数学２
今回は、高次方程式の解法について学習しましょう。高次方程式と言っても、高次式の扱いに従えば問題ありません。
これまでに学習した高次式の扱い方について確認しながら進めていきましょう。
高次方程式の定義
高次方程式とは、次数の高い項をもつ方程式のことです。「次数の高い項」と言っても抽象的ですが、一般に、３次以上の項をもつ方程式をまとめて高次方程式と言います。
定義は以下の通りです。
高次方程式の定義
$x$ の整式 $P(x)$ が $n$ 次式のとき、方程式 $P(x)=0$ を $n$ 次方程式といい、$3$ 次以上の方程式を高次方程式という。
高次方程式の解法
１次方程式であれば、等式の性質を利用して解くことができます。また、２次方程式であれば、積の性質を利用して解くことができます。
積の性質を利用するには、公式を利用するなどして方程式を因数分解する必要があります。２次方程式であれば、因数分解すると１次式の積の形で表すことができます。
１次・２次方程式の解法
- １次方程式の解法：等式の性質を利用して、ｘ＝□の形に変形する。
- ２次方程式の解法：因数分解して、ＡＢ＝０の形に変形する。因数分解できないなら、解の公式で。
高次方程式を解く場合、次数の低い方程式を導いて解きます。
具体的には、２次方程式のときと同じように、因数分解して１次式や２次式の積の形を作ることで、次数の低い方程式を導きます。
高次方程式の解法
\begin{align*}
&\text{高次方程式 $P(x)=0$ を因数分解して} \\[ 5pt ]
&\quad \left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right)Q(x)=0 \\[ 7pt ]
&\text{が得られたとする。} \\[ 5pt ]
&\text{$Q(x) \neq 0$ のとき} \\[ 5pt ]
&\quad x-\alpha=0 \quad \text{または} \quad x-\beta=0 \\[ 7pt ]
&\text{（※新たに導いた次数の低い方程式）} \\[ 7pt ]
&\text{が成り立つので、高次方程式の解は} \\[ 5pt ]
&\quad x = \alpha \ , \ \beta \\[ 7pt ]
&\text{特に} \\[ 5pt ]
&\quad \left(x-\alpha \right)^{\scriptsize{n}}Q(x)=0 \\[ 7pt ]
&\text{（ただし、$Q(x) \neq 0$）} \\[ 7pt ]
&\text{のとき、解は} \\[ 5pt ]
&\quad x = \alpha \\[ 7pt ]
&\text{となり、解 $\alpha$ を $n$ 重解という。} \\[ 5pt ]
&\text{なお、$2$ 重解、$3$ 重解、…をまとめて重解という。}
\end{align*}
このように、高次方程式の解法は、因数分解して積の形を導く点では２次方程式と変わりません。
しかし、導くまでの過程にはいくつかの解法があります。２次方程式のように、公式を用いて因数分解できるとは限らないということです。与えられた高次方程式に合わせて解法を変えなければなりません。
高次方程式を解いてみよう
これから高次方程式の解法を確認していきます。例題を解きながら確認しましょう。
例題
\begin{align*}
&\text{次の方程式を解け。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad x \left(x-2 \right)\left(x-3 \right) =0 \\[ 7pt ]
&(2) \quad x^{\scriptsize{2}} \left(x+1 \right) = 4\left(x+1 \right) \\[ 7pt ]
&(3) \quad x^{\scriptsize{3}}+27=0 \\[ 7pt ]
&(4) \quad x^{\scriptsize{4}}-16=0
\end{align*}
例題(1)の解答・解説
例題(1)
\begin{align*}
&\text{次の方程式を解け。} \\[ 5pt ]
&\quad x \left(x-2 \right)\left(x-3 \right) =0
\end{align*}
与式をよく観察すると、すでに因数分解されていることが分かります。左辺は３つの１次式の積で表され、右辺は０となっています。
２次以上の方程式を解くときには、このような式になるように方程式を変形しましょう。
与式から次数の低い方程式を導いて、解を求めます。
例題(1)の解答例
\begin{align*}
&\quad x \left(x-2 \right)\left(x-3 \right) =0 \\[ 7pt ]
&\text{与式より} \\[ 5pt ]
&\quad x=0 \ \text{または} \ x-2=0 \ \text{または} \ x-3=0 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad x = 0 \ , \ 2 \ , \ 3
\end{align*}
積の性質を利用して、１次方程式を新たに導きました。これを解くと、与えられた方程式の解が得られます。
