複素数と方程式｜３次方程式の解と係数の関係について

$$\begin{align*} &\text{$3$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{3}}-3x+5=0 \\[ 7pt ] &\text{の $3$ つの解を} \\[ 5pt ] &\quad \alpha \ , \ \beta \ , \ \gamma \\[ 7pt ] &\text{とするとき、次の式の値を求めよ。} \\[ 5pt ] &(1) \quad \left( \alpha+\beta \right) \left( \beta+\gamma \right) \left( \gamma+\alpha \right) \\[ 7pt ] &(2) \quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}+{\beta}^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{3}} \\[ 7pt ] &(3) \quad {\alpha}^{\scriptsize{5}}+{\beta}^{\scriptsize{5}}+{\gamma}^{\scriptsize{5}} \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\text{$3$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{3}}-3x+5=0 \\[ 7pt ] &\text{の $3$ つの解を} \\[ 5pt ] &\quad \alpha \ , \ \beta \ , \ \gamma \\[ 7pt ] &\text{とするとき、次の式の値を求めよ。} \\[ 5pt ] &\quad \left( \alpha+\beta \right) \left( \beta+\gamma \right) \left( \gamma+\alpha \right) \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\quad x^{\scriptsize{3}}-3x+5=0 \\[ 7pt ] &\text{解と係数の関係より} \\[ 5pt ] &\quad \alpha+\beta+\gamma=-\frac{0}{1}=0 \\[ 7pt ] &\quad \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=\frac{-3}{1}=-3 \\[ 7pt ] &\quad \alpha \beta \gamma=-\frac{5}{1}=-5 \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\text{解と係数の関係より} \\[ 5pt ] &\quad \alpha+\beta+\gamma=-\frac{0}{1}=0 \\[ 7pt ] &\text{であるので、} \\[ 5pt ] &\quad \alpha+\beta=-\gamma \\[ 7pt ] &\quad \beta+\gamma=-\alpha \\[ 7pt ] &\quad \gamma+\alpha=-\beta \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \gamma+\alpha=-\beta \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad \left( \alpha+\beta \right) \left( \beta+\gamma \right) \left( \gamma+\alpha \right)=\left( -\gamma \right) \cdot \left( -\alpha \right) \cdot \left( -\beta \right) \\[ 7pt ] &\text{より} \\[ 5pt ] &\quad \left( \alpha+\beta \right) \left( \beta+\gamma \right) \left( \gamma+\alpha \right)=-\alpha \beta \gamma \\[ 7pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad \left( \alpha+\beta \right) \left( \beta+\gamma \right) \left( \gamma+\alpha \right)=-\left( -5 \right) \\[ 7pt ] &\quad \therefore \ \left( \alpha+\beta \right) \left( \beta+\gamma \right) \left( \gamma+\alpha \right)=5 \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\text{$3$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{3}}-3x+5=0 \\[ 7pt ] &\text{の $3$ つの解を} \\[ 5pt ] &\quad \alpha \ , \ \beta \ , \ \gamma \\[ 7pt ] &\text{とするとき、次の式の値を求めよ。} \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}+{\beta}^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{3}} \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\text{与式より} \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}+{\beta}^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{3}} =\left(\alpha+\beta+\gamma \right) \left({\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}}+{\gamma}^{\scriptsize{2}}-\alpha \beta-\beta \gamma-\gamma \alpha \right)+3\alpha \beta \gamma \\[ 7pt ] &\text{ここで} \\[ 5pt ] &\quad \alpha+\beta+\gamma=0 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}+{\beta}^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{3}} =0+3 \cdot \left( -5 \right) \\[ 5pt ] &\quad \therefore \ {\alpha}^{\scriptsize{3}}+{\beta}^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{3}} -15 \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\text{$\alpha \ , \ \beta \ , \ \gamma$ は $3$ 次方程式の解であるので} \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}-3{\alpha}+5=0 \\[ 7pt ] &\quad {\beta}^{\scriptsize{3}}-3{\beta}+5=0 \\[ 7pt ] &\quad {\gamma}^{\scriptsize{3}}-3{\gamma}+5=0 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}=3{\alpha}-5 \\[ 7pt ] &\quad {\beta}^{\scriptsize{3}}=3{\beta}-5 \\[ 7pt ] &\quad {\gamma}^{\scriptsize{3}}=3{\gamma}-5 \\[ 7pt ] &\text{これらを与式に代入すると} \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}+{\beta}^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{3}} =\left(3{\alpha}-5 \right)+\left( 3{\beta}-5 \right)+\left( 3{\gamma}-5 \right) \\[ 7pt ] &\text{より} \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}+{\beta}^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{3}} =3\left({\alpha}+{\beta}+{\gamma} \right)-15 \\[ 7pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}+{\beta}^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{3}} =3 \cdot 0-15 \\[ 7pt ] &\quad \therefore \ {\alpha}^{\scriptsize{3}}+{\beta}^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{3}} =-15 \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\text{$3$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{3}}-3x+5=0 \\[ 7pt ] &\text{の $3$ つの解を} \\[ 5pt ] &\quad \alpha \ , \ \beta \ , \ \gamma \\[ 7pt ] &\text{とするとき、次の式の値を求めよ。} \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{5}}+{\beta}^{\scriptsize{5}}+{\gamma}^{\scriptsize{5}} \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\text{$\alpha \ , \ \beta \ , \ \gamma$ は $3$ 次方程式の解であるので} \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}-3{\alpha}+5=0 \\[ 7pt ] &\quad {\beta}^{\scriptsize{3}}-3{\beta}+5=0 \\[ 7pt ] &\quad {\gamma}^{\scriptsize{3}}-3{\gamma}+5=0 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}=3{\alpha}-5 \\[ 7pt ] &\quad {\beta}^{\scriptsize{3}}=3{\beta}-5 \\[ 7pt ] &\quad {\gamma}^{\scriptsize{3}}=3{\gamma}-5 \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad {\gamma}^{\scriptsize{3}}=3{\gamma}-5 \\[ 7pt ] &\text{これらを与式に代入すると} \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{5}}+{\beta}^{\scriptsize{5}}+{\gamma}^{\scriptsize{5}}={\alpha}^{\scriptsize{2}} \left( 3{\alpha}-5 \right)+{\beta}^{\scriptsize{2}} \left( 3{\beta}-5 \right)+{\gamma}^{\scriptsize{2}} \left( 3{\gamma}-5 \right) \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{5}}+{\beta}^{\scriptsize{5}}+{\gamma}^{\scriptsize{5}}=3 \left({\alpha}^{\scriptsize{3}}+{\beta}^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{3}} \right)-5 \left({\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}}+{\gamma}^{\scriptsize{2}} \right) \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{5}}+{\beta}^{\scriptsize{5}}+{\gamma}^{\scriptsize{5}}=3 \left({\alpha}^{\scriptsize{3}}+{\beta}^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{3}} \right)-5 \left({\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}}+{\gamma}^{\scriptsize{2}} \right) \\[ 7pt ] &\text{ここで} \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}}+{\gamma}^{\scriptsize{2}}=\left({\alpha}+{\beta}+{\gamma} \right)^{\scriptsize{2}}-2 \left( \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha \right) \\[ 7pt ] &\text{より} \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}}+{\gamma}^{\scriptsize{2}}=0^{\scriptsize{2}}-2 \cdot \left( -3 \right) \\[ 7pt ] &\quad \therefore \ {\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}}+{\gamma}^{\scriptsize{2}}=6 \\[ 7pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{5}}+{\beta}^{\scriptsize{5}}+{\gamma}^{\scriptsize{5}} =3 \cdot \left( -15 \right)-5 \cdot 6 \\[ 7pt ] &\quad \therefore \ {\alpha}^{\scriptsize{5}}+{\beta}^{\scriptsize{5}}+{\gamma}^{\scriptsize{5}} =-75 \end{align*}$$