整数の性質｜ｎ進法の四則計算について

09/16/2023数学Ａ

ｎ進法の四則計算を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問

次の計算の結果を［］内の記数法で表わせ。

$\begin{align*} (1) \quad &1222_{(3)} + 1120_{(3)}& &\text{［３進法］} \\[ 7pt ] (2) \quad &110100_{(2)} \ – 101101_{(2)}& &\text{［２進法］} \\[ 7pt ] (3) \quad &2304_{(5)} \times 203_{(5)}& &\text{［５進法］} \\[ 7pt ] (4) \quad &110001_{(2)} \div 111_{(2)}& &\text{［２進法］} \end{align*}$

問(1)の解答・解説

問(1)

次の計算の結果を［］内の記数法で表わせ。

$\begin{align*} \quad 1222_{(3)} + 1120_{(3)} \text{［３進法］} \end{align*}$

問(1)は、３進法で表された数の加法です。３進法では０~２の３個の数字を用いて数を表すので、和が３になると繰り上がります。

３進法での加法

$\begin{array}{c|ccc} + & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 10 \\ 2 & 2 & 10 & 11 \end{array}$

$\begin{align*} &1 + 2 = 2 + 1 = 3 = 10_{(3)} \\[ 7pt ] &2 + 2 = 4 = 3 + 1 = 11_{(3)} \end{align*}$

１０進法のときと同じように足して構いません。ただし、和が３以上になれば、３進法のルールに従った数に変換します。

問(1)の解答例

$\begin{align*} 1222& \\ + \quad 1120& \\ \hline 10112& \end{align*}$

よって

$\begin{align*} \quad 1222_{(3)} + 1120_{(3)} = 10112_{(3)} \end{align*}$

１０進数に変換して計算した場合、以下のようになります。

問(1)の別解例

$\begin{align*} &\quad 1222_{(3)} \\[ 7pt ] &= 1 \cdot 3^{3} + 2 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3^{1} + 2 \cdot 3^{0} \\[ 7pt ] &= 27 + 18 + 6 + 2 \\[ 7pt ] &= 53 \\[ 10pt ] &\quad 1120_{(3)} \\[ 7pt ] &= 1 \cdot 3^{3} + 1 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3^{1} + 0 \cdot 3^{0} \\[ 7pt ] &= 27 + 9 + 6 + 0 \\[ 7pt ] &= 42 \end{align*}$

より

$\begin{align*} \quad 53 + 42 = 95 \end{align*}$

$3$ 進数に戻すと

$\begin{align*} \quad 95 = 10112_{(3)} \end{align*}$

１０進数で計算した方が、繰り上がりや繰り下がりに気を使わずに済みます。

問(2)の解答・解説

問(2)

次の計算の結果を［］内の記数法で表わせ。

$\begin{align*} \quad 110100_{(2)} \ – 101101_{(2)} \text{［２進法］} \end{align*}$

問(2)は、２進法で表された数の減法です。２進法の減法では１０－１＝１₍₂₎であることに注意しましょう。

問(2)の解答例

$\begin{align*} 110100& \\ – \quad 101101& \\ \hline 111& \end{align*}$

よって

$\begin{align*} \quad 110100_{(2)} \ – 101101_{(2)} = 111_{(2)} \end{align*}$

１０進数に変換した場合、以下のようになります。

問(2)の別解例

$\begin{align*} &\quad 110100_{(2)} \\[ 7pt ] &= 1 \cdot 2^{5} + 1 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{0} \\[ 7pt ] &= 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 0 \\[ 7pt ] &= 52 \\[ 10pt ] &\quad 101101_{(2)} \\[ 7pt ] &= 1 \cdot 2^{5} + 0 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} \\[ 7pt ] &= 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 \\[ 7pt ] &= 45 \end{align*}$

より

$\begin{align*} \quad 52 \ – 45 = 7 \end{align*}$

$2$ 進数に戻すと

$\begin{align*} \quad 7 = 111_{(2)} \end{align*}$

よって

$\begin{align*} \quad 110100_{(2)} \ – 101101_{(2)} = 111_{(2)} \end{align*}$

減法では繰り下がりに気をつけよう。

問(3)の解答・解説

問(3)

