複素数と方程式|x,yに関する2次式の因数分解について

数学2判別式,因数分解,複素数と方程式,2次方程式

x,yに関する2次式の因数分解を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。


\begin{align*}
&\text{$k$ を定数とする2次式 $x^{\scriptsize{2}}+3xy+2y^{\scriptsize{2}}-3x-5y+k$ が $x \ , \ y$ の} \\[ 5pt ]
&\text{1次式の積に因数分解できるとき、$k$ の値を求めよ。} \\[ 5pt ]
&\text{また、そのときの因数分解の結果を求めよ。}
\end{align*}

問の解答・解説

例題と同じ要領で進めていきます。まず、文字 x についての2次方程式を導きます。このとき、降べきの順に整理しておきましょう。

問の解答例①
\begin{align*}
&\text{(与式)=0とおいた方程式を $x$ について2次方程式と考えて} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}+\bigl(3y-3 \bigr)x+ \bigl(2y^{\scriptsize{2}}-5y+k \bigr)=0 \quad \text{…①}
\end{align*}

文字 x についての2次方程式と考えたとき、この方程式の解を求めれば、方程式の左辺、すなわち与式を因数分解できます。ここで、解の公式で解を求める前に、2次方程式の判別式を求めておきます。

問の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}+\bigl(3y-3 \bigr)x+ \bigl(2y^{\scriptsize{2}}-5y+k \bigr)=0 \quad \text{…①} \\[ 7pt ]
&\text{ここで、①の判別式を $D_{1}$ とすると、} \\[ 5pt ]
&\quad D_{1}=\bigl(3y-3 \bigr)^{\scriptsize{2}}-4 \cdot 1 \cdot \bigl(2y^{\scriptsize{2}}-5y+k \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{これを整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad D_{1}=y^{\scriptsize{2}}+2y+9-4k
\end{align*}

判別式が分かったので、①式の解を求めて与式を因数分解します。

問の解答例③
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\text{よって、①の解は} \\[ 5pt ]
&\quad x=\frac{-\bigl(3y-3 \bigr) \pm \sqrt{D_{1}}}{2} \\[ 7pt ]
&\text{であるので、与式は} \\[ 5pt ]
&\quad \text{(与式)} \ = \Biggl\{ x- \frac{-\bigl(3y-3 \bigr) – \sqrt{D_{1}}}{2} \Biggr\} \Biggl\{ x- \frac{-\bigl(3y-3 \bigr) + \sqrt{D_{1}}}{2} \Biggr\} \quad \text{…②} \\[ 7pt ]
&\text{と変形できる。}
\end{align*}

与式を因数分解できましたが、1次式の積であることが条件です。そのために、解が1次式である必要があります。根号の中の判別式に注目して条件を導きます。

根号の中の判別式、すなわち文字 y の2次式が完全平方式となるとき、解は1次式となります。このことについて答案に記述しておきます。また、判別式を求めておきます。

問の解答例④
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\text{与式が $x$ と $y$ の1次式の積に分解されるための必要十分条件は、} \\[ 5pt ]
&\text{①の解が $y$ の1次式となること、すなわち $D_{1}$ が $y$ の完全平方式} \\[ 5pt ]
&\text{となることである。} \\[ 5pt ]
&\text{このとき、$D_{1}=0$ とおいた $y$ の2次方程式} \\[ 5pt ]
&\quad y^{\scriptsize{2}}+2y+9-4k=0 \\[ 7pt ]
&\text{の判別式を $D_{2}$ とすると} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{D_{2}}{4} = 1^{\scriptsize{2}}-1 \cdot \bigl( 9-4k \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{これを整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{D_{2}}{4} = 4k-8
\end{align*}

根号の中にある文字 y の2次式が完全平方式となるのは、文字 y についての2次方程式が重解をもつときです。これは、判別式の値が0となるときです。このことから、定数 k についての方程式を導き、その値を求めます。

問の解答例⑤
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad \frac{D_{2}}{4} = 4k-8 \\[ 7pt ]
&\text{$D_{2}=0$ となればよいので} \\[ 5pt ]
&\quad 4k-8=0 \\[ 7pt ]
&\text{これを解くと} \\[ 5pt ]
&\quad k=2
\end{align*}

