式と証明｜恒等式の証明について

06/06/2021数学２

今回から等式や不等式の証明に関する単元に入ります。まずは恒等式の証明について学習しましょう。

ここでは、恒等式であることを示すにはどのような方法があるのかを学習します。

恒等式の証明

恒等式とは、文字にどんな値を代入しても左辺と右辺の値が等しくなる等式のことです。

次の例題を考えます。

例題

$\begin{align*} &\text{次の等式を証明せよ。} \\[ 5pt ] &(1) \quad x^{\scriptsize{5}}-1 = \left(x-1 \right) \left(x^{\scriptsize{4}}+x^{\scriptsize{3}}+x^{\scriptsize{2}}+x+1 \right) \\[ 10pt ] &(2) \quad \left(a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}} \right) \left(c^{\scriptsize{2}}+d^{\scriptsize{2}} \right) = \left(ac+bd \right)^{\scriptsize{2}} + \left(ad-bc \right)^{\scriptsize{2}} \end{align*}$

例題は、「等式を証明せよ」という問題です。

これまでは等式が恒等式になるように、未知の定数の値を定めるのが主題でした。しかし、ここでは未知の定数は存在しません。

ただ、気になるのは、左辺と右辺が一見して同じ式には見えないことです。どうやら「等式を証明せよ」というのは、左辺と右辺が同じ式であることを示せという意味だと考えられます。

左辺と右辺が同じになる等式は恒等式です。ですから、恒等式の証明とは、左辺と右辺が同じ式となることを示すことだと言えます。

等式を証明せよ＝左辺と右辺が同じ式になることを示せ

等式を証明する方法

等式を証明する方法にはいくつかあります。これらの方法を与式に応じて使い分けます。

等式Ａ＝Ｂを証明する方法

ＡかＢの一方を変形して、他方を導く。複雑な式の方を変形するのが原則。
Ａ，Ｂをそれぞれ変形して、同じ式Ｃを導く。
Ａ－Ｂ＝０であることを示す。

１番目や２番目の方法は、左辺と右辺が同じ式になることを示す方法です。つまり、等式が恒等式であることを示す方法と言えます。

また、３番目の方法は、直接的で分かりやすい方法です。等式が成り立てば、左辺と右辺の差は必ず０であるはずです。この考え方は、不等式の証明での理解の助けになるので、しっかりと理解しておきましょう。

等式の証明に挑戦してみよう

それでは、実際に例題を解いてみましょう。

例題

例題(1)の解答・解説

例題(1)

$\begin{align*} &\text{次の等式を証明せよ。} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{5}}-1 = \left(x-1 \right) \left(x^{\scriptsize{4}}+x^{\scriptsize{3}}+x^{\scriptsize{2}}+x+1 \right) \end{align*}$

証明の方法は３通りありました。これらを使い分けるには、実際に使ってみることが一番効果的です。

左辺と右辺の一方を変形して、他方を導く方法

左辺と右辺の一方を変形して、他方を導く場合、原則として複雑な式の方を変形します。

(1)では、右辺の方が複雑なので、右辺を展開して整理します。

例題(1)の解答例

$\begin{align*} &\quad x^{\scriptsize{5}}-1 = \left(x-1 \right) \left(x^{\scriptsize{4}}+x^{\scriptsize{3}}+x^{\scriptsize{2}}+x+1 \right) \\[ 7pt ] &\text{与式の右辺を展開して整理すると} \end{align*}$

$\begin{align*} \quad &(\text{右辺}) \\[ 10pt ] &= x \left(x^{\scriptsize{4}}+x^{\scriptsize{3}}+x^{\scriptsize{2}}+x+1 \right)-\left(x^{\scriptsize{4}}+x^{\scriptsize{3}}+x^{\scriptsize{2}}+x+1 \right) \\[ 10pt ] &= x^{\scriptsize{5}}+x^{\scriptsize{4}}+x^{\scriptsize{3}}+x^{\scriptsize{2}}+x -\left(x^{\scriptsize{4}}+x^{\scriptsize{3}}+x^{\scriptsize{2}}+x+1 \right) \\[ 10pt ] &= x^{\scriptsize{5}}-1 \\[ 10pt ] &= (\text{左辺}) \end{align*}$

