図形の性質

08/14/2018

数学の公式・定理集

図形の性質

三角形の辺の比、外心・内心・重心

三角形の角の二等分線と比

三角形の辺の比
  • △ABC の∠A の二等分線と辺 BC との交点 P は、辺 BC を AB:AC に内分する。
  • AB≠AC である△ABC の∠A の外角の二等分線と辺 BC の延長との交点 Q は、辺 BC を AB:AC に外分する。

外心・内心・重心

三角形の内心・外心・重心
  • 外心:3辺の垂直二等分線の交点。
  • 内心:3つの内角の二等分線の交点。
  • 重心:3つの中線の交点。重心は各中線を 2:1 に内分する。

垂心

三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点。

チェバの定理、メネラウスの定理

チェバの定理

チェバの定理
△ABC の頂点 A, B, C と辺上にもその延長上にもない点 O を結ぶ各直線が、対辺またはその延長とそれぞれ P, Q, R で交わるとき
\begin{equation*} \quad \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} =1 \end{equation*}

メネラウスの定理

メネラウスの定理
△ABC の辺 BC, CA, AB またはその延長が頂点を通らない直線ℓと、それぞれ点 P, Q, R で交わるとき
\begin{equation*} \quad \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} =1 \end{equation*}

三角形の3辺の長さの性質

三角形の3辺の長さを a, b, c とすると
\begin{equation*} \quad b-c \lt a \lt b+c \end{equation*}
これを三角形の成立条件と言う。

円周角、円に内接する四角形

円周角の定理とその逆

円周角の定理
図参照
4点 A, B, C, D が1つの円周上にある
⇔ ∠APB = ∠AQB

円に内接する四角形

円に内接する四角形
四角形が円に内接するとき、以下のことが成り立つ。
  1. 対角の和は 180°
  2. 内角は、その対角の外角に等しい。
逆に、1または2が成り立つ四角形は、円に内接する。

円と直線、方べきの定理

円の接線

円の接線
図参照
円外の点 P から接線 PA, PB を引く。ただし、点 A, B は接点。
このとき以下のことが成り立つ。
  • OA⊥PA
  • OB⊥PB
  • PA = PB

接弦定理とその逆

接弦定理
図参照
直線 AT が円 O の接線
⇔ ∠ACB = ∠BAT

方べきの定理

図1
方べきの定理その1
図1参照
(1) 円の2つの弦 AB, CD またはそれらの延長の交点を P とすると
\begin{equation*} \quad PA \cdot PB = PC \cdot PD \end{equation*}
図2
方べきの定理その2
図2参照
(2) 円の外部の点 P から円に引いた接線の接点を T とし、P を通りこの円と2点 A, B で交わる直線を引くと
\begin{equation*} \quad PA \cdot PB = {PT}^{2} \end{equation*}

方べきの定理の逆

2つの線分 AB と CD、または AB の延長と CD の延長が点 P で交わるとき、
\begin{equation*} \quad PA \cdot PB = PC \cdot PD \end{equation*}
が成り立つならば、4点 A, B, C, D は1つの円周上にある。

三垂線の定理

平面α上に直線ℓがあるとき、α上にない点 A、ℓ上の点 B、ℓ上にないα上の点 O について
AB⊥ℓ, OB⊥ℓ, OA⊥OB ならば、OA⊥α

直線と平面、多面体

空間における直線や平面の位置関係

  • 平行な2直線の一方に垂直な直線は、他方にも垂直である。
  • 直線ℓが、平面α上の交わる2直線 m, n に垂直ならば、直線ℓは平面αに垂直である。
  • 平面αの1つの垂線を含む平面は、αに垂直である。

多面体

以下の2つの条件を満たす凸多面体を正多面体と言う。
  1. 各面はすべて合同な正多角形である。
  2. 各頂点に集まる面の数はすべて等しい。

オイラーの多面体定理

凸多面体の頂点の数を v、辺の数を e、面の数を f とすると
\begin{equation*} \quad v-e+f=2 \end{equation*}

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Posted by kiri