式と証明｜条件式のある恒等式について

06/06/2021数学２

条件式のある恒等式を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問

\begin{equation*} (1) \quad 2x-y-3=0 \end{equation*}

を満たすすべての実数 $x \ , \ y$ に対して

\begin{equation*} \quad ax^{\scriptsize{2}}+by^{\scriptsize{2}}+2cx-9=0 \end{equation*}

が成立するような定数 $a \ , \ b \ , \ c$ を求めよ。

\begin{equation*} (2) \quad x+y+z=2 \ , \ x-y-5z=0 \end{equation*}

を満たす $x \ , \ y \ , \ z$ の任意の値に対して、つねに

\begin{equation*} \quad a \left(2-x \right)^{\scriptsize{2}}+b \left(2-y \right)^{\scriptsize{2}}+c \left(2-z \right)^{\scriptsize{2}} =35 \end{equation*}

が成立するような定数 $a \ , \ b \ , \ c$ を求めよ。

条件式があることはもちろんですが、問題文の文言にも気を付けましょう。

「すべての実数に対して～が成り立つ」や「～の任意の値に対してつねに～が成立する」などの文言は、「等式が恒等式となるように」という意味です。

問題文の類似表現に気を付けよう。

問(1)の解答・解説

問(1)

\begin{equation*} (1) \quad 2x-y-3=0 \end{equation*}

を満たすすべての実数 $x \ , \ y$ に対して

\begin{equation*} \quad ax^{\scriptsize{2}}+by^{\scriptsize{2}}+2cx-9=0 \end{equation*}

が成立するような定数 $a \ , \ b \ , \ c$ を求めよ。

条件式を満たすすべての実数に対して等式が成り立てば良いので、恒等式の性質を用いることができます。文字の種類をできるだけ少なくして、係数比較法を用いて解きます。

条件式を変形しますが、このとき、係数が分数にならないようにします。

問(1)の解答例 1⃣

\begin{align*} &\text{与えられた条件式} \\[ 5pt ] &\quad 2x-y-3=0 \\[ 7pt ] &\text{を変形すると} \\[ 5pt ] &\quad y=2x-3 \end{align*}

ｘについて変形すると係数が分数になるので、ｙについて変形しました。

変形後の条件式を与式に代入します。

問(1)の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad y=2x-3 \\[ 7pt ] &\text{これを} \\[ 5pt ] &\quad ax^{\scriptsize{2}}+by^{\scriptsize{2}}+2cx-9=0 \\[ 7pt ] &\text{に代入すると} \\[ 5pt ] &\quad ax^{\scriptsize{2}}+b \left(2x-3 \right)^{\scriptsize{2}}+2cx-9=0 \\[ 7pt ] &\text{よって、} \\[ 5pt ] &\quad ax^{\scriptsize{2}}+b \left(4x^{\scriptsize{2}}-12x+9 \right)+2cx-9=0 \end{align*}

文字ｘの１種類だけで与式を表すことができました。

等式の左辺をｘについて整理します。

問(1)の解答例 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad ax^{\scriptsize{2}}+b \left(4x^{\scriptsize{2}}-12x+9 \right)+2cx-9=0 \\[ 7pt ] &\text{左辺を $x$ について整理すると} \\[ 5pt ] &\quad \left(a+4b \right)x^{\scriptsize{2}}-2 \left(6b-c \right)x+9 \left( b-1 \right) = 0 \end{align*}

この等式がｘについての恒等式となるためには、両辺の同じ次数の項の係数が等しくなる必要があります。

係数を比較して、定数ａ，ｂ，ｃについての方程式を導出します。

問(1)の解答例 4⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \left(a+4b \right)x^{\scriptsize{2}}-2 \left(6b-c \right)x+9 \left( b-1 \right) = 0 \\[ 7pt ] &\text{この等式が $x$ についての恒等式となるから} \\[ 5pt ] &\quad \left\{ \begin{array}{l} a+4b &=0 &\quad \cdots \text{①} \\ 6b-c &=0 &\quad \cdots \text{②} \\ b-1 &=0 &\quad \cdots \text{③} \end{array} \right. \end{align*}

