複素数と方程式｜２次方程式の係数と２つの解の符号について

06/04/2021数学２

２次方程式の係数と２つの解の符号を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問

$\begin{align*} &\text{$2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+2(a-3)x+a+3=0 \\[ 5pt ] &\text{の解が次の条件を満たすような} \\[ 5pt ] &\text{定数 $a$ の値の範囲をそれぞれ求めよ。} \\[ 5pt ] &(1) \quad \text{異なる $2$ つの正の解をもつ} \\[ 7pt ] &(2) \quad \text{異符号の解をもつ} \end{align*}$

定数 a は2次方程式の係数や定数項に含まれています。問では、解の符号が条件となっています。解と係数をつなぐのは、解と係数の関係です。

問(1)の解答・解説

問(1)

２次方程式の解が異なる２つの正の解となる条件を書き出します。

問(1)の解答例 1⃣

$\begin{align*} &\text{$2$ 次方程式の $2$ つの解を $\alpha \ , \ \beta$、判別式を $D$ とする。} \\[ 5pt ] &\text{$2$ 次方程式が異なる $2$ つの正の解をもつためには} \\[ 5pt ] &\quad \frac{D}{4} \gt 0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \alpha+\beta \gt 0 \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\quad \alpha \beta \gt 0 \quad \cdots \text{③} \\[ 7pt ] &\text{が成り立てばよい。} \end{align*}$

重解を含まないことに注意しましょう。３つの条件から、定数ａについての式を導きます。②，③式では、解と係数の関係を利用します。

問(1)の解答例 2⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\text{①より} \\[ 5pt ] &\quad \left(a-3 \right)^{\scriptsize{2}}-\left(a+3 \right) \gt 0 \\[ 7pt ] &\text{これを解くと} \\[ 5pt ] &\quad a^{\scriptsize{2}}-7a+6 \gt 0 \\[ 7pt ] &\quad \left(a-1 \right) \left(a-6 \right) \gt 0 \\[ 7pt ] &\quad a \lt 1 \ , \ 6 \lt a \quad \cdots \text{④} \\[ 7pt ] &\text{②より} \\[ 5pt ] &\quad -2 \left(a-3 \right) \gt 0 \\[ 7pt ] &\text{これを解くと} \\[ 5pt ] &\quad a \lt 3 \quad \cdots \text{⑤} \\[ 7pt ] &\text{③より} \\[ 5pt ] &\quad a+3 \gt 0 \\[ 7pt ] &\text{これを解くと} \\[ 5pt ] &\quad -3 \lt a \quad \cdots \text{⑥} \end{align*}$

定数ａについての式を３つ導くことができました。定数ａは、これらをすべて満たさなければなりません。そこで、３つの範囲の共通部分を求めます。範囲の共通部分を探すときは、数直線を利用しましょう。

３つの範囲の共通部分なので、横線が３つ重なる範囲を探します。

問(1)の解答例 3⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\text{④，⑤，⑥の共通範囲を求めればよい。} \\[ 5pt ] &\text{よって、定数 $a$ の値の範囲は} \\[ 5pt ] &\quad -3 \lt a \lt 1 \end{align*}$

問(1)の別解例

２次関数のグラフを利用すると、以下のようになります。

図示したグラフを見ながら、２次方程式の解が異なる２つの正の解となる条件を書き出します。

２次方程式の解が異なる２つの正の解となるのは、グラフがｘ軸の正の部分と異なる２点で交わるときです。

問(1)の別解例

$\begin{align*} &\text{与えられた $2$ 次方程式の判別式を $D$ とする。} \\[ 5pt ] &\text{$f(x)=x^{\scriptsize{2}}+2(a-3)x+a+3$ のグラフを利用すると} \\[ 5pt ] &\quad \frac{D}{4}=\left(a-1 \right) \left(a-6 \right) \gt 0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \text{軸} \quad x=-\frac{2(a-3)}{2 \cdot 1} \gt 0 \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\quad f(0)=a+3 \gt 0 \quad \cdots \text{③} \\[ 7pt ] &\text{が成り立てばよい。} \\[ 5pt ] &\text{①より} \\[ 5pt ] &\quad a \lt 1 \ , \ 6 \lt a \quad \cdots \text{④} \\[ 7pt ] &\text{②より} \\[ 5pt ] &\quad a \lt 3 \quad \cdots \text{⑤} \\[ 7pt ] &\text{③より} \\[ 5pt ] &\quad -3 \lt a \quad \cdots \text{⑥} \\[ 7pt ] &\text{④，⑤，⑥の共通範囲を求めればよい。} \\[ 5pt ] &\text{よって、定数 $a$ の値の範囲は} \\[ 5pt ] &\quad -3 \lt a \lt 1 \end{align*}$

２つの解の和と積を見かけたら、解と係数の関係を利用しよう。

問(2)の解答・解説

問(2)

$\begin{align*} &\text{$2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+2(a-3)x+a+3=0 \\[ 5pt ] &\text{の解が次の条件を満たすような} \\[ 5pt ] &\text{定数 $a$ の値の範囲をそれぞれ求めよ。} \\[ 5pt ] &(2) \quad \text{異符号の解をもつ} \end{align*}$

問(1)と同じ要領で解きます。２次方程式の解が異符号の解となる条件を書き出します。

問(2)の解答例 1⃣

$\begin{align*} &\text{$2$ 次方程式が異符号の解をもつためには} \\[ 5pt ] &\quad \alpha \beta \lt 0 \quad \cdots \text{⑦} \\[ 7pt ] &\text{が成り立てばよい。} \end{align*}$

この条件から、定数ａについての式を導きます。式が１つだけなので、ミスなく変形しましょう。

問(2)の解答例 2⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\text{⑦より} \\[ 5pt ] &\quad a+3 \lt 0 \\[ 7pt ] &\text{したがって、定数 $a$ の値の範囲は} \\[ 5pt ] &\quad a \lt -3 \end{align*}$

問(2)は、実数解の符号に関する問題の中でも解きやすいので、必ず完答しましょう。

問(2)の別解例

２次関数のグラフを利用すると、以下のようになります。

図示したグラフを見ながら、２次方程式の解が異符号の解となる条件を書き出します。

２次方程式の解が異符号の解となるのは、グラフがｙ軸の負の部分と交わるときです。ｙ軸の負の部分と交わりさえすれば、グラフはｘ軸の正の部分と負の部分とで１点ずつ交わります。

問(2)の別解例

$\begin{align*} &\text{$f(x)=x^{\scriptsize{2}}+2(a-3)x+a+3$ のグラフを利用すると} \\[ 5pt ] &\quad f(0)=a+3 \lt 0 \quad \cdots \text{⑦} \\[ 7pt ] &\text{が成り立てばよい。} \\[ 5pt ] &\text{⑦より、定数 $a$ の値の範囲は} \\[ 5pt ] &\quad a \lt -3 \end{align*}$

２次方程式は、２次関数においてｙ＝０のときの式です。つまり、２次方程式は、２次関数の一部であると言えます。ですから、グラフを用いることは、決して無駄なことではありません。

可視化されるので、イメージが湧きやすく、内容読解の助けにもなります。問題を解く見通しが立たないときには、グラフを利用しながら考えてみましょう。

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