図形の性質｜作図について
今回は作図について学習しましょう。
高校の数学では、試験でも基本的にフリーハンドで作図することが多くなります。それに伴って、定規やコンパスを使う機会がほとんどありません。
どちらかと言うと、中学生に知っておいてほしい内容です。ただ、作図では図形の性質を上手に利用するので、高校生にとっても十分に参考になると思います。
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定規とコンパスの決まった使い方
作図とは、定規とコンパスだけを使って、次の２つの規約に基づき、与えられた条件を満たす図形を書くことです。定規の目盛りや三角定規の角などは使えないので注意しましょう。
作図の規約（作図の公法）
- 定規：与えられた２点を通る直線を引く。線分を延長する。
- コンパス：与えられた１点を中心として、与えられた半径をかく。線分の長さを移す。
２つの規約は作図の公法とも言われます。このような規約を守って作図するわけですが、特に作図できるようにしておきたい図形は４つあります。
作図できるようにしておきたい図形
- 垂直二等分線
- （特定の）点を通る垂線
- 角の二等分線
- （特定の）点を通る平行線
その他にも「線分を移す」「角を移す」「線分の分点」などの作図もあり、上記の４つと併せて７つの作図を基本作図と言います。
線分の垂直二等分線を引こう
垂直二等分線とは、線分を二等分するだけでなく、その線分に対して垂直な直線のことです。
線分ＡＢの垂直二等分線を引いてみましょう。手順は３つあります。
垂直二等分線の手順①
コンパスを使って、点Ａを中心とする円（弧）を描きます。
コンパスの開き具合いは、線分ＡＢの半分よりも大きくなるようにしましょう。また、この後も同じ半径の円（弧）を描くので、コンパスを閉じずに開いたままにしておきます。
垂直二等分線の手順②
手順①と同じ要領でコンパスを使って、今度は点Ｂを中心とする円（弧）を描きます。
コンパスを開いたままにしておいたので、手順①のときと同じ半径の円（弧）を描くことができます。
点Ａを中心とする円（弧）と、点Ｂを中心とする円（弧）が交わって、線分ＡＢの上下に交点が２つできます。交点だと分かるように、点を打っておくと良いでしょう。
垂直二等分線の手順③
２つの交点を通る直線を定規を使って引きます。これが線分ＡＢの垂直二等分線です。
このような手順で線分ＡＢの垂直二等分線を作図することができます。
垂直二等分線かどうかを調べてみよう
作図した直線が垂直二等分線であることを確かめるには、△ＡＰＢ，△ＡＱＢや四角形ＡＰＢＱを見ると分かります。
ＡＰ＝ＢＰ＝ＡＱ＝ＢＱとなるように作図したので、△ＡＰＢと△ＡＱＢは合同な二等辺三角形になります。また、四角形ＡＰＢＱはひし形になります。
ひし形は４辺が等しい平行四辺形と考えるとイメージしやすいでしょう。このひし形は、２本の対角線が直交し、かつ互いに他を二等分するという性質をもちます。
ＡＢ，ＰＱはひし形の対角線になっているので、ＰＱはＡＢの垂直二等分線になります。また、垂直二等分線の作図では、ひし形を作ろうとしていることも分かります。
線分の垂直二等分線は、ひし形の対角線を作図している。
垂直二等分線の性質
垂直二等分線のもつ性質として、垂直二等分線上の点から２点Ａ，Ｂまでの距離は等しい（ＡＰ＝ＢＰ，ＡＱ＝ＢＱ）という性質があります。
この性質が成り立つのは、２点Ｐ，Ｑが垂直二等分線上のどこにあっても、△ＡＰＢと△ＡＱＢが合同な二等辺三角形になるからです。
このような線分ＡＢの垂直二等分線は、２つの定点Ａ，Ｂから等距離にある点の集まり（軌跡）になります。
垂直二等分線を作図するような状況として、たとえば、外心や線対称の軸を作図するときに利用されます。このことは「軌跡」の単元でも出題されるので覚えておきましょう。
垂直二等分線は、外心や線対称の軸を作図する問題で出題される。
線分ＡＢの垂直二等分線を引く手順の一覧です。
特定の点を通る垂線を引こう
垂線とは、ある直線に対して垂直な直線のことです。もちろん、線分ＡＢの垂直二等分線も垂線です。
直線ℓに対して、点Ａを通る垂線を引いてみましょう。ただし、点Ａは直線ℓ上にない点です。手順は３つあります。
垂線の手順①
コンパスを使って、点Ａを中心とする、直線ℓと交わる円（弧）を描きます。コンパスを開いたままにしておきます。
直線ℓとの交点が２つできます。２つの交点をＰ，Ｑとすると、ＡＰ＝ＡＱです。
垂線の手順②
手順①と同じ要領でコンパスを使って、今度は点Ｐ，Ｑをそれぞれ中心とする円（弧）を描きます。このとき、直線ℓに関して点Ａと反対側に円（弧）を描きます。
２つの円（弧）が交わって交点ができます。この交点をＲとすると、同じ半径の円（弧）を描いたので ＡＰ＝ＡＱ＝ＰＲ＝ＱＲです。これで４辺が等しい四角形（ひし形）ができていることが分かります。
垂線の手順③
２点Ａ，Ｒを通る直線を定規で引きます。この直線ＡＲが点Ａを通る垂線です。
点Ａを通る直線ＡＲが、直線ℓに対して垂直であることは、２つの直線ＡＲ，ℓがひし形である四角形ＡＰＲＱの対角線であることから明らかです。このような垂線は、たとえば、接線や三角形の高さを作図するときに利用されます。
垂線は、接線や三角形の高さを作図する問題で出題される。
点Ａを通る垂線を引く手順の一覧です。
次は、角の二等分線や点を通る平行線の作図です。