図形の性質｜作図について
作図を扱った問題を解いてみよう
次の問題を解いてみましょう。
問(1)の解答・解説
問(1)
$\triangle {ABC}$ の外心 $O$ を作図せよ。
問(1)は、三角形の外心を作図する問題です。外心は３辺の垂直二等分線の交点です。垂直二等分線を少なくとも２本引いて交点をつくります。
外心の作図(i)
まず、コンパスを使って、３つの頂点Ａ，Ｂ，Ｃを中心とする円（弧）を描きます。どの円（弧）も同じ半径です。
３つの円（弧）が交わって交点ができます。
外心の作図(ii)
先ほどできた交点を通る直線を定規で引きます。
Ａ，Ｂを中心とする円（弧）の交点を通る直線が、線分ＡＢの垂直二等分線です。
また、Ａ，Ｃを中心とする円（弧）の交点を通る直線が、線分ＡＣの垂直二等分線です。そして、２本の垂直二等分線の交点が△ＡＢＣの外心Ｏです。
作図のときに注意したいのは、作図の跡を残しておくことです。ただ、作図の跡を残しておくので、たくさんの弧や線が入り混じっていると分かり辛くなります。できるだけ簡潔にし、どのように作図したかが分かるようにしておきましょう。
作図の手順一覧は以下のようになります。
問(2)の解答・解説
問(2)
$\triangle {ABC}$ の内心 $I$ を作図せよ。
問(2)は、三角形の内心を作図する問題です。内心は３つの内角の二等分線の交点です。内角の二等分線を少なくとも２本引いて交点をつくります。
内心の作図(i)
まず∠ＡＢＣの二等分線を引きます。
内心の作図(ii)
同じ要領で、∠ＡＣＢの二等分線を引きます。
２本の角の二等分線が交わって交点ができます。この交点が△ＡＢＣの内心Ｉです。
作図の手順一覧は以下のようになります。
問(3)の解答・解説
問(3)
円 $O$ 上の点 $P$ における接線を作図せよ。
問(3)は、円周上の点における接線を作図する問題です。円の中心と接点とを通る直線が、接線と直交することを利用します。
円Ｏ上の点Ｐにおける接線の作図(i)
直線ＯＰを引きます。点Ｐを中心とする半径ＯＰの円（弧）を描きます。直線ＯＰ上には、点Ｐに関して、点Ｏと反対側に交点ができます。この交点をＱとします。このとき、ＯＰ＝ＰＱです。
円Ｏ上の点Ｐにおける接線の作図(ii)
次に、コンパスの開きを少し大きくして、点Ｏ，Ｑをそれぞれ中心とする円（弧）を描きます。２つの円（弧）が交わって交点ができます。
さいごに、交点を通る直線を定規で引くと、線分ＯＱの垂直二等分線ができます。この垂直二等分線が円Ｏ上の点Ｐを通る接線です。
作図の手順一覧は以下のようになります。
問(4)の解答・解説
問(4)
点 $P$ から円 $O$ に引いた接線を作図せよ。
問(4)は、円外の点から円に引いた接線を作図する問題です。問(3)では円周上の点であったのに対して、問(4)では円外の点であることに注意しましょう。
作図のイメージは以下のようになります。図のように、円Ｏ上にある接点Ｒ，Ｓが分かれば、問(3)のように作図できますが、実際には分かっていません。ですから、接点Ｒ，Ｓをどのようにしてつくるかを考えます。
接点Ｒ，Ｓは、直線ＯＲ，ＯＳと接線ＰＲ，ＰＳとが直交するときの交点です。
９０°の角ができることを考慮すると、線分ＯＰを直径とする円の周上にあることが分かります。直径ＯＰに対する円周角がつねに ９０°になるからです。
このような直径ＯＰの円上にあって、円Ｏ上にもある点が接点Ｒ，Ｓです。つまり、接点Ｒ，Ｓをつくるには、線分ＯＰが直径となる円を描けばよいことが分かります。
点Ｐから円Ｏに引いた接線の作図(i)
方針が決まったので作図していきます。まず、線分ＯＰの垂直二等分線を引きます。
線分ＯＰとその垂直二等分線が交わって交点ができるので、これをＱとします。この点Ｑが、線分ＯＰを直径とする円の中心です。
点Ｐから円Ｏに引いた接線の作図(ii)
次は、点Ｑを中心とする半径ＰＱ（またはＯＱ）の円を描きます。
円を描くと、円Ｏと交わって交点が２つできます。
点Ｐから円Ｏに引いた接線の作図(iii)
円Ｏとの交点をそれぞれＲ，Ｓとします。この交点Ｒ，Ｓが接点です。これまでが接点の作図手順です。
