図形の性質｜空間における直線と平面について
今回は空間における直線と平面について学習しましょう。
この単元も単独で出題されることが少なく、面積や体積などに派生した問題の導入部分でよく出題されます。もちろん、ここで学習する事柄は、面積や体積を求めるときに必要な知識です。
空間における図形の関係を把握することは、意外と難しいと思います。実際、苦手にしている人は多いようです。空間ベクトルを苦手にしている人は、この単元に戻って復習してみると良いかもしれません。
なお、記事の画像が見辛いときはクリックすると拡大できます。
空間における直線や平面の関係
空間図形を扱った問題では、直線や平面の位置やその関係を把握できないと上手に問題を解くことはできません。直線や平面の位置関係を考えるとき、何と何の関係かで変わってきます。
直線や平面の位置関係
- ２直線の位置関係
- 直線と平面の位置関係
- ２平面の位置関係
それぞれの位置関係において、特に垂直や平行となる条件をしっかり覚えましょう。
２直線の位置関係
空間に２本の直線があるとき、これらの位置関係は３つに分類されます。言い換えると、２直線の位置関係は３つしかないということです。
２直線の位置関係
- １点で交わる
- 平行
- ねじれの位置
２直線が１点で交わるとき
２直線が１点で交わるのは平面図形でも扱っているので、問題ないかと思います。
２直線が１点で交わるので、２直線は共有点を１つもちます（図(1)）。
２直線が１点で交わるとき、角ができます。この角のことを２直線のなす角と言います。
２直線のなす角と言う場合、一般に、鋭角を指します。なお、２直線ｍ，ｎのなす角が直角のとき、ｍ⊥ｎと表します。
２直線が平行であるとき
２直線が平行であるときも平面図形で扱っています。
２直線が平行であるとき、２直線は共有点をもちません（図(2)）。
なお、２直線ｍ，ｎが平行であるとき、ｍ//ｎと表します。
２直線がねじれの位置にあるとき
空間図形において独特の位置関係がねじれの位置です（図(3)）。
２直線が交わらず、平行でもないときの位置関係です。このときも２直線は共有点をもちません。
２直線の位置関係について、最も出題されるのがねじれの位置を扱った問題です。
単純な立体であれば問題ないですが、複雑な多面体を扱うときは注意しましょう。
2直線の位置関係について整理すると以下のようになります。
２直線の位置関係は３パターン
- １点で交わる…２直線のなす角・２直線が直角になるための条件
- 平行…共有点なし
- ねじれの位置…共有点なし
直線と平面の位置関係
空間において直線と平面があるとき、これらの位置関係は３つに分類されます。
直線と平面の位置関係
- １点で交わる
- 平行
- 直線が平面に含まれる
直線と平面が１点で交わるとき
直線と平面が１点で交わるとき、直線と平面は共有点を１つもちます（図(1)）。
また、直線と平面が１点で交わるとき、直線ｍが平面αのすべての直線と垂直であれば、直線は平面に垂直である、または直交すると言い、ｍ⊥αと表します。
平面のすべての直線と垂直であると言っていますが、平面上の少なくとも２つの直線と垂直であることを示せば問題ありません。
直線と平面が平行であるとき
直線と平面が平行であるとき、直線と平面は共有点をもちません（図(2)）。
なお、直線ｍと平面αが平行であるとき、ｍ//αと表します。
直線が平面に含まれるとき
直線が平面に含まれるとき、直線上の点はすべて平面上の点でもあります（図(3)）。
直線が平面に含まれてしまうので、直線上の点がすべて共有点になります。
直線と平面の位置関係を整理すると以下のようになります。
直線と平面の位置関係は３パターン
- １点で交わる…直線と平面が垂直になるための条件
- 平行…共有点なし
- 直線が平面に含まれる…共有点は直線上のすべての点
２平面の位置関係
空間において２つの平面があるとき、これらの位置関係は２つに分類されます。
２平面の位置関係
- 交わる
- 平行
２平面が交わるとき
２平面が交わるとき、交線という直線ができます（図(1)）。
もし、２平面が有限に広がる平面であれば、交線は線分です。
このとき、２平面が共有するのは、点と言うよりも直線や線分になります。
２平面が交わるとき、よく出題されるのが２平面のなす角です。２平面のなす角は、各平面上に、交線に垂直な直線を引いたときの角のことです。
図で言えば、∠ＡＯＢが２平面のなす角です。直線ＯＡは平面α上にあり、直線ＯＢは平面β上にあります。
２直線ＯＡ，ＯＢはそれぞれ交線に垂直なので、これらのなす角が２平面α，βのなす角になります。
特に、２直線のなす角が直角であれば、２平面のなす角も直角となり、α⊥βと表します。
何となくで角の大きさを求めるのはなく、交線や交線に垂直な２直線を探したり、引いたりしてから、２平面のなす角を求めましょう。
２平面が平行であるとき
２平面が平行であるとき、交線はできず、共有する直線や線分をもちません（図(2)）。
なお、２平面α，βが平行であるとき、α//βと表します。
２平面の位置関係を整理すると以下のようになります。
２平面の位置関係は２パターン
- 交わる…交線をもつ。２平面のなす角・２平面が垂直になるための条件
- 平行…共有する直線や線分なし
直線や平面の関係をまとめると以下のようになります。
次は、空間における直線や平面を扱った問題を実際に解いてみましょう。