図形の性質|作図について

数学A

数学A 図形の性質(別バージョン)

作図を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

作図を扱った問題

問(1)の解答・解説

問(1)

$\triangle {ABC}$ の外心 $O$ を作図せよ。

問(1)は、三角形の外心を作図する問題です。外心は3辺の垂直二等分線の交点です。垂直二等分線を少なくとも2本引いて交点をつくります。

外心の作図(i)

まず、コンパスを使って、3つの頂点A,B,Cを中心とする円(弧)を描きます。どの円(弧)も同じ半径です。

作図を扱った問題問(1)の手順1
3点A,B,Cを中心とする円(弧)を描く

3つの円(弧)が交わって交点ができます。

外心の作図(ii)

先ほどできた交点を通る直線を定規で引きます。

作図を扱った問題問(1)の手順2
辺AB,ACの垂直二等分線を引く

A,Bを中心とする円(弧)の交点を通る直線が、線分ABの垂直二等分線です。

また、A,Cを中心とする円(弧)の交点を通る直線が、線分ACの垂直二等分線です。そして、2本の垂直二等分線の交点が△ABCの外心Oです。

作図のときに注意したいのは、作図の跡を残しておくことです。ただ、作図の跡を残しておくので、たくさんの弧や線が入り混じっていると分かり辛くなります。できるだけ簡潔にし、どのように作図したかが分かるようにしておきましょう。

作図の手順一覧は以下のようになります。

作図を扱った問題問(1)の解答例
問(1)の作図例

問(2)の解答・解説

問(2)

$\triangle {ABC}$ の内心 $I$ を作図せよ。

問(2)は、三角形の内心を作図する問題です。内心は3つの内角の二等分線の交点です。内角の二等分線を少なくとも2本引いて交点をつくります。

内心の作図(i)

まず∠ABCの二等分線を引きます。

作図を扱った問題問(2)の手順1
∠ABCの二等分線を引く

内心の作図(ii)

同じ要領で、∠ACBの二等分線を引きます。

作図を扱った問題問(2)の手順2
∠ACBの二等分線を引く

2本の角の二等分線が交わって交点ができます。この交点が△ABCの内心Iです。

作図の手順一覧は以下のようになります。

作図を扱った問題問(2)の解答例
問(2)の作図例

問(3)の解答・解説

問(3)

円 $O$ 上の点 $P$ における接線を作図せよ。

問(3)は、円周上の点における接線を作図する問題です。円の中心と接点とを通る直線が、接線と直交することを利用します。

円O上の点Pにおける接線の作図(i)

直線OPを引きます。点Pを中心とする半径OPの円(弧)を描きます。直線OP上には、点Pに関して、点Oと反対側に交点ができます。この交点をQとします。このとき、OP=PQです。

作図を扱った問題問(3)の手順1
点Pを中心とする半径OPの円(弧)を描いて点Qを作る

円O上の点Pにおける接線の作図(ii)

次に、コンパスの開きを少し大きくして、点O,Qをそれぞれ中心とする円(弧)を描きます。2つの円(弧)が交わって交点ができます。

作図を扱った問題問(3)の手順2
点O,Qをそれぞれ中心とする円(弧)を描く

さいごに、交点を通る直線を定規で引くと、線分OQの垂直二等分線ができます。この垂直二等分線が円O上の点Pを通る接線です。

作図の手順一覧は以下のようになります。

作図を扱った問題問(3)の解答例
問(3)の作図例

問(4)の解答・解説

問(4)

点 $P$ から円 $O$ に引いた接線を作図せよ。

問(4)は、円外の点から円に引いた接線を作図する問題です。問(3)では円周上の点であったのに対して、問(4)では円外の点であることに注意しましょう。

作図のイメージは以下のようになります。図のように、円O上にある接点R,Sが分かれば、問(3)のように作図できますが、実際には分かっていません。ですから、接点R,Sをどのようにしてつくるかを考えます。

作図を扱った問題問(4)の完成図
円外の点から接線を引くには接点が必要

接点R,Sは、直線OR,OSと接線PR,PSとが直交するときの交点です。 90°の角ができることを考慮すると、線分OPを直径とする円の周上にあることが分かります。直径OPに対する円周角がつねに 90°になるからです。

このような直径OPの円上にあって、円O上にもある点が接点R,Sです。つまり、接点R,Sをつくるには、線分OPが直径となる円を描けばよいことが分かります。

点Pから円Oに引いた接線の作図(i)

方針が決まったので作図していきます。まず、線分OPの垂直二等分線を引きます。

作図を扱った問題問(4)の手順1
線分OPの垂直二等分線を引いて点Qを作る

線分OPとその垂直二等分線が交わって交点ができるので、これをQとします。この点Qが、線分OPを直径とする円の中心です。

点Pから円Oに引いた接線の作図(ii)

