図形の性質|接線と弦について

数学A

数学A 図形の性質

今回は接線と弦について学習しましょう。接線と弦を扱った問題であれば、必ずと言って良いほど出題される定理が出てきます。

これまでと同じように図形とセットで定理を覚えましょう。そして、図形を見たときに定理を利用可能かを瞬時に判断できるようになっておきましょう。

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接線と弦

この単元で学習する事項は主に2つあります。

接線と弦に関する基本事項

  • 接線の長さ
  • 接弦定理

接線の長さとは、円の外部の1点と接点との距離のことです。ですから、円の外部の1点から円に接線を引いたときの話になります。

円の外部の1点から円の接線を2本引くことができます。このとき、接線の長さはともに等しくなります。この性質については、すでに内心の単元で触れられています。

また、接弦定理とは、接点を通る弦と接線とがつくる角は、その角の内部にある弧に対する円周角と等しくなるという定理です。その角の内部にある弧とは、弦によって円周が2つの弧に分けられたときの、弦と接線に挟まれた弧を指します。

接線と弦のまとめ
接線と弦に関する基本事項

次は性質や定理が成り立つことを確認してみましょう。

接線の長さが等しいことを証明しよう

中心をOとする円に、円の外部にある点Pから接線を2本引きます。このとき、2本の接線と円との交点(接点)ができるので、それぞれA,Bとします。

また、2点A,Bを中心Oと線分で結びます。さらに、2点O,Pを線分で結ぶと、2つの三角形△OAP,△OBPができます。

円の外部の1点から引いた接線の図
円の外部の1点から引いた接線

△OAPと△OBPに注目します。

△OAPと△OBPの関係

\begin{align*} &\text{$\triangle OAP$ と $\triangle OBP$ において、} \\[ 5pt ] &\quad AP \perp OA \ , \ BP \perp OB \\[ 7pt ] &\text{より、$\triangle OAP$ と $\triangle OBP$ は直角三角形。} \\[ 5pt ] &\text{ここで} \\[ 5pt ] &\quad OA = OB \\[ 7pt ] &\quad OP = OP \\[ 7pt ] &\text{が成り立つので} \\[ 5pt ] &\quad \triangle OAP \equiv \triangle OBP \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad AP = BP \end{align*}
円の外部の1点から引いた接線の図
△OAPと△OBPに注目

△OAPと△OBPは合同な三角形になります。辺AP,BPの長さが等しくなるので、接線の長さも等しくなります。接線の長さが等しいことの証明は、直角三角形の合同証明で行います。

円の外部の1点から引いた接線の長さの証明
接線の長さが等しいことの証明の例

次は接弦定理が成り立つことを証明してみましょう。