図形と方程式|折れ線の長さの最小について

数学2距離,直線,図形と方程式,線対称

今回は、折れ線の長さの最小について学習しましょう。折れ線のままで考えると、長さの最小値を求めることが難しくなります。

図を見ながら考えると、視覚的に理解できるでしょう。

折れ線の長さ

直線上にない2点A,Bがあります。この2点は、直線に対して同じ側にあります。たとえば、点Aが直線の上側にあれば、点Bも同じように直線の上側にあります。この2点A,Bと直線上の点Pを結びます。

折れ線の図

2点A,Bは直線上にない点です。ですから、線分APと線分PBはつながってはいますが、まっすぐではなく、折れ曲がっています。このような線分APと線分PBの長さの和、すなわち折れ線の長さを考えます。

折れ線の長さ=AP+PB

このような折れ線について、その長さが最小になるとき、点Pは直線上のどこにあれば良いでしょうか。

線対称な点をつくる

折れ線のままで点Pの位置を考えるのはとても難しいです。折れ線になるのは、2点A,Bが直線に関して同じ側にあるからです。これを解決するために、線対称な図形の性質を利用します。線対称な図形の性質を利用すると、2点のうち一方を、直線に関して他方とは反対側にとることができます。

点Aと直線に関して線対称な点を作ります。点Aの代わりに点Bでも構いません。図では、点Aと直線ℓに関して対称な点A’を作っています。

線対称な点を作った図

2点A, A’は対応する点なので、直線までの距離は等しくなります。また、線分AA’は直線に垂直です。ですから、対称の軸である直線ℓは、線分AA’の垂直二等分線となります。

線分AA’, AP, A’Pによって三角形ができており、これが直線ℓによって二等分されています。二等分されてできた直角三角形は合同です。ですから、2つの線分AP, A’Pの長さはともに等しくなります

2つの線分AP,A’Pの関係から、AP+PBはA’P+PBに等しいことが分かります。

点Aと線対称な点A’をとって、AP=A’Pを利用する。

線分で結ぶ

線対称な点ができたらあとは簡単です。2点A’,B間の最短経路は、2点A’,Bを結ぶ線分です。このとき、折れ線の長さが最小となります。

作図では点A’と点Bをまっすぐな線で結ぶだけです。

折れ線の長さが最小となる図

点Pの位置は自分で決めるのではなく、線分A’Bを引くことで点Pの位置が勝手に決まります。点Pの位置を自分で頑張って探す必要はありません。

2点間の最小経路=2点を結ぶ線分

折れ線の長さの最小を求めてみよう

折れ線の長さの最小となる点Pの座標を求めてみましょう。

例題
\begin{align*}
&\text{$A(2 \ , \ 5) \ , \ B(9 \ , \ 0)$ とするとき、直線 $x+y=5$ 上に点Pをとり、} \\
&\text{$AP+PB$ を最小にする点Pの座標を求めよ。}
\end{align*}

例題の解答・解説

作図は以下の通りです。

折れ線の長さの最小(例題)の作図

2点A,Bが直線に関して同じ側にあるので、折れ線となっています。この折れ線の長さの最小を考えます。

まず、点Aと線対称な点A’の座標を求めます。求め方はすでに学習済みです。2直線の垂直条件や中点の座標を利用します。

例題の解答例①
\begin{align*}
&\text{直線 $x+y=5$ …① に関してAと対称な点を $A'(a \ , \ b)$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{ここで直線AA’は $x$ 軸に垂直ではないので、$a \neq 2$} \\[ 5pt ]
&\text{$AA’ \perp$ ℓであるので} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{b-5}{a-2} \cdot \bigl( -1 \bigr)=-1 \\[ 7pt ]
&\text{整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad a-b=-3 \quad \text{…②} \\[ 7pt ]
&\text{線分AA’の中点が直線ℓ上にあるので} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{a+2}{2}+\frac{b+5}{2}=5 \\[ 7pt ]
&\text{整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad a+b=3 \quad \text{…③} \\[ 7pt ]
&\text{②,③を解くと} \\[ 5pt ]
&\quad a=0 \ , \ b=3 \\[ 7pt ]
&\text{よって、点A’の座標は} \\[ 5pt ]
&\quad A’ \bigl(0 \ , \ 3 \bigr)
\end{align*}

解答例では、直線A’Aが x 軸と垂直でないことを確認しています。傾きの分母が0となる可能性があるからです。確認のやり方は、点Aと点A’の x 座標が同じかどうかを確認するだけです。

点A’を図示すると以下の通りです。

線対称な点の座標を求める図(例題)

点Aと線対称な点A’ができたので、点Pの位置を決めます。点A’から点Pを経由して点Bへたどる経路を考えると、この経路が最短となるのは、3点が同じ直線上にあるときです。つまり、点Pが直線A’B上にあれば良いことが分かります。このとき、折れ線の長さは最小となります。

例題の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad A’ \bigl(0 \ , \ 3 \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{このとき} \\[ 5pt ]
&\quad AP+PB=A’P+PB \geqq A’B \\[ 7pt ]
&\text{よって、3点A’, P, Bが同じ直線上にあるとき、} \\[ 5pt ]
&\text{$AP+PB$ は最小になる。}
\end{align*}

3点A’, P, Bが同じ直線上にあるときの図は以下の通りです。

折れ線の最短経路の図(例題)

点Pが直線A’B上にあるとき、点Pは直線A’Bと直線ℓの交点となる位置にあります。直線A’Bの方程式を求め、交点の座標を求めます。

例題の解答例③
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\text{直線A’Bの方程式は、2点 $A'(0 \ , \ 3) \ , \ B(9 \ , \ 0)$ を通るので} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{x}{9}+\frac{y}{3}=1 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad x+3y=9 \quad \text{…④} \\[ 7pt ]
&\text{直線A’Bと直線ℓの交点を $P_{0}$ とすると、その座標は} \\[ 5pt ]
&\text{①,④を解いて} \\[ 5pt ]
&\quad x=3 \ , \ y=2 \\[ 7pt ]
&\text{よって、} \\[ 5pt ]
&\quad P_{0} \bigl(3 \ , \ 2 \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{したがって、$AP+PB$ を最小にする点Pの座標は $(3 \ , \ 2)$}
\end{align*}

直線A’Bの方程式を求めるときは、x 切片と y 切片を利用しましょう。

切片を用いた直線の方程式
\begin{align*}
&\text{$a \neq 0 \ , \ b \neq 0$ のとき、2点 $(a \ , \ 0) \ , \ (0 \ , \ b)$ を通る} \\[ 5pt ]
&\text{直線の方程式は} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1
\end{align*}

解法の手順をまとめてみましょう。

  1. 点Aと直線ℓに関して線対称な点A’をとり、点A’と点Bを線分で結んだ図を描いておく。
  2. 点A’の座標を求める。
  3. 直線A’Bの方程式を求める。
  4. 直線A’Bと直線ℓの交点(点P)の座標を求める。

結論が分かっているので、最初にきちんと作図しておきましょう。図を見ながら、点の座標や直線の方程式を求めていきます。求めた座標や方程式を図に追記しておくと良いでしょう。

次は、折れ線の長さの最小を扱った問題を実際に解いてみましょう。