式と証明｜恒等式の証明について

$$\begin{align*} &\text{次の等式を証明せよ。} \\[ 5pt ] &(1) \quad a^{\scriptsize{4}}+4b^{\scriptsize{4}} = \left\{\left(a+b \right)^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}} \right\} \left\{ \left(a-b \right)^{\scriptsize{2}} +b^{\scriptsize{2}} \right\} \\[ 10pt ] &(2) \quad \left(a^{\scriptsize{2}} b^{\scriptsize{2}}-p^{\scriptsize{2}} q^{\scriptsize{2}} \right) \left(c^{\scriptsize{2}} d^{\scriptsize{2}}-r^{\scriptsize{2}} s^{\scriptsize{2}} \right) = \left(abcd-pqrs \right)^{\scriptsize{2}} – \left(abrs-cdpq \right)^{\scriptsize{2}} \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\text{次の等式を証明せよ。} \\[ 5pt ] &\quad a^{\scriptsize{4}}+4b^{\scriptsize{4}} = \left\{\left(a+b \right)^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}} \right\} \left\{ \left(a-b \right)^{\scriptsize{2}} +b^{\scriptsize{2}} \right\} \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\quad a^{\scriptsize{4}}+4b^{\scriptsize{4}} = \left\{\left(a+b \right)^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}} \right\} \left\{ \left(a-b \right)^{\scriptsize{2}} +b^{\scriptsize{2}} \right\} \\[ 7pt ] &\text{右辺を展開して整理すると} \end{align*}$$ $$\begin{align*} &(\text{右辺}) \\[ 10pt ] &= \left\{\left(a^{\scriptsize{2}}+2ab+b^{\scriptsize{2}} \right)+b^{\scriptsize{2}} \right\} \left\{ \left(a^{\scriptsize{2}}-2ab+b^{\scriptsize{2}} \right) +b^{\scriptsize{2}} \right\} \\[ 10pt ] &= \left\{\left(a^{\scriptsize{2}}+2b^{\scriptsize{2}} \right)+2ab \right\} \left\{ \left(a^{\scriptsize{2}}+2b^{\scriptsize{2}} \right) -2ab \right\} \\[ 10pt ] &= \left(a^{\scriptsize{2}}+2b^{\scriptsize{2}} \right)^{\scriptsize{2}}-4a^{\scriptsize{2}}b^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ] &= a^{\scriptsize{4}}+4a^{\scriptsize{2}}b^{\scriptsize{2}}+4b^{\scriptsize{4}}-4a^{\scriptsize{2}}b^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ] &= a^{\scriptsize{4}}+4b^{\scriptsize{4}} \\[ 10pt ] &= (\text{左辺}) \end{align*}$$ $$\begin{align*} &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad a^{\scriptsize{4}}+4b^{\scriptsize{4}} = \left\{\left(a+b \right)^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}} \right\} \left\{ \left(a-b \right)^{\scriptsize{2}} +b^{\scriptsize{2}} \right\} \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\quad a^{\scriptsize{4}}+4b^{\scriptsize{4}} = \left\{\left(a+b \right)^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}} \right\} \left\{ \left(a-b \right)^{\scriptsize{2}} +b^{\scriptsize{2}} \right\} \\[ 7pt ] &\text{右辺を展開して整理すると} \end{align*}$$ $$\begin{align*} &(\text{右辺}) \\[ 10pt ] &= \left(a+b \right)^{\scriptsize{2}} \left(a-b \right)^{\scriptsize{2}} \underline{+b^{\scriptsize{2}}\left(a+b \right)^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}} \left(a-b \right)^{\scriptsize{2}}}+b^{\scriptsize{4}} \\[ 10pt ] &= \left\{\left(a+b \right) \left(a-b \right) \right\}^{\scriptsize{2}}\underline{+\left\{ \left(a+b \right)^{\scriptsize{2}}+\left(a-b \right)^{\scriptsize{2}} \right\}b^{\scriptsize{2}}} +b^{\scriptsize{4}} \\[ 10pt ] &= \left(a^{\scriptsize{2}}-b^{\scriptsize{2}} \right)^{\scriptsize{2}} +2\left(a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}} \right)b^{\scriptsize{2}} +b^{\scriptsize{4}} \\[ 