図形と方程式|折れ線の長さの最小について

数学2

図形と方程式 直線

今回は、折れ線の長さの最小について学習しましょう。折れ線のままで考えると、長さの最小値を求めることが難しくなります。

図を見ながら考えると、視覚的に理解できるでしょう。

折れ線の長さ

直線上にない2点A,Bがあります。この2点は、直線に対して同じ側にあります。

たとえば、点Aが直線の上側にあれば、点Bも同じように直線の上側にあります。この2点A,Bと直線上の点Pを結びます。

折れ線の図
直線上にない2点と直線との関係

2点A,Bは直線上にない点です。ですから、線分APと線分PBはつながってはいますが、まっすぐではなく、折れ曲がっています。このような線分APと線分PBの長さの和、すなわち折れ線の長さを考えます。

折れ線の長さ=AP+PB

このような折れ線について、その長さが最小になるとき、点Pは直線上のどこにあれば良いでしょうか。

線対称な点をつくる

折れ線のままで点Pの位置を考えるのはとても難しいです。折れ線になるのは、2点A,Bが直線に関して同じ側にあるからです。

これを解決するために、線対称な図形の性質を利用します。線対称な図形の性質を利用すると、2点のうち一方を、直線に関して他方とは反対側にとることができます。

直線ℓを対称の軸として、点Aと線対称な点を作ります。点Aの代わりに点Bでも構いません。図では、点Aと直線ℓに関して対称な点A’を作っています。

線対称な点を作った図
直線ℓを対称の軸として、点Aと線対称な点A’を作る

2点A,A’は対応する点なので、直線ℓまでの距離は等しくなります。また、線分AA’は直線ℓに垂直です。ですから、対称の軸である直線ℓは、線分AA’の垂直二等分線となります。

線分AA’,AP,A’Pによって三角形ができており、これが直線ℓによって二等分されています。二等分されてできた2つの三角形は、直角三角形であり、合同な図形です。ですから、2つの線分AP,A’Pの長さは等しくなります。

2つの線分AP,A’Pの関係から、AP+PBはA’P+PBに等しいことが分かります。これは、点Pが直線ℓ上のどこにあっても成り立つ関係です。

点Aと直線ℓに関して線対称な点A’をとって、AP=A’Pを利用する。

線分で結ぶ

線対称な点を作れたらあとは簡単です。2点A’,B間の最短経路は、2点A’、Bを結んだ線分A’Bです。このとき、折れ線の長さが最小となります。

作図では点A’と点Bをまっすぐな線で結ぶだけです。

折れ線の長さが最小となる図
線分A’Bの長さが折れ線の長さの最小値

自分で点Pの位置を決める必要はありません。線分A’Bを引けば、点Pの位置が勝手に決まるからです。点Pの位置を自分で頑張って探す必要はありません。

直線ℓと線分A’Bとの交点がP

折れ線の長さの最小を求めてみよう

折れ線の長さの最小となる点Pの座標を求めてみましょう。

例題

$A(2 \ , \ 5) \ , \ B(9 \ , \ 0)$ とするとき、直線 $x+y=5$ 上に点 $P$ をとり、$AP+PB$ を最小にする点 $P$ の座標を求めよ。

例題の解答・解説

作図は以下の通りです。与えられた情報を整理するために、作図することを心掛けましょう。

折れ線の長さの最小(例題)の作図
例題の作図

2点A,Bが直線に関して同じ側にあります。AP+BPは折れ線の長さです。この折れ線の長さを最小にするときを考えます。

まず、直線x+y=5を対称の軸として、点Aと線対称な点A’を作り、その座標を求めます。線対称な点の座標の求め方はすでに学習済みです。2直線の垂直条件中点の座標を利用します。

例題の解答例 1⃣

\begin{align*} &\text{直線 $x+y=5 \ \cdots$ ①をℓとする。} \\[ 5pt ] &\text{また、直線ℓに関して $A$ と対称な点を} \\[ 5pt ] &\text{$A'(a \ , \ b)$ とする。} \\[ 5pt ] &\text{ここで直線 $AA’$ は $x$ 軸に垂直ではないので、} \\[ 5pt ] &\quad a \neq 2 \\[ 7pt ] &\text{$AA’ \perp$ ℓであるので} \\[ 5pt ] &\quad \frac{b-5}{a-2} \cdot \left(-1 \right)=-1 \\[ 7pt ] &\text{整理すると} \\[ 5pt ] &\quad a-b=-3 \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\text{線分 $AA’$ の中点が直線ℓ上にあるので} \\[ 5pt ] &\quad \frac{a+2}{2}+\frac{b+5}{2}=5 \\[ 7pt ] &\text{整理すると} \\[ 5pt ] &\quad a+b=3 \quad \cdots \text{③} \\[ 7pt ] &\text{②,③を解くと} \\[ 5pt ] &\quad a=0 \ , \ b=3 \\[ 7pt ] &\text{よって、点 $A’$ の座標は} \\[ 5pt ] &\quad A’ \ (0 \ , \ 3 ) \end{align*}

