複素数と方程式｜虚数解からの係数決定について

05/24/2021数学２

虚数解からの係数決定を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問

\begin{align*} &\text{$3$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{3}}+ax^{\scriptsize{2}}+4x+b=0 \\[ 7pt ] &\text{が解 $1+i$ をもつとき、実数の定数 $a \ , \ b$ の値を求めよ。} \\[ 5pt ] &\text{また、$1+i$ 以外の解を求めよ。} \end{align*}

問の解答・解説

３次方程式の解として、虚数解が与えられています。この虚数解を用いて、係数についての関係式を２つ導きます。

方程式に虚数解を代入して、左辺を実部と虚部に整理します。

問の解答例 1⃣

\begin{align*} &\quad x^{\scriptsize{3}}+ax^{\scriptsize{2}}+4x+b=0 \\[ 7pt ] &\text{$x=1+i$ が方程式の解であるので} \\[ 5pt ] &\quad \left(1+i \right)^{\scriptsize{3}}+a\left(1+i \right)^{\scriptsize{2}}+4\left(2+i \right)+b=0 \\[ 7pt ] &\text{ここで} \\[ 5pt ] &\quad \left(1+i \right)^{\scriptsize{3}}=1^{\scriptsize{3}}+3i+3i^{\scriptsize{2}}+i^{\scriptsize{3}}=-2+2i \\[ 7pt ] &\quad \left(1+i \right)^{\scriptsize{2}}=1^{\scriptsize{2}}+2i+i^{\scriptsize{2}}=2i \\[ 7pt ] &\text{となるので} \\[ 5pt ] &\quad -2+2i+a \cdot 2i+4\left(1+i \right)+b=0 \\[ 7pt ] &\text{これを $i$ について整理すると} \\[ 5pt ] &\quad b+2+2\left(a+3 \right)i=0 \end{align*}

左辺を整理した後は、複素数の相等を利用して、新たに方程式を導きます。そして、これらを連立して解きます。

問の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad b+2+2\left(a+3 \right)i=0 \\[ 7pt ] &\text{$b+2 \ , \ 2(a+3)$ は実数であるので} \\[ 5pt ] &\quad b+2=0 \\[ 7pt ] &\quad 2\left( a+3 \right)=0 \\[ 7pt ] &\text{これを解くと} \\[ 5pt ] &\quad a=-3 \ , \ b=-2 \\[ 7pt ] &\text{よって、方程式は} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{3}}-3x^{\scriptsize{2}}+4x-2=0 \end{align*}

複素数の相等を利用するときには、実部と虚部が実数であることの断りを必ず記述しましょう。

係数が決定した方程式から他の解を求めます。剰余の定理を利用すると、１次式で割った余りを式の値から求めることができます。このことを利用して、左辺の値が０となるｘの値を調べましょう。

この結果から余りが０となるときの１次式、つまり因数が分かるので、因数定理を利用することができます。

問の解答例 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad x^{\scriptsize{3}}-3x^{\scriptsize{2}}+4x-2=0 \\[ 7pt ] &\text{方程式より} \\[ 5pt ] &\quad f(x)=x^{\scriptsize{3}}-3x^{\scriptsize{2}}+4x-2 \\[ 7pt ] &\text{とすると} \\[ 5pt ] &\quad f(1)=1^{\scriptsize{3}}-3 \cdot 1^{\scriptsize{2}}+4 \cdot 1-2=0 \\[ 7pt ] &\text{よって、$f(x)$ は $x-1$ を因数にもつので} \\[ 5pt ] &\quad f(x)=\left(x-1 \right)\left(x^{\scriptsize{2}}-2x+2 \right) \end{align*}

因数となる１次式が分かったので、組立除法を利用して方程式の左辺を因数分解します（ここでは省略）。また、方程式は虚数解をもつので、２次式を因数分解することはできません。

