複素数と方程式｜高次式の因数分解について

05/24/2021数学２

高次式の因数分解を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問

$\begin{align*} &\text{次の式を因数分解せよ} \\[ 5pt ] &(1) \quad x^{\scriptsize{3}}+4x^{\scriptsize{2}}+x-6 \\[ 7pt ] &(2) \quad 2x^{\scriptsize{3}}-9x^{\scriptsize{2}}+2 \end{align*}$

問(1)の解答・解説

問(1)

$\begin{align*} &\text{次の式を因数分解せよ} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{3}}+4x^{\scriptsize{2}}+x-6 \end{align*}$

与式の３次式は、展開や因数分解の公式に当てはまる式ではありません。ですから、与式の因数となる１次式を見つけます。剰余の定理を利用して、余りが０となるｘの値を見つけます。

問(1)の解答例 1⃣

$\begin{align*} &\quad P(x)=x^{\scriptsize{3}}+4x^{\scriptsize{2}}+x-6 \\[ 7pt ] &\text{とすると} \\[ 5pt ] &\quad P(1)=1^{\scriptsize{3}}+4 \cdot 1^{\scriptsize{2}}+1-6=0 \\[ 7pt ] &\text{よって、$P(x)$ は $x-1$ を因数にもつ。} \end{align*}$

ｘ＝１のとき式の値が０となるので、剰余の定理から与式を１次式ｘ－１で割った余りが０になります。このとき、因数定理が成り立つので、１次式ｘ－１は与式の因数になります。

因数である１次式が分かったので、組立除法で割り算して商を調べます。組立除法で割り算すると以下のようになります。

組立除法を用いると、与式が３次式なので、２次式の商が得られます。因数定理が成り立つので、余りが０になっていることも分かります。

組立除法の結果から、与えられた整式は、割る１次式と商の積で表されます。

問(1)の解答例 2⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\text{よって、$P(x)$ は $x-1$ を因数にもつ。} \\[ 5pt ] &\text{$P(x)$ を因数分解すると} \\[ 5pt ] &\quad P(x)=\left(x-1 \right) \left(x^{\scriptsize{2}}+5x+6 \right) \end{align*}$

商も与式の因数です。商は２次式であるので、もしかすると因数分解できるかもしれません。因数分解できれば、忘れずに因数分解します。

問(1)の解答例 3⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad P(x)=\left(x-1 \right) \left(x^{\scriptsize{2}}+5x+6 \right) \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad P(x)=\left(x-1 \right) \left(x+2 \right) \left(x+3 \right) \\[ 7pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{3}}+4x^{\scriptsize{2}}+x-6=\left(x-1 \right) \left(x+2 \right) \left(x+3 \right) \end{align*}$

２次式以上の整式があれば、因数分解できるかどうかを必ず調べましょう。

問(2)の解答・解説

問(2)

$\begin{align*} &\text{次の式を因数分解せよ} \\[ 5pt ] &\quad 2x^{\scriptsize{3}}-9x^{\scriptsize{2}}+2 \end{align*}$

与式の因数となる１次式を見つけます。剰余の定理を利用して、余りが０となるｘの値を見つけます。

問(2)の解答例 1⃣

$\begin{align*} &\quad P(x)=2x^{\scriptsize{3}}-9x^{\scriptsize{2}}+2 \\[ 7pt ] &\text{とすると} \\[ 5pt ] &\quad P\left(\frac{1}{2} \right)=2 \cdot \left(\frac{1}{2} \right)^{\scriptsize{3}}-9 \cdot \left(\frac{1}{2} \right)^{\scriptsize{2}}+2=0 \\[ 7pt ] &\text{よって、$P(x)$ は $x-\frac{1}{2}$ を因数にもつ。} \end{align*}$

ｘ＝１/２のとき式の値が０となるので、剰余の定理から与式を１次式ｘ－１/２で割った余りが０になります。このとき、因数定理が成り立つので、１次式ｘ－１/２は与式の因数になります。

因数である１次式が分かったので、組立除法で割り算して商を調べます。組立除法で割り算すると以下のようになります。ただし、割られる整式には１次の項がないので、その係数は０とします。

組立除法を用いると、与式が３次式なので、２次式の商が得られます。因数定理が成り立つので、余りが０になっていることも分かります。

組立除法の結果から、与えられた整式は、割る１次式と商の積で表されます。

問(2)の解答例 2⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\text{よって、$P(x)$ は $x-\frac{1}{2}$ を因数にもつ。} \\[ 5pt ] &\text{$P(x)$ を因数分解すると} \\[ 5pt ] &\quad P(x)=\left(x-\frac{1}{2} \right) \left(2x^{\scriptsize{2}}-8x-4 \right) \end{align*}$

商も与式の因数です。商は２次式であるので、もしかすると因数分解できるかもしれません。因数分解できるかを必ず確認しましょう。

問(2)の解答例 3⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad P(x)=\left(x-\frac{1}{2} \right) \left(2x^{\scriptsize{2}}-8x-4 \right) \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad P(x)=\left(x-\frac{1}{2} \right) \cdot 2\left(x^{\scriptsize{2}}-4x-2 \right) \\[ 7pt ] &\text{より} \\[ 5pt ] &\quad P(x)=\left(2x-1 \bigr) \bigl(x^{\scriptsize{2}}-4x-2 \right) \\[ 7pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad 2x^{\scriptsize{3}}-9x^{\scriptsize{2}}+2=\left(2x-1 \bigr) \bigl(x^{\scriptsize{2}}-4x-2 \right) \end{align*}$

組立除法では、割る１次式の係数は１です。ですから、因数を考えるとき、割る１次式を２ｘ－１としないように気を付けましょう。

また、有理数の範囲では、商の２次式から共通因数でくくること以外に因数分解できません。

組立除法を用いる解法では、割る１次式の係数は１であることに注意しよう。