解答例では、直線AA’がx軸に垂直でないことを確認しています。傾きの分母が0となる可能性があるからです。答案では直線AA’がx軸と垂直でないことに言及しておきましょう。

確認のやり方は、点Aと点A’のx座標が同じかどうかを確認するだけです。2点A,A’のx座標が同じであれば、傾きの分母は0となるからです。

点A’を図示すると以下の通りです。作図が上手であれば、点A’の座標を推測することができます。

線対称な点の座標を求める図(例題)
点A’はy軸上の点?

直線ℓに関して点Aと線対称な点A’ができたので、点Pの位置を決めます。

点A’から点Pを経由して点Bへたどる経路を考えると、この経路が最短となるのは、3点A’,P,Bが同一直線上にあるときです。つまり、点Pが線分A’B上にあれば良いことが分かります。このとき、折れ線の長さが最小となります。

例題の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad A’ \ (0 \ , \ 3 ) \\[ 5pt ] &\text{このとき} \\[ 5pt ] &\quad AP+PB=A’P+PB \geqq A’B \\[ 7pt ] &\text{よって、$3$ 点 $A’ \ , \ P \ , \ B$ が同じ直線上に} \\[ 5pt ] &\text{あるとき、$AP+PB$ は最小になる。} \end{align*}

折れ線の長さは、線分A’Bの長さよりも短くなりません。3点A’,P,Bが同じ直線上にあるときの図は以下の通りです。

折れ線の最短経路の図(例題)
折れ線は最短で線分A’B

点Pが線分A’B上にあるとき、点Pは線分A’Bと直線ℓの交点となる位置にあります。直線A’Bの方程式を求め、交点の座標を求めます。

例題の解答例 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\text{あるとき、$AP+PB$ は最小になる。} \\[ 5pt ] &\text{直線 $A’B$ の方程式は、$2$ 点 $A'(0 \ , \ 3) \ , \ B(9 \ , \ 0)$} \\[ 5pt ] &\text{を通るので} \\[ 5pt ] &\quad \frac{x}{9}+\frac{y}{3}=1 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad x+3y=9 \quad \text{…④} \\[ 7pt ] &\text{直線 $A’B$ と直線ℓの交点を $P_{0}$ とすると、} \\[ 5pt ] &\text{その座標は①,④を解いて} \\[ 5pt ] &\quad x=3 \ , \ y=2 \\[ 7pt ] &\text{よって、} \\[ 5pt ] &\quad P_{0} \ (3 \ , \ 2) \\[ 7pt ] &\text{したがって、$AP+PB$ を最小にする} \\[ 5pt ] &\text{点 $P$ の座標は $(3 \ , \ 2)$} \end{align*}

直線A’Bの方程式を求めるときは、x切片y切片を利用しましょう。

x,y切片を用いた直線の方程式

\begin{align*} &\text{$a \neq 0 \ , \ b \neq 0$ のとき、$2$ 点 $(a \ , \ 0) \ , \ (0 \ , \ b)$ を} \\[ 5pt ] &\text{通る直線の方程式は} \\[ 5pt ] &\quad \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 \end{align*}

解法の手順をまとめてみましょう。

折れ線の長さの最小を求める手順

  1. 点Aと直線ℓに関して線対称な点A’をとり、点A’と点Bを線分で結んだ図を描いておく。
  2. 点A’の座標を求める。
  3. 直線A’Bの方程式を求める。
  4. 直線A’Bと直線ℓの交点(点P)の座標を求める。

結論が分かっているので、最初にきちんと作図しておきましょう。図を見ながら、点の座標や直線の方程式を求めていきます。求めた座標や方程式を図に追記しておくと良いでしょう。

次は、折れ線の長さの最小を扱った問題を実際に解いてみましょう。