方程式に戻した後、新たに方程式を導いて解を求めます。これが与式の解になります。

問の解答例 4⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad f(x)=\left(x-1 \right)\left(x^{\scriptsize{2}}-2x+2 \right) \\[ 7pt ] &\text{よって、方程式は} \\[ 5pt ] &\quad \left(x-1 \right)\left(x^{\scriptsize{2}}-2x+2 \right)=0 \\[ 7pt ] &\text{これより} \\[ 5pt ] &\quad x-1=0 \quad \text{または} \quad x^{\scriptsize{2}}-2x+2=0 \\[ 7pt ] &\text{これを解くと} \\[ 5pt ] &\quad x=1 \quad \text{または} \quad x=1 \pm i \\[ 7pt ] &\text{したがって、$1+i$ 以外の解は} \\[ 5pt ] &\quad x=1 \ , \ 1-i \end{align*}

２次方程式の解については、共役な複素数が残りの解になります。検算のために解の公式で解いても良いでしょう。

問の別解例

問

方程式が共役な複素数も解にもつことを利用して解いてみましょう。

問の別解例 1⃣

\begin{align*} &\quad x^{\scriptsize{3}}+ax^{\scriptsize{2}}+4x+b=0 \\[ 7pt ] &\text{実数を係数とする $3$ 次方程式が虚数解 $1+i$ をもつので、} \\[ 5pt ] &\text{共役な複素数 $1-i$ もこの方程式の解である。} \\[ 5pt ] &\text{よって、方程式の左辺 $x^{\scriptsize{3}}+ax^{\scriptsize{2}}+4x+b$ は} \\[ 5pt ] &\quad \left\{ x-\left(1+i \right) \right\}\left\{ x-\left(1-i \right) \right\} \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-2x+2 \\[ 7pt ] &\text{で割り切れる。} \end{align*}

この２次式で方程式の左辺を割り算します。１次式での割り算ではないので、組立除法ではなく、筆算します。

係数に文字が含まれると、計算ミスが多くなるので気を付けましょう。

問の別解例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-2x+2 \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\text{これで割り算した商は $x+(a+2)$ で、余りは} \\[ 5pt ] &\quad \left(2a+6 \right)x-2a+b-4 \\[ 7pt ] &\text{となり、これが $0$ に等しいので} \\[ 5pt ] &\quad 2a+6=0 \quad \text{かつ} \quad -2a+b-4=0 \end{align*}

まだ係数が決定される前なので、割り切れずに余りが出てくることに注意しましょう。

あくまでも形式的に出てくるだけです。実際には割り切れることを利用して、新たに方程式を導きます。これを解くと、方程式の係数を決定できます。

係数が決定できると、割り算した商も分かります。因数分解は割り算の結果を利用しましょう。

問の別解例 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 2a+6=0 \quad \text{かつ} \quad -2a+b-4=0 \\[ 7pt ] &\text{これを解くと} \\[ 5pt ] &\quad a=-3 \ , \ b=-2 \\[ 7pt ] &\text{よって、方程式は} \\[ 5pt ] &\quad \left(x^{\scriptsize{2}}-2x+2 \right)\left(x-1 \right)=0 \\[ 7pt ] &\text{これより} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-2x+2=0 \quad \text{または} \quad x-1=0 \\[ 7pt ] &\text{これを解くと} \\[ 5pt ] &\quad x=1 \pm i \quad \text{または} \quad x=1 \\[ 7pt ] &\text{したがって、$1+i$ 以外の解は} \\[ 5pt ] &\quad x=1 \ , \ 1-i \end{align*}

文字ａの値が分かると、割り算の結果から商も分かります。割る２次式と商は、ともに方程式の左辺の因数です。このことを利用して、方程式の左辺を因数分解します。２度手間にならないように気を付けましょう。

模範解答も別解も計算ミスをしやすい解法です。どちらを選択するにしても、計算ミスだけは避けましょう。

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