定数 k の値が分かったので、このときの因数分解の結果を求めます。そのために、①式の解を求めます。これと合わせて、根号の中の判別式も確認しておきましょう。

問の解答例⑥
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad k=2 \\[ 7pt ]
&\text{また、このとき $D_{1}$ は} \\[ 5pt ]
&\quad D_{1}=y^{\scriptsize{2}}+2y+9-4 \cdot 2 \\[ 7pt ]
&\text{より} \\[ 5pt ]
&\quad D_{1}=y^{\scriptsize{2}}+2y+1 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad D_{1}=\bigl(y+1 \bigr)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ]
&\text{したがって、①の解は} \\[ 5pt ]
&\quad x=\frac{-\bigl(3y-3 \bigr) \pm \sqrt{ \bigl(y+1 \bigr)^{\scriptsize{2}} }}{2} \\[ 7pt ]
&\text{より} \\[ 5pt ]
&\quad x=\frac{-\bigl(3y-3 \bigr) \pm \bigl(y+1 \bigr) }{2} \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad x=-y+2 \ , \ -2y+1
\end{align*}

①式の解が分かったので、因数分解の結果を示します。

問の解答例⑦
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad x=-y+2 \ , \ -2y+1 \\[ 7pt ]
&\text{これより、②は} \\[ 5pt ]
&\quad \text{(与式)} \ = \Bigl\{ x- \bigl(-y+2 \bigr) \Bigr\} \Bigl\{ x- \bigl(-2y+1 \bigr) \Bigr\} \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad \text{(与式)} \ = \bigl( x+y-2 \bigr) \bigl( x+2y-1 \bigr)
\end{align*}

最後の最後で符号ミスをしないように気を付けましょう。多項式を代入するときは、つねにカッコでくくっておくとミスを防げます。

多項式を代入するときは、カッコでくくっておこう。

問の別解例

例題と同じ要領で解答例を記述しましたが、恒等式の知識を用いて解くこともできます。与式をよく観察すると、与式の一部(別解例①の下線部分)が因数分解できることに気付きます。

問の別解例①
\begin{align*}
&\quad \underline{x^{\scriptsize{2}}+3xy+2y^{\scriptsize{2}} }-3x-5y+k \\[ 7pt ]
&\text{与式が1次式の積に因数分解されるとき、} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}+3xy+2y^{\scriptsize{2}}= \bigl(x+y \bigr) \bigl(x+2y \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{に着目する。}
\end{align*}

このような1次式の積が出てくるのは、与式の因数がその一部にこれらを含むからです。このことを利用します。

問の別解例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\text{これより、与式は} \\[ 5pt ]
&\quad \text{(与式)} \ = \bigl(x+y+a \bigr) \bigl(x+2y+b \bigr) \quad \text{…①} \\[ 7pt ]
&\text{と因数分解される。}
\end{align*}

①式の右辺を展開します。

問の別解例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\text{①の右辺を展開すると} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl(x+y+a \bigr) \bigl(x+2y+b \bigr)= \bigl(x+y \bigr) \bigl(x+2y \bigr)+b \bigl(x+y \bigr) +a \bigl(x+2y \bigr) +ab \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl(x+y+a \bigr) \bigl(x+2y+b \bigr)= x^{\scriptsize{2}}+3xy+2y^{\scriptsize{2}}+\bigl(a+b \bigr)x +\bigl(2a+b \bigr)y +ab \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad \text{(与式)} \ = x^{\scriptsize{2}}+3xy+2y^{\scriptsize{2}}+\bigl(a+b \bigr)x +\bigl(2a+b \bigr)y +ab \quad \text{…②}
\end{align*}

②式において、恒等式の考えを利用して、対応する項の係数を比較します。

問の別解例③
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\text{②より、与式の各項と係数を比較すると} \\[ 5pt ]
&\quad a+b=-3 \quad \text{…③} \\[ 7pt ]
&\quad 2a+b=-5 \quad \text{…④} \\[ 7pt ]
&\quad ab=k \quad \text{…⑤} \\[ 7pt ]
&\text{③,④より} \\[ 5pt ]
&\quad a=-2 \ , \ b=-1 \\[ 7pt ]
&\text{これと⑤より} \\[ 5pt ]
&\quad k=2 \\[ 7pt ]
&\text{よって、与式は①より} \\[ 5pt ]
&\quad \text{(与式)} \ = \bigl(x+y-2 \bigr) \bigl(x+2y-1 \bigr)
\end{align*}

式変形に苦手意識がなければ、恒等式の考えを利用した解法の方が取り組みやすいかもしれません。あまり難しいことを考える必要がないからです。ただ、因数の一部に気付かないといけないので、この解法に意外と気付けないかもしれません。

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さいごにもう一度まとめ

  • 2次式に複数種類の文字が含まれる場合、特定の文字に注目しよう。
  • 2次式を因数分解するとき、2次方程式を作って解を求めることで、2次式の因数が分かる。
  • 2次方程式の解が1次式となるには、根号の中の2次式が完全平方式となるとき。
  • 2次式が完全平方式となるのは、2次方程式が重解をもつ、すなわち判別式の値が0となるとき。
  • 多項式を代入するときは、カッコでくくった状態で代入しよう。