式と証明｜不等式の証明の拡張について

07/17/2021数学２

不等式の証明の拡張を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問

$\begin{align*} &\text{$a \geqq 2 \ , \ b \geqq 2 \ , \ c \geqq 2 \ , \ d \geqq 2$ のとき、} \\[ 5pt ] &\text{次の不等式が成り立つことを証明せよ。} \\[ 5pt ] &(1) \quad ab \geqq a+b \\[ 7pt ] &(2) \quad abcd \geqq a+b+c+d \end{align*}$

(1)，(2)の不等式を見比べると、式の形がよく似ていることに気付きます。

(1)は(2)を解くための布石となる問題です。(2)を意識しながら(1)を解きましょう。

問(1)の解答・解説

問(1)

$\begin{align*} &\text{$a \geqq 2 \ , \ b \geqq 2 \ , \ c \geqq 2 \ , \ d \geqq 2$ のとき、} \\[ 5pt ] &\text{次の不等式が成り立つことを証明せよ。} \\[ 5pt ] &\quad ab \geqq a+b \end{align*}$

左辺と右辺の差を作って、大小を比較します。

問(1)の解答例 1⃣

$\begin{align*} \quad &ab -\left(a+b \right) \\[ 7pt ] = \ &ab-a-b \\[ 7pt ] = \ &ab-a-b+1-1 \\[ 7pt ] = \ &\left(a-1 \right)\left(b-1 \right)-1 \end{align*}$

左辺と右辺の差を変形して得られた式の値を吟味します。与えられたａ，ｂの条件を利用します。

問(1)の解答例 2⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad = \left(a-1 \right)\left(b-1 \right)-1 \\[ 7pt ] &\text{ここで、$a \geqq 2 \ , \ b \geqq 2$ より} \\[ 5pt ] &\quad a-1 \geqq 1 \ , \ b-1 \geqq 1 \\[ 7pt ] &\text{であるので} \\[ 5pt ] &\quad \left(a-1 \right)\left(b-1 \right) \geqq 1 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad \left(a-1 \right)\left(b-1 \right)-1 \geqq 0 \end{align*}$

この結果から、左辺と右辺の差の符号が分かります。

問(1)の解答例 3⃣

$\begin{align*} &\quad ab -\left(a+b \right) \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad = \left(a-1 \right)\left(b-1 \right)-1 \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \left(a-1 \right)\left(b-1 \right)-1 \geqq 0 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad ab -\left(a+b \right) \geqq 0 \\[ 7pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad ab \geqq a+b \end{align*}$

(1)の不等式の証明は、基本通りの解法で容易に証明できます。

問(2)の解答・解説

問(2)

$\begin{align*} &\text{$a \geqq 2 \ , \ b \geqq 2 \ , \ c \geqq 2 \ , \ d \geqq 2$ のとき、} \\[ 5pt ] &\text{次の不等式が成り立つことを証明せよ。} \\[ 5pt ] &\quad abcd \geqq a+b+c+d \end{align*}$

(2)の不等式は、文字の種類が異なりますが、(1)と似ています。(1)の結果を上手く利用することを考えましょう。

そうは言っても、ａ，ｂの２文字から、ａ，ｂ，ｃ，ｄの４文字の不等式へと拡張されています。難易度が上がっているので注意しましょう。

いきなり４文字の不等式を扱うのではなく、(1)の結果を利用して、ａ，ｂだけの不等式と、ｃ，ｄだけの不等式を導きます。

問(2)の解答例 1⃣

$\begin{align*} &(1) \ \text{の結果から} \\[ 5pt ] &\quad ab \geqq a+b \ , \ cd \geqq c+d \quad \cdots \text{①} \end{align*}$