さいごに、点Ｐと接点Ｒ，Ｓを通る直線を定規で引きます。この直線ＰＲ，ＰＳが、点Ｐから円Ｏに引いた接線です。
直角と言われると、垂線を引きたくなりますが、直径に対する円周角でも９０°の角をつくることができます。
作図の手順一覧は以下のようになります。
問(5)の解答・解説
問(5)
線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点 $C$ を作図せよ。
問(5)は、内分点をつくる問題です。これをマスターすると、外分点も作図できるようになります。
線分ＡＢを２：１に内分する点Ｃの作図(i)
まず、点Ａを通る直線を引きます。このとき、線分ＡＢとのなす角が鋭角になるように直線を引きましょう。
自分で引いた直線上に、ＡＰ＝ＰＱ＝ＱＲとなる点Ｐ，Ｑ，Ｒを作ります。
コンパスの開き具合いを変えず、同じ長さとなるように直線上に円（弧）との交点を作ります。これで線分ＡＲを３等分したような図を作図できます。
また、定規を使って、直線ＢＲを引きます。このとき、点Ｒ側を少し延長しておくと良いでしょう。
線分を等分するのは、基本作図の「線分を移す」方法で作図する。ただし、コンパスを開きすぎると、点を作りにくくなるので注意しよう。
線分ＡＢを２：１に内分する点Ｃの作図(ii)
次に、点Ｒを中心とする半径ＱＲの円（弧）を描きます。これと直線ＢＲが交わって交点ができます。この交点をＳとすると、ＱＲ＝ＲＳです。コンパスを開いたままにしておきます。
さらに、点Ｑ，Ｓをそれぞれ中心とする円（弧）を描きます。交点ができるのでＴとします。これでＱＲ＝ＲＳ＝ＱＴ＝ＳＴとなるひし形ができます。
線分ＡＢを２：１に内分する点Ｃの作図(iii)
さいごに２点Ｑ，Ｔを通る直線を引きます。
直線ＱＴが線分ＡＢと交わって交点ができます。この点がＣです。
直線ＱＴは直線ＢＲに平行です。平行線と線分の比の関係から、ＡＱ：ＱＲ＝ＡＣ：ＣＢ＝２：１が成り立ちます。このことから、点Ｃが線分ＡＢを２：１に内分する点となります。
作図の手順一覧は以下のようになります。
問(6)の解答・解説
問(6)
線分 $AB$ を一辺とする正方形を作図せよ。
問(6)は、特定の線分ＡＢを一辺とする正方形を作図する問題です。ひし形の成立条件に、内角の大きさが９０°であるという条件が加われば、その図形は正方形になります。
線分ＡＢを一辺とする正方形の作図(i)
線分ＡＢの一端を延長して、半直線ＡＢにします。延長するのはどちらでも構いません。
線分ＡＢを半直線ＡＢにした後、点Ｂを中心とする半径ＡＢの円（弧）を描きます。半直線ＡＢ上に交点ができるので、これをＰとします。このとき、ＡＢ＝ＢＰです。
線分ＡＢを一辺とする正方形の作図(ii)
今度はコンパスの開きぐらいを少し大きくして、点Ａ，Ｐを中心とする円（弧）をそれぞれ描きます。交点ができるので、この交点と点Ｂを通る直線を定規で引きます。
垂線でも良いのですが、ここでは線分ＡＰの垂直二等分線を引いています。垂直二等分線と最初の円（弧）が交わって交点ができます。これを点Ｃとします。
線分ＡＢを一辺とする正方形の作図(iii)
点Ａ，Ｃをそれぞれ中心とする半径ＡＢの円（弧）を描きます。円(弧)が交わって交点ができます。これを点Ｄとすると、ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡです。
さいごに、定規を使って、点Ａと点Ｄ、点Ｃと点Ｄをそれぞれ結びます。このような手順で線分ＡＢを一辺とする正方形ができます。
点Ｂを通る垂線を引いたように、点Ａを通る垂線を引いても正方形を作図できます。ただ、上述の作図例よりも手間が増えるのであまりお勧めしません。
作図の手順一覧は以下のようになります。
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さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう
- ７つの基本作図を描けるようになろう。
- 線分の垂直二等分線と角の二等分線については、その性質も含めて重要。
- 作図では基本的にひし形を描くことを考えよう。
- 直角の作図は、垂線だけでなく、直径に対する円周角でも可能。