連立方程式を解いて定数ａ，ｂ，ｃの値を求めます。

問(1)の解答例 5⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \left\{ \begin{array}{l} a+4b &=0 &\quad \cdots \text{①} \\ 6b-c &=0 &\quad \cdots \text{②} \\ b-1 &=0 &\quad \cdots \text{③} \end{array} \right. \\[ 7pt ] &\text{③から} \\[ 5pt ] &\quad b=1 \\[ 7pt ] &\text{これと①，②から} \\[ 5pt ] &\quad a=-4 \\[ 7pt ] &\quad c=6 \\[ 7pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad a=-4 \ , \ b=1 \ , \ c=6 \end{align*}

条件式のある恒等式を扱った問題では、最も基本的なものです。まずはこのレベルの問題を確実に解けるようにしておきましょう。

問(2)の解答・解説

問(2)

\begin{equation*} \quad x+y+z=2 \ , \ x-y-5z=0 \end{equation*}

を満たす $x \ , \ y \ , \ z$ の任意の値に対して、つねに

\begin{equation*} \quad a \left(2-x \right)^{\scriptsize{2}}+b \left(2-y \right)^{\scriptsize{2}}+c \left(2-z \right)^{\scriptsize{2}} =35 \end{equation*}

が成立するような定数 $a \ , \ b \ , \ c$ を求めよ。

条件式の関係を反映させるために、与式に条件式を代入します。反映させるにあたって、文字の種類ができるだけ少なくなるように代入します。

２つの条件式から、ｘ，ｙをｚで表します。

問(2)の解答例 1⃣

\begin{align*} &\text{条件式について} \\[ 5pt ] &\quad x+y+z=2 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad x-y-5z=0 \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\text{とする。} \\[ 5pt ] &\text{①＋②から} \\[ 5pt ] &\quad 2x-4z=2 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad x=2z+1 \\[ 7pt ] &\text{①－②から} \\[ 5pt ] &\quad 2y+6z=2 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad y=-3z+1 \end{align*}

条件式①，②からｘ，ｙをｚで表すことができました。

これらを与式に代入して、ｚについての式を導きます。

問(2)の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad x=2z+1 \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad y=-3z+1 \\[ 7pt ] &\text{これらを} \\[ 5pt ] &\quad a \left(2-x \right)^{\scriptsize{2}}+b \left(2-y \right)^{\scriptsize{2}}+c \left(2-z \right)^{\scriptsize{2}} =35 \\[ 7pt ] &\text{に代入すると} \\[ 5pt ] &\quad a \left\{2-\left(2z+1 \right) \right\}^{\scriptsize{2}}+b \left\{2-\left(-3z+1 \right) \right\}^{\scriptsize{2}}+c \left(2-z \right)^{\scriptsize{2}} =35 \\[ 7pt ] &\quad a \left\{4-4\left(2z+1 \right)+\left(2z+1 \right)^{\scriptsize{2}} \right\}+b \left\{4-4\left(-3z+1 \right)+\left(-3z+1 \right)^{\scriptsize{2}} \right\}+c \left(2-z \right)^{\scriptsize{2}} =35 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad a \left(4z^{\scriptsize{2}}-4z+1 \right) +b \left(9z^{\scriptsize{2}}+6z+1 \right)+c \left(z^{\scriptsize{2}}-4z+4 \right) =35 \end{align*}

文字ｚの１種類だけで与式を表すことができました。

等式の左辺をｚについて整理します。少し複雑かもしれませんが、丁寧に変形しましょう。

問(2)の解答例 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad a \left(4z^{\scriptsize{2}}-4z+1 \right) +b \left(9z^{\scriptsize{2}}+6z+1 \right)+c \left(z^{\scriptsize{2}}-4z+4 \right) =35 \\[ 7pt ] &\text{左辺を $z$ について整理すると} \\[ 5pt ] &\quad \left( 4a+9b+c \right)z^{\scriptsize{2}}-2 \left( 2a-3b+2c \right)z+ \left( a+b+4c \right) = 35 \end{align*}