不等式の性質を利用します。①式を用いて、与式と共通の左辺をもつ不等式を導きます。

問(2)の解答例 2⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad ab \geqq a+b \ , \ cd \geqq c+d \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\text{ここで} \\[ 5pt ] &\quad a+b \geqq 4 \gt 0 \ , \ c+d \geqq 4 \gt 0 \\[ 7pt ] &\text{であるので、①より} \\[ 5pt ] &\quad ab \cdot cd \geqq \left(a+b \right) \left(c+d \right) \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad abcd \geqq \left(a+b \right) \left(c+d \right) \quad \cdots \text{②} \end{align*}$

与式の左辺をもつ不等式②を導くことができました。

②式の右辺に注目すると、二項式の積になっています。各二項式をそれぞれ１文字に見立てると、(1)の結果を利用することができます。

問(2)の解答例 3⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad ab \geqq a+b \ , \ cd \geqq c+d \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad abcd \geqq \left(a+b \right) \left(c+d \right) \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\text{さらに} \\[ 5pt ] &\quad a+b = X \ , \ c+d = Y \\[ 7pt ] &\text{とおくと} \\[ 5pt ] &\quad X \geqq 4 \gt 2 \ , \ Y \geqq 4 \gt 2 \\[ 7pt ] &\text{であるので、(1)より} \\[ 5pt ] &\quad XY \gt X+Y \\[ 7pt ] &\text{ただし、$(1)$ の不等式は成り立つが} \\[ 5pt ] &\text{等号は成り立たない。} \\[ 5pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad \left(a+b \right) \left(c+d \right) \gt \left(a+b \right)+\left(c+d \right) \\[ 7pt ] &\quad \left(a+b \right) \left(c+d \right) \gt a+b + c+d \quad \cdots \text{③} \end{align*}$

ところで、(1)の不等式において、等号が成り立つのは、ａ＝ｂ＝２のときです。それに対して、Ｘ，Ｙは４以上であるので、２よりも必ず大きくなります。

このことを踏まえると、(1)の結果を利用したとしても等号は成り立ちません。解答例3⃣ではそのことに言及しています。(1)の大小関係は成り立ちますが、等号が成り立たないことに注意しましょう。

②式の右辺と③式の左辺が共通になりました。これらを１つの不等式にまとめて、与式を導きます。

問(2)の解答例 4⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad abcd \geqq \left(a+b \right) \left(c+d \right) \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \left(a+b \right) \left(c+d \right) \gt a+b + c+d \quad \cdots \text{③} \\[ 7pt ] &\text{②，③より} \\[ 10pt ] &\quad abcd \geqq \left(a+b \right) \left(c+d \right) \gt a+b+c+d \\[ 10pt ] &\text{よって} \\[ 10pt ] &\quad abcd \gt a+b+c+d \end{align*}$

なお、解答例2⃣において、②式を導くときに利用したのは不等式の性質です。

不等式の性質

$\begin{align*} &A \geqq B \gt 0 \ , \ C \geqq D \gt 0 \ \text{のとき} \\[ 5pt ] &\quad AC \geqq BD \end{align*}$

また、②，③式から得られる不等式についても、不等式の性質を用いて導くことができます。

覚えておきたい不等式の性質

$\begin{align*} &A \geqq B \ , \ B \gt C \ \text{ならば} \\[ 5pt ] &\quad A \gt C \end{align*}$

式と証明｜不等式の証明について（基本）

結果を利用すること自体に問題ありませんが、結果から得られる不等式の扱い方を知らないと、その後の処理に差が出ます。手順を大まかにまとめると、以下のようになります。

不等式の証明の拡張の手順

与式（Ａ＞Ｂ）を導くために、すでに証明された結果を利用する。
結果から得られた不等式を用いて、左辺を与式に揃える（Ａ＞Ｃを導く）。
右辺に注目して、与式の右辺を導く（Ｃ＞Ｂを導く）。
２つの不等式をまとめて、与式を導く（Ａ＞Ｂを導く）。

問題によっては細部が異なるかもしれませんが、大まかな手順は上述の通りです。

また、式変形もそれぞれ異なります。