次は、点Qを中心とする半径PQ(またはOQ)の円を描きます。

作図を扱った問題問(4)の手順2
点Qを中心とする半径PQの円を描く

円を描くと、円Oと交わって交点が2つできます。

点Pから円Oに引いた接線の作図(iii)

円Oとの交点をそれぞれR,Sとします。この交点R,Sが接点です。これまでが接点の作図手順です。

作図を扱った問題問(4)の手順3
点Pと接点R,Sを通る直線を引く

さいごに、点Pと接点R,Sを通る直線を定規で引きます。この直線PR,PSが、点Pから円Oに引いた接線です。

直角と言われると、垂線を引きたくなりますが、直径に対する円周角でも90°の角をつくることができます。

作図の手順一覧は以下のようになります。

作図を扱った問題問(4)の解答例
問(4)の作図例

問(5)の解答・解説

問(5)

線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点 $C$ を作図せよ。

問(5)は、内分点をつくる問題です。これをマスターすると、外分点も作図できるようになります。

線分ABを2:1に内分する点Cの作図(i)

まず、点Aを通る直線を引きます。このとき、線分ABとのなす角が鋭角になるように直線を引きましょう。

自分で引いた直線上に、AP=PQ=QRとなる点P,Q,Rを作ります。コンパスの開き具合いを変えず、同じ長さとなるように直線上に円(弧)との交点を作ります。これで線分ARを3等分したような図を作図できます。

作図を扱った問題問(5)の手順1
AP=PQ=QRとなる3点P,Q,Rを作る

また、定規を使って、直線BRを引きます。このとき、点R側を少し延長しておくと良いでしょう。

線分を等分するのは、基本作図の「線分を移す」方法で作図する。ただし、コンパスを開きすぎると、点を作りにくくなるので注意しよう。

線分ABを2:1に内分する点Cの作図(ii)

次に、点Rを中心とする半径QRの円(弧)を描きます。これと直線BRが交わって交点ができます。この交点をSとすると、QR=RSです。コンパスを開いたままにしておきます。

作図を扱った問題問(5)の手順2
点Rを中心とする半径QRの円(弧)を描く

さらに、点Q,Sをそれぞれ中心とする円(弧)を描きます。交点ができるのでTとします。これでQR=RS=QT=STとなるひし形ができます。

線分ABを2:1に内分する点Cの作図(iii)

さいごに2点Q,Tを通る直線を引きます。

作図を扱った問題問(5)の手順3
2点Q,Tを通る直線を引く

直線QTが線分ABと交わって交点ができます。この点がCです。

直線QTは直線BRに平行です。平行線と線分の比の関係から、AQ:QR=AC:CB=2:1が成り立ちます。このことから、点Cが線分ABを2:1に内分する点となります。

作図の手順一覧は以下のようになります。

作図を扱った問題問(5)の解答例
問(5)の作図例

問(6)の解答・解説

問(6)

線分 $AB$ を一辺とする正方形を作図せよ。

問(6)は、特定の線分ABを一辺とする正方形を作図する問題です。ひし形の成立条件に、内角の大きさが90°であるという条件が加われば、その図形は正方形になります。

線分ABを一辺とする正方形の作図(i)

線分ABの一端を延長して、半直線ABにします。延長するのはどちらでも構いません。

作図を扱った問題問(6)の手順1
点Bを中心とする円(弧)を描く

線分ABを半直線ABにした後、点Bを中心とする半径ABの円(弧)を描きます。半直線AB上に交点ができるので、これをPとします。このとき、AB=BPです。

線分ABを一辺とする正方形の作図(ii)

今度はコンパスの開きぐらいを少し大きくして、点A,Pを中心とする円(弧)をそれぞれ描きます。交点ができるので、この交点と点Bを通る直線を定規で引きます。

作図を扱った問題問(6)の手順2
点A,Pを中心とする円(弧)を描く

垂線でも良いのですが、ここでは線分APの垂直二等分線を引いています。垂直二等分線と最初の円(弧)が交わって交点ができます。これを点Cとします。

線分ABを一辺とする正方形の作図(iii)

点A,Cをそれぞれ中心とする半径ABの円(弧)を描きます。円(弧)が交わって交点ができます。これを点Dとすると、AB=BC=CD=DAです。

作図を扱った問題問(6)の手順3
点A,Cを中心とする円(弧)を描く

さいごに、定規を使って、点Aと点D、点Cと点Dをそれぞれ結びます。このような手順で線分ABを一辺とする正方形ができます。

作図を扱った問題問(6)の手順4
点Aと点D、点Cと点Dを直線でそれぞれ結ぶ

点Bを通る垂線を引いたように、点Aを通る垂線を引いても正方形を作図できます。ただ、上述の作図例よりも手間が増えるのであまりお勧めしません。

作図の手順一覧は以下のようになります。

作図を扱った問題問(6)の解答例
問(6)の作図例

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