次の計算の結果を［］内の記数法で表わせ。

$\begin{align*} \quad 2304_{(5)} \times 203_{(5)} \text{［５進法］} \end{align*}$

問(3)は、５進法で表された数の乗法です。５進法では０~４の５個の数字を用いて数を表すので、和が５になると繰り上がります。

５進法での乗法

$\begin{array}{c|ccccc} \times & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & 2 & 4 & 11 & 13 \\ 3 & 0 & 3 & 11 & 14 & 22 \\ 4 & 0 & 4 & 13 & 22 & 31 \end{array}$

$\begin{align*} &2 \times 3 = 3 \times 2 = 6 = 5 + 1 = 11_{(5)} \\[ 7pt ] &3 \times 3 = 9 = 5 + 4 = 14_{(5)} \\[ 7pt ] &3 \times 4 = 4 \times 3 = 12 = 5 + 5 + 2 = 22_{(5)} \\[ 7pt ] &4 \times 4 = 16 = 5 + 5 + 5 + 1 = 31_{(5)} \end{align*}$

１０進法のときと同じように掛けて構いません。ただし、積が５以上になれば、５進法のルールに従った数に変換します。

問(3)の解答例

$\begin{align*} 230&4 \\ \times \quad 20&3 \\ \hline 1242&2 \\ 101130& \\ \hline 102422&2 \end{align*}$

よって

$\begin{align*} \quad 2304_{(5)} \times 203_{(5)} = 1024222_{(5)} \end{align*}$

５進法の基本計算を表にしておいて、それを見ながら計算すると間違えにくいでしょう。

１０進数に変換した場合、以下のようになります。

問(3)の別解例

$\begin{align*} &\quad 2304_{(5)} \\[ 5pt ] &= 2 \cdot 5^{3} + 3 \cdot 5^{2} + 0 \cdot 5^{1} + 4 \cdot 5^{0} \\[ 7pt ] &= 250 + 75 + 0 + 4 \\[ 7pt ] &= 329 \\[ 10pt ] &\quad 203_{(5)} \\[ 7pt ] &= 2 \cdot 5^{2} + 0 \cdot 5^{1} + 3 \cdot 5^{0} \\[ 7pt ] &= 50 + 0 + 3 \\[ 7pt ] &= 53 \end{align*}$

より

$\begin{align*} \quad 329 \times 53 = 17437 \end{align*}$

$5$ 進数に戻すと

$\begin{align*} \quad 17437 = 1024222_{(5)} \end{align*}$

よって

$\begin{align*} \quad 2304_{(5)} \times 203_{(5)} = 1024222_{(5)} \end{align*}$

問(3)のような問題になると、そのまま計算しても１０進法に変換してもそれなりに大変です。

問(4)の解答・解説

問(4)

次の計算の結果を［］内の記数法で表わせ。

$\begin{align*} \quad 110001_{(2)} \div 111_{(2)} \text{［２進法］} \end{align*}$

問(4)は、２進法で表された数の除法です。除法は乗法と減法を組み合わせて計算します。２進法の減法では１０－１＝１₍₂₎となるので注意しましょう。

解答例は以下のようになります。１０進法での除算と変わりませんが、乗法と減法は２進法で行います。

２進法の除法では、商に立てる数字は０または１になるので、乗法の計算は難しくありません。ミスが多いのは、やはり乗法よりも減法です。

また、１０進数に変換した場合、解答例は以下のようになります。

問(4)の別解例

$\begin{align*} &\quad 110001_{(2)} \\[ 7pt ] &= 1 \cdot 2^{5} + 1 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} \\[ 7pt ] &= 32 + 16 + 0 + 0 + 0 + 1 \\[ 7pt ] &= 49 \\[ 10pt ] &\quad 111_{(2)} \\[ 7pt ] &= 1 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} \\[ 7pt ] &= 4 + 2 + 1 \\[ 7pt ] &= 7 \end{align*}$

より

$\begin{align*} \quad 49 \div 7 = 7 \end{align*}$

$2$ 進数に戻すと

$\begin{align*} \quad 7 = 111_{(2)} \end{align*}$

よって

$\begin{align*} \quad 110001_{(2)} \div 111_{(2)} = 111_{(2)} \end{align*}$

ｎ進法の四則計算は底（ｎのこと）によって繰り上がりや繰り下がりのルールが変わります。難しく感じるかもしれませんが、慣れてくると意外と面白い計算です。

ただ、面白いとは言え、計算ミスをするのはいただけないので、「いったん１０進数に変換して計算し、その後でｎ進数に戻す」ことを基本方針にしましょう。わざわざ難しくして計算ミスをする必要はありません。

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