$\begin{align*} &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{5}}-1 = \left(x-1 \right)\left(x^{\scriptsize{4}}+x^{\scriptsize{3}}+x^{\scriptsize{2}}+x+1 \right) \end{align*}$

両辺をそれぞれ変形して、同じ式を導く方法

この方法は、右辺と左辺の一方を変形しても、他方を導くことが難しい場合に用いられます。

(1)では、右辺を展開すれば、左辺を導くことができたので、この方法を採用することはありません。また、左辺を因数分解すると右辺と同じ式になるので、やはりこの方法を採用することはありません。

一方を変形しても他方を導くことが難しいと感じたら、両辺を変形してみよう。

(左辺)－(右辺)＝０を導く方法

左辺と右辺の差を求めます。差が０であれば、等式が成り立ちます。

例題(1)の別解例

$\begin{align*} &\quad x^{\scriptsize{5}}-1 = \left(x-1 \right) \left(x^{\scriptsize{4}}+x^{\scriptsize{3}}+x^{\scriptsize{2}}+x+1 \right) \\[ 7pt ] &\text{与式の左辺と右辺の差を求めると} \end{align*}$

$\begin{align*} \quad &(\text{左辺})-(\text{右辺}) \\[ 10pt ] &= x^{\scriptsize{5}}-1-\left(x-1 \right) \left(x^{\scriptsize{4}}+x^{\scriptsize{3}}+x^{\scriptsize{2}}+x+1 \right) \\[ 10pt ] &= x^{\scriptsize{5}}-1-\left\{x\left(x^{\scriptsize{4}}+x^{\scriptsize{3}}+x^{\scriptsize{2}}+x+1 \right)-\left(x^{\scriptsize{4}}+x^{\scriptsize{3}}+x^{\scriptsize{2}}+x+1 \right) \right\} \\[ 10pt ] &= x^{\scriptsize{5}}-1-\left(x^{\scriptsize{5}}-1 \right) \\[ 10pt ] &= 0 \end{align*}$

$\begin{align*} &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{5}}-1 = \left(x-1 \right)\left(x^{\scriptsize{4}}+x^{\scriptsize{3}}+x^{\scriptsize{2}}+x+1 \right) \end{align*}$

計算量が増えますが、きちんと証明できます。展開して同類項を整理する程度の計算であれば、それほど面倒ではありません。

(1)の等式であれば、右辺を変形して左辺を導く方法が最適な解法です。与式を見て、３通りの方法から適切なものを選択しましょう。

例題(1)の等式について

(1)の等式が成り立つことから、ｘ⁵－１がｘ－１で割り切れることが分かります。

一般に、ｎを自然数とすると、以下のことが成り立ちます。

ｘⁿ－１の因数分解

$n$ を自然数とすると、 $x^{\scriptsize{n}}-1$ は $x-1$ で割り切れて、

商は $x^{\scriptsize{n-1}}+x^{\scriptsize{n-2}}+ \cdots \cdots +x+1$ となる。

つまり、

$\begin{equation*} x^{\scriptsize{n}}-1 = \left(x-1 \right) \left(x^{\scriptsize{n-1}}+x^{\scriptsize{n-2}}+ \cdots \cdots +x+1 \right) \end{equation*}$

このことを知っていることが前提の問題が出題されることもあります。覚えておきましょう。

例題(2)の解答・解説

例題(2)

$\begin{align*} &\text{次の等式を証明せよ。} \\[ 5pt ] &\quad \left(a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}} \right) \left(c^{\scriptsize{2}}+d^{\scriptsize{2}} \right) = \left(ac+bd \right)^{\scriptsize{2}} + \left(ad-bc \right)^{\scriptsize{2}} \end{align*}$

(2)を証明する場合、どの方法を用いると楽に証明できるでしょうか。左辺と右辺の一方を変形して他方を導くことは可能でしょうが、少し難しく感じます。

そうなると、両辺を変形して同じ式を導く方法か、左辺と右辺を引き算する方法のどちらかになります。どちらの方法であっても両辺をそれぞれ展開する必要があります。ですから、面倒さはほとんど変わりません。