左辺を整理すると、ｚについての２次式となります。

ここで、等式はすべての実数ｚについて恒等式となるはずです。そのためには、両辺の係数や定数項が等しくなる必要があります。

両辺の係数を比較して、定数ａ，ｂ，ｃについての方程式を導出します。

問(2)の解答例 4⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \left( 4a+9b+c \right)z^{\scriptsize{2}}-2 \left( 2a-3b+2c \right)z+ \left( a+b+4c \right) = 35 \\[ 7pt ] &\text{この等式が $z$ についての恒等式となるのは、} \\[ 5pt ] &\text{両辺の同じ次数の項の係数が等しいときで} \\[ 5pt ] &\text{あるので} \\[ 5pt ] &\quad \left\{ \begin{array}{l} 4a+9b+c &=0 &\quad \cdots \text{③} \\ 2a-3b+2c &=0 &\quad \cdots \text{④} \\ a+b+4c &=35 &\quad \cdots \text{⑤} \end{array} \right. \end{align*}

３つの方程式からなる連立方程式になりました。

計算量が多くなりそうですが、これを解いて定数ａ，ｂ，ｃの値を求めます。

問(2)の解答例 5⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \left\{ \begin{array}{l} 4a+9b+c &=0 &\quad \cdots \text{③} \\ 2a-3b+2c &=0 &\quad \cdots \text{④} \\ a+b+4c &=35 &\quad \cdots \text{⑤} \end{array} \right. \\[ 7pt ] &\text{③×２－④から} \\[ 5pt ] &\quad 6a+21b=0 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad 2a+7b=0 \quad \cdots \text{⑥} \\[ 7pt ] &\text{④×２－⑤から} \\[ 5pt ] &\quad 3a-7b=-35 \quad \cdots \text{⑦} \\[ 7pt ] &\text{⑥＋⑦から} \\[ 5pt ] &\quad 5a=-35 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad a=-7 \\[ 7pt ] &\text{これと⑥から} \\[ 5pt ] &\quad -14+7b=0 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad b=2 \\[ 7pt ] &\text{さらに③から} \\[ 5pt ] &\quad -28+18+c=0 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad c=10 \\[ 7pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad a=-7 \ , \ b=2 \ , \ c=10 \end{align*}

連立方程式は以下のようにしても解くことができます。必ずしも２つの式だけで計算する必要はありません。

たとえば、３つの式すべてを用いることもできます。楽な計算になるように、加減法や代入法を上手に使いましょう。

問(2)の別解例（解答例5⃣の代わり）

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \left\{ \begin{array}{l} 4a+9b+c &=0 &\quad \cdots \text{③} \\ 2a-3b+2c &=0 &\quad \cdots \text{④} \\ a+b+4c &=35 &\quad \cdots \text{⑤} \end{array} \right. \\[ 7pt ] &\text{③＋④＋⑤から} \\[ 5pt ] &\quad 7a+7b+7c=35 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad a+b+c=5 \quad \cdots \text{⑥} \\[ 7pt ] &\text{⑤－⑥から} \\[ 5pt ] &\quad 3c=30 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 7pt ] &\quad c=10 \\[ 5pt ] &\text{これと③，④から} \\[ 5pt ] &\quad 4a+9b+10=0 \\[ 7pt ] &\quad 2a-3b+20=0 \\[ 7pt ] &\text{これらから $b$ を消去すると} \\[ 5pt ] &\quad 10a+70=0 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad a=-7 \\[ 7pt ] &\text{さらに⑥から} \\[ 5pt ] &\quad -7+b+10=5 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad b=2 \\[ 7pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad a=-7 \ , \ b=2 \ , \ c=10 \end{align*}

消去する文字や、用いる式などによって、計算量は異なります。この選択によって難易度に差が付きます。

どのようにすれば楽な計算になるのか、自分なりに研究しましょう。