次数に応じて解の個数が増えるだけで、２次方程式のときと同じ要領で解けます。慣れてきたら新たに方程式を導かずに解を求めてしまいましょう。
積の性質
\begin{align*}
&\quad A \times B \times C=0 \\[ 7pt ]
&\text{であるとき} \\[ 5pt ]
&\quad A=0 \ \text{または} \ B=0 \ \text{または} \ C=0 \\[ 7pt ]
&\text{が成り立つ。}
\end{align*}
高次方程式の解法では、因数分解して次数の低い方程式を導いて解く。
例題(2)の解答・解説
例題(2)
\begin{align*}
&\text{次の方程式を解け。} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}} \left(x+1 \right) = 4\left(x+1 \right)
\end{align*}
与式を観察すると、まだ因数分解が終わっていないことが分かります。右辺が０でないからです。与式を例題(1)と比べるとよく分かります。
右辺から左辺に移項して、項をすべて左辺に集めます。このとき、共通因数があることに注意して変形しましょう。
例題(2)の解答例
\begin{align*}
&\quad x^{\scriptsize{2}} \left(x+1 \right) = 4\left(x+1 \right) \\[ 7pt ]
&\text{与式を変形すると} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}} \left(x+1 \right)-4\left(x+1 \right)=0 \\[ 7pt ]
&\text{$x+1$ が共通因数なので} \\[ 5pt ]
&\quad \left(x+1 \right)\left(x^{\scriptsize{2}}-4 \right)=0 \\[ 7pt ]
&\text{さらに} \\[ 5pt ]
&\quad \left(x+1 \right)\left(x+2 \right)\left(x-2 \right)=0 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad x+1=0 \ \text{または} \ x+2=0 \ \text{または} \ x-2=0 \\[ 7pt ]
&\text{したがって} \\[ 5pt ]
&\quad x =-1 \ , \ \pm 2
\end{align*}
最初なので、かなり丁寧に記述しました。実際の記述では、式変形を簡単に済ませて解を求めます。
高次方程式の解法では「積の形＝０」の形になるように変形する。
例題(3)の解答・解説
例題(3)
\begin{align*}
&\text{次の方程式を解け。} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{3}}+27=0
\end{align*}
与式を観察すると、どこかで見たような式です。３次式の展開や因数分解を思い出しましょう。公式を利用して左辺を因数分解します。
例題(3)の解答例
\begin{align*}
&\quad x^{\scriptsize{3}}+27=0 \\[ 7pt ]
&\text{与式を変形すると} \\[ 5pt ]
&\quad \left(x+3 \right)\left(x^{\scriptsize{2}}-3x+9 \right)=0 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad x+3=0 \ \text{または} \ x^{\scriptsize{2}}-3x+9=0 \\[ 7pt ]
&\text{したがって} \\[ 5pt ]
&\quad x = -3 \ , \ \frac{3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}
\end{align*}
新たに導いた２次方程式を因数分解することはできません。ですから、解の公式を用いて解を求めます。複素数の範囲で解を求めることに注意しましょう。
因数分解できない２次方程式は解の公式で解く
\begin{align*}
&\quad x^{\scriptsize{2}}-3x+9=0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ]
&\text{解の公式より} \\[ 5pt ]
&\quad x=\frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^{\scriptsize{2}}-4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1} \\[ 7pt ]
&\quad \ =\frac{3 \pm \sqrt{-27}}{2} \\[ 7pt ]
&\quad \ =\frac{3 \pm \sqrt{27}i}{2} \\[ 7pt ]
&\quad \ =\frac{3 \pm 3\sqrt{3}i}{2} \\[ 7pt ]
