式と証明｜恒等式の係数決定（数値代入法）について
今回は、恒等式の係数を決定する方法の１つである、数値代入法について学習しましょう。
恒等式の係数を決定する方法は、未定係数法と言われ、２通りの方法があります。未定係数法のうち、係数比較法については前回の記事で紹介しましたが、今回は数値代入法について紹介します。
数値代入法による恒等式の係数決定でも、係数を求めることは難しくありません。ただし、係数比較法と異なり、係数を求めた後に必ずやらなければならないことがあります。答えが分かったから良いではなく、なぜ必要なのかを理解しましょう。
未定係数法
恒等式の未知の係数のことを未定係数と言います。この未定係数を求めるには、恒等式の性質を利用します。
恒等式の性質は以下の通りです。
恒等式の性質その１
$P \ , \ Q$ が $x$ についての整式であるとき
① $P=0$ が恒等式 ⇔ $P$ の各項の係数はすべて $0$ である。
② $P=Q$ が恒等式 ⇔ $P$ と $Q$ の次数は等しく、両辺の同じ次数の項の係数はそれぞれ等しい。
恒等式の性質その２
$P \ , \ Q$ が $x$ についての $n$ 次以下の整式であるとき、等式 $P=Q$ が $(n+1)$ 個の異なる $x$ の値に対して成り立つならば、等式 $P=Q$ は $x$ についての恒等式である。
これらの性質を利用して、未定係数を求めますが、その方法は2通りあります。
未定係数法は２通り
- 係数比較法
- 数値代入法
係数比較法は、恒等式の性質その１を利用した方法で、前回の記事で紹介済みです。
数値代入法は、恒等式の性質その２を利用した方法です。この方法では、両辺に適当な数字をいくつか代入して、連立方程式などを解きます。
ここでは数値代入法を取り上げます。
数値代入法
係数比較法では、係数を求めるための連立方程式を解く必要があります。この連立方程式の計算が少し複雑で面倒なときがあります。そのようなときに、数値代入法であれば簡単に係数を求めることができます。
数値代入法では、直接、文字に数値を代入して、係数の関係式を導出します。与式に合わせて数値を代入するので、係数比較法のときよりも簡単な形の式ができます。ここが数値代入法のメリットです。
数値代入法を利用して解いてみよう
次の問題を解いてみましょう。
例題
次の等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a \ , \ b \ , \ c$ の値を定めよ。
\begin{equation*} \quad a(x-1)(x-2)+b(x-2)(x-3)+c(x-3)(x-1) = 6 \end{equation*}例題の解答・解説
等式を見ると、右辺は定数（０次式）ですが、左辺は定数ａ，ｂ，ｃが０でない値だとすれば、２次式です。
与式のように同じ次数の項が存在しない場合、係数比較法だと面倒な計算になります。
係数比較法で解く場合
数値代入法との比較のために、係数比較法で解いてみます。左辺を展開して整理します。
係数比較法による解答例 1⃣
等式の左辺を $x$ について整理すると
\begin{align*} &\quad \text{(左辺)} \ = (a+b+c)x^{\scriptsize{2}} +(-3a-5b-4c)x +2a+6b+3c \\[ 7pt ] &\text{であるので、} \\[ 5pt ] &\quad (a+b+c)x^{\scriptsize{2}} +(-3a-5b-4c)x +2a+6b+3c = 6 \end{align*}両辺にある同じ次数の項について、係数を比較します。
係数比較法による解答例 2⃣
両辺の同じ次数の項の係数を比較すると
\begin{align*} \quad \left\{ \begin{array}{l} a+b+c&=0 &\quad \cdots \text{①} \\ -3a-5b-4c&=0 &\quad \cdots \text{②} \\ 2a+6b+3c&=6 &\quad \cdots \text{③} \end{array} \right. \end{align*}連立方程式を見ると、明らかに計算が面倒そうな式です。もちろん、このくらいの連立方程式であれば、解けて当たり前の計算ですが、それでも面倒なのは確かです。
①～③式について、加減法を用いて解きます。
係数比較法による解答例 3⃣
①～③式のすべてに３つの定数ａ，ｂ，ｃが含まれるので、代入法よりも加減法の方が計算しやすいでしょう。
数値代入法で解く場合
係数比較法であれば面倒な計算になります。しかし、数値代入法であれば、驚くほど簡単に計算することができます。
数値を代入するので、与式をよく観察しましょう。できるだけ扱いやすい式を導出できそうな数値を考えます。
例題
次の等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a \ , \ b \ , \ c$ の値を定めよ。
\begin{equation*} \quad a(x-1)(x-2)+b(x-2)(x-3)+c(x-3)(x-1) = 6 \end{equation*}与式の各項が因数分解されていることに注目して、数値を代入します。
数値代入法による解答例 1⃣
与式が $x$ についての恒等式であるならば、$x$ にどのような値を代入しても等式が成り立つことを利用する。
\begin{align*} &\text{$x=1$ を代入して} \\[ 5pt ] &\quad 2b=6 \\[ 7pt ] &\text{$x=2$ を代入して} \\[ 5pt ] &\quad -c=6 \\[ 7pt ] &\text{$x=3$ を代入して} \\[ 5pt ] &\quad 2a=6 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad a=3 \ , \ b=3 \ , \ c=-6 \end{align*}とても簡単な形の式を導出できるので暗算できます。ただし、ここで終わってはいけません。
数値代入法では、自分に都合の良い数値を代入したので、あくまでも代入した数値に対して等式が成り立つように定めた（必要条件）だけです。
このままでは、他の数値について等式が成り立つことを何も保証していません。そこで、係数を求めた後、与式が恒等式になることを必ず確認（十分条件）しなければなりません。
求めた係数を左辺に代入して、与式が恒等式となることを実際に確かめます。ちなみに、「逆に」以下については別解があります。
数値代入法による解答例 2⃣
逆に、このとき与式の左辺は
\begin{align*} \quad &3(x-1)(x-2)+3(x-2)(x-3)-6(x-3)(x-1) \\[ 7pt ] = \ &3(x^{\scriptsize{2}}-3x+2)+3(x^{\scriptsize{2}}-5x+6)-6(x^{\scriptsize{2}}-4x+3) \\[ 7pt ] = \ &6 \end{align*}となり、右辺と一致するので、与式は恒等式となる。
\begin{align*} &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad a=3 \ , \ b=3 \ , \ c=-6 \end{align*}数値代入法による解答例 2⃣（別解）
このとき、等式の両辺は $2$ 次以下の整式であり、異なる $3$ 個の $x$ の値に対して等式が成り立つ。
よって、この等式は恒等式である。
\begin{align*} &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad a=3 \ , \ b=3 \ , \ c=-6 \end{align*}別解は、恒等式の性質その２から言えることです。
恒等式の性質その２
$P \ , \ Q$ が $x$ についての $n$ 次以下の整式であるとき、等式 $P=Q$ が $(n+1)$ 個の異なる $x$ の値に対して成り立つならば、等式 $P=Q$ は $x$ についての恒等式である。
別解の方が答案としては簡潔になりますが、実際に確認しているわけではないので、計算ミスに気付かないデメリットがあります。ですから、実際に与式が恒等式であることを確認する方が無難でしょう。
次は、恒等式の係数比較法を扱った問題を実際に解いてみましょう。