ここでは、両辺を変形して同じ式を導く方法で証明します。

両辺をそれぞれ変形して、同じ式を導く方法

両辺をそれぞれ展開して整理します。同じ式が得られるはずです。

例題(2)の解答例

$\begin{align*} &\quad \left(a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}} \right) \left(c^{\scriptsize{2}}+d^{\scriptsize{2}} \right) = \left(ac+bd \right)^{\scriptsize{2}} + \left(ad-bc \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\text{両辺をそれぞれ展開して整理すると} \end{align*}$

$\begin{align*} &(\text{左辺}) \\[ 10pt ] &= a^{\scriptsize{2}} \left(c^{\scriptsize{2}}+d^{\scriptsize{2}} \right)+b^{\scriptsize{2}} \left(c^{\scriptsize{2}}+d^{\scriptsize{2}} \right) \\[ 10pt ] &= a^{\scriptsize{2}} c^{\scriptsize{2}}+a^{\scriptsize{2}} d^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}} c^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}} d^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ] &(\text{右辺}) \\[ 10pt ] &= a^{\scriptsize{2}} c^{\scriptsize{2}} +2abcd +b^{\scriptsize{2}} d^{\scriptsize{2}}+a^{\scriptsize{2}} d^{\scriptsize{2}} -2abcd+b^{\scriptsize{2}} c^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ] &= a^{\scriptsize{2}} c^{\scriptsize{2}}+a^{\scriptsize{2}} d^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}} c^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}} d^{\scriptsize{2}} \end{align*}$

$\begin{align*} &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad \left(a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}} \right)\left(c^{\scriptsize{2}}+d^{\scriptsize{2}} \right) = \left(ac+bd \right)^{\scriptsize{2}} + \left(ad-bc \right)^{\scriptsize{2}} \end{align*}$

両辺をそれぞれ変形する方法が上手くいきました。これを引き算にすると、左辺と右辺を引き算する方法になります。

左辺と右辺の一方を変形して、他方を導く方法

変形が少し面倒ですが、別解として、右辺を変形して、左辺を導く方法で証明します。

(2)の等式であれば、左辺も右辺も同じような複雑さです。ですから、どちらかを選んで変形します。

ここでは、右辺を変形します。

例題(2)の別解例

$\begin{align*} &(\text{右辺}) \\[ 10pt ] &= a^{\scriptsize{2}} c^{\scriptsize{2}} +2abcd +b^{\scriptsize{2}} d^{\scriptsize{2}}+a^{\scriptsize{2}} d^{\scriptsize{2}} -2abcd+b^{\scriptsize{2}} c^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ] &= a^{\scriptsize{2}} c^{\scriptsize{2}} +b^{\scriptsize{2}} d^{\scriptsize{2}}+a^{\scriptsize{2}} d^{\scriptsize{2}} +b^{\scriptsize{2}} c^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ] &= a^{\scriptsize{2}} c^{\scriptsize{2}} +a^{\scriptsize{2}} d^{\scriptsize{2}} +b^{\scriptsize{2}} c^{\scriptsize{2}} +b^{\scriptsize{2}} d^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ] &= a^{\scriptsize{2}}\left(c^{\scriptsize{2}} +d^{\scriptsize{2}} \right) +b^{\scriptsize{2}}\left(c^{\scriptsize{2}} +d^{\scriptsize{2}} \right) \\[ 10pt ] &= \left(a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}} \right) \left(c^{\scriptsize{2}} +d^{\scriptsize{2}} \right) \\[ 10pt ] &= (\text{左辺}) \end{align*}$

等式の証明では、必ず両辺が同じ式になるという事実を踏まえて取り組みましょう。

証明問題では、基本的にゴールが分かっているので、そこを意識するかどうかでだいぶ変わってきます。結論を意識して方針を立てることが大切です。

次は、恒等式の証明を扱った問題を実際に解いてみましょう。

数学２恒等式,等式・不等式の証明

Posted by kiri

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