10pt ] &= a^{\scriptsize{4}}-2a^{\scriptsize{2}}b^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{4}}+2\left(a^{\scriptsize{2}}b^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{4}} \right) +b^{\scriptsize{4}} \\[ 10pt ] &= a^{\scriptsize{4}}+4b^{\scriptsize{4}} \\[ 10pt ] &= (\text{左辺}) \end{align*}$$ $$\begin{align*} &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad a^{\scriptsize{4}}+4b^{\scriptsize{4}} = \left\{\left(a+b \right)^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}} \right\} \left\{ \left(a-b \right)^{\scriptsize{2}} +b^{\scriptsize{2}} \right\} \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\text{次の等式を証明せよ。} \\[ 5pt ] &\quad \left(a^{\scriptsize{2}} b^{\scriptsize{2}}-p^{\scriptsize{2}} q^{\scriptsize{2}} \right) \left(c^{\scriptsize{2}} d^{\scriptsize{2}}-r^{\scriptsize{2}} s^{\scriptsize{2}} \right) = \left(abcd-pqrs \right)^{\scriptsize{2}} – \left(abrs-cdpq \right)^{\scriptsize{2}} \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\quad \left(a^{\scriptsize{2}} b^{\scriptsize{2}}-p^{\scriptsize{2}} q^{\scriptsize{2}} \right) \left(c^{\scriptsize{2}} d^{\scriptsize{2}}-r^{\scriptsize{2}} s^{\scriptsize{2}} \right) = \left(abcd-pqrs \right)^{\scriptsize{2}} – \left(abrs-cdpq \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\text{与式において} \\[ 5pt ] &\quad ab=x \ , \ cd=y \ , \ pq=z \ , \ rs=w \\[ 7pt ] &\text{とおくと} \\[ 5pt ] &(\text{左辺}) = \left(x^{\scriptsize{2}}-z^{\scriptsize{2}} \right)\left(y^{\scriptsize{2}}-w^{\scriptsize{2}} \right) \\[ 10pt ] &(\text{右辺}) = \left(xy-zw \right)^{\scriptsize{2}} -\left(xw-yz \right)^{\scriptsize{2}} \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &(\text{左辺}) = \left(x^{\scriptsize{2}}-z^{\scriptsize{2}} \right)\left(y^{\scriptsize{2}}-w^{\scriptsize{2}} \right) \\[ 10pt ] &(\text{右辺}) = \left(xy-zw \right)^{\scriptsize{2}} -\left(xw-yz \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\text{両辺をそれぞれ展開して整理すると} \end{align*}$$ $$\begin{align*} &(\text{左辺}) \\[ 10pt ] &= \left(x^{\scriptsize{2}}-z^{\scriptsize{2}} \right) \left(y^{\scriptsize{2}}-w^{\scriptsize{2}} \right) \\[ 10pt ] &= x^{\scriptsize{2}}y^{\scriptsize{2}}-x^{\scriptsize{2}}w^{\scriptsize{2}}-y^{\scriptsize{2}}z^{\scriptsize{2}}+z^{\scriptsize{2}}w^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ] &(\text{右辺}) \\[ 10pt ] &= \left(xy-zw \right)^{\scriptsize{2}} – \left(xw-yz \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ] &= x^{\scriptsize{2}}y^{\scriptsize{2}}-2xyzw+z^{\scriptsize{2}}w^{\scriptsize{2}}-\left(x^{\scriptsize{2}}w^{\scriptsize{2}}-2xyzw+y^{\scriptsize{2}}z^{\scriptsize{2}} \right) \\[ 10pt ] &= x^{\scriptsize{2}}y^{\scriptsize{2}}-x^{\scriptsize{2}}w^{\scriptsize{2}}-y^{\scriptsize{2}}z^{\scriptsize{2}}+z^{\scriptsize{2}}w^{\scriptsize{2}} \end{align*}$$ $$\begin{align*} &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad \left(a^{\scriptsize{2}} b^{\scriptsize{2}}-p^{\scriptsize{2}} q^{\scriptsize{2}} \right) \left(c^{\scriptsize{2}} d^{\scriptsize{2}}-r^{\scriptsize{2}} s^{\scriptsize{2}} \right) = \left(abcd-pqrs \right)^{\scriptsize{2}} – \left(abrs-cdpq \right)^{\scriptsize{2}} \end{align*}$$