x+2y-1 \right) \end{align*}

最後の最後で符号ミスをしないように気を付けましょう。多項式を代入するときは、つねにカッコでくくっておくと符号ミスを防げます。

多項式を代入するときは、カッコでくくっておこう。

問の別解例

例題と同じ要領で解答例を記述しましたが、恒等式の考えを用いて解くこともできます。

与式をよく観察すると、与式の一部(別解例①の下線部分)が因数分解できることに気付きます。

問の別解例 1⃣

\begin{align*} &\quad \underline{x^{\scriptsize{2}}+3xy+2y^{\scriptsize{2}} }-3x-5y+k \\[ 7pt ] &\text{与式が $1$ 次式の積に因数分解されるとき、} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+3xy+2y^{\scriptsize{2}}= \left(x+y \right) \left(x+2y \right) \\[ 7pt ] &\text{に着目する。} \end{align*}

このような1次式の積が出てくるのは、与式の因数がその一部にこれらを含むからです。このことを利用します。

問の別解例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \underline{x^{\scriptsize{2}}+3xy+2y^{\scriptsize{2}} }-3x-5y+k \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+3xy+2y^{\scriptsize{2}}= \left(x+y \right) \left(x+2y \right) \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\text{これより、与式は} \\[ 5pt ] &\quad \text{(与式)} \ = \left(x+y+a \right) \left(x+2y+b \right) \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\text{と因数分解される。} \end{align*}

①式の右辺を展開します。

問の別解例 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \text{(与式)} \ = \left(x+y+a \right) \left(x+2y+b \right) \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\text{①の右辺を展開すると} \\[ 5pt ] &\qquad \left(x+y+a \right) \left(x+2y+b \right) \\[ 7pt ] &\quad = \left(x+y \right) \left(x+2y \right)+b \left(x+y \right) +a \left(x+2y \right) +ab \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\qquad \left(x+y+a \right) \left(x+2y+b \right) \\[ 7pt ] &\quad = x^{\scriptsize{2}}+3xy+2y^{\scriptsize{2}}+\left(a+b \right)x +\left(2a+b \right)y +ab \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad ( \ \text{与式} \ ) \\[ 7pt ] &\quad = x^{\scriptsize{2}}+3xy+2y^{\scriptsize{2}}+\left(a+b \right)x +\left(2a+b \right)y +ab \quad \cdots \text{②} \end{align*}

②式において、恒等式の考えを利用して、対応する項の係数を比較します。

問の別解例 4⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \text{(与式)} \ = \left(x+y+a \right) \left(x+2y+b \right) \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad ( \ \text{与式} \ ) \\[ 7pt ] &\quad = x^{\scriptsize{2}}+3xy+2y^{\scriptsize{2}}+\left(a+b \right)x +\left(2a+b \right)y +ab \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\text{②より、与式の各項と係数を比較すると} \\[ 5pt ] &\quad a+b=-3 \quad \cdots \text{③} \\[ 7pt ] &\quad 2a+b=-5 \quad \cdots \text{④} \\[ 7pt ] &\quad ab=k \quad \cdots \text{⑤} \\[ 7pt ] &\text{③,④より} \\[ 5pt ] &\quad a=-2 \ , \ b=-1 \\[ 7pt ] &\text{これと⑤より} \\[ 5pt ] &\quad k=2 \\[ 7pt ] &\text{よって、与式は①より} \\[ 5pt ] &\quad \text{(与式)} \ = \left(x+y-2 \right) \left(x+2y-1 \right) \end{align*}

この解法で解くには、①式を作れるかどうかに掛かっています。

恒等式の考え方を利用した解法の方が、いくらか取り組みやすいかもしれません。判別式を利用する解法に比べて、あまり難しいことを考えなくて済みます。

それに対して、判別式を利用する解法では、2次式から2次方程式を作ったり、複数の判別式が出てきたりするので、慣れるまでは理解に苦しむかもしれません。

わりと難しい部類に入る問題ですが、何度もやり直して理解を深めましょう。

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さいごにもう一度まとめ

  • 2次式に複数種類の文字が含まれる場合、特定の文字に注目しよう。
  • 2次式を因数分解するとき、2次方程式を作って解を求めることで、2次式の因数が分かる。
  • 2次方程式の解が1次式となるには、根号の中の2次式が完全平方式となるとき。
  • 2次式が完全平方式となるのは、2次方程式が重解をもつ、すなわち判別式の値が0となるとき。
  • 多項式を代入するときは、カッコでくくった状態で代入しよう。