&\text{よって、①の解は} \\[ 5pt ]
&\quad x =\frac{3 \pm 3\sqrt{3}i}{2} \\[ 7pt ]
&\text{また、$2$ 方程式①を因数分解すると} \\[ 5pt ]
&\quad \left(x-\frac{3 + 3\sqrt{3}i}{2} \right)\left(x-\frac{3- 3\sqrt{3}i}{2}\right)=0 \\[ 7pt ]
&\text{となり、因数となる $1$ 次式の定数項を} \\[ 5pt ]
&\text{整数で表せない。}
\end{align*}
なお、ここで述べた「因数分解できない」とは、因数となる１次式の係数や定数項を整数で表せないという意味です。
高次方程式の解法では、公式を利用して因数分解できるときもある。
３次方程式の因数分解では、公式を利用できるものはあまり出題されませんが、しっかり使えるようにしておきましょう。
３次式の展開（因数分解）の公式
\begin{align*}
&a^{\scriptsize{3}}+3a^{\scriptsize{2}}b+3ab^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{3}} = \left(a+b \right)^{\scriptsize{3}} \\[ 10pt ]
&a^{\scriptsize{3}}-3a^{\scriptsize{2}}b+3ab^{\scriptsize{2}}-b^{\scriptsize{3}} = \left(a-b \right)^{\scriptsize{3}} \\[ 10pt ]
&a^{\scriptsize{3}}+b^{\scriptsize{3}} = \left(a+b \right) \left(a^{\scriptsize{2}}-ab+b^{\scriptsize{2}} \right) \\[ 10pt ]
&a^{\scriptsize{3}}-b^{\scriptsize{3}} = \left(a-b \right) \left(a^{\scriptsize{2}}+ab+b^{\scriptsize{2}} \right)
\end{align*}
例題(4)の解答・解説
例題(4)
\begin{align*}
&\text{次の方程式を解け。} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{4}}-16=0
\end{align*}
与式は４次方程式です。４次以上の整式の展開や因数分解については公式を学習していません。
しかし、少し工夫するだけで、これまでの知識を利用できる式に置き換えることができます。
例題(4)の解答例
\begin{align*}
&\quad x^{\scriptsize{4}}-16=0 \\[ 7pt ]
&\text{$x^{\scriptsize{2}}=X$ とおくと、与式は} \\[ 5pt ]
&\quad X^{\scriptsize{2}}-16=0 \\[ 7pt ]
&\text{これより} \\[ 5pt ]
&\quad \left(X-4 \right)\left(X+4 \right)=0 \\[ 7pt ]
&\text{$X=x^{\scriptsize{2}}$ であるので} \\[ 5pt ]
&\quad \left(x^{\scriptsize{2}}-4 \right)\left(x^{\scriptsize{2}}+4 \right)=0 \\[ 7pt ]
&\text{左辺を因数分解すると} \\[ 5pt ]
&\quad \left(x+2 \right)\left(x-2 \right)\left(x^{\scriptsize{2}}+4 \right)=0 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad x+2=0 \ \text{または} \ x-2=0 \ \text{または} \ x^{\scriptsize{2}}+4=0 \\[ 7pt ]
&\text{したがって} \\[ 5pt ]
&\quad x = \pm 2 \ , \ \pm 2i
\end{align*}
この解法では、「高次式の値」で学習した「次数を下げる」という考え方を利用します。
この考え方を用いれば、高次方程式の次数を下げて、２次方程式や３次方程式に置き換えることができます。２次方程式や３次方程式であれば、これまでの知識を利用して解くことができます。
高次方程式の解法をまとめると、以下の３通りになります。
高次方程式の解法
- 公式を利用する。
- 置き換えて次数を下げる。
- 因数定理を利用する。
公式を利用したり、次数を下げたりする解法では、基本的に与式を因数分解できるものがほとんどです。もし、これらの解法で上手くいかなければ、因数定理を利用する解法で解きます。因数定理を利用した解法は別途に紹介します。
３通りの解法に共通するのは、どの解法であっても因数分解して積の形で表し、積の性質から次数の低い方程式を新たに導くという点です。
次は、高次方程式の解法（因数分解の利用）を扱った問題を実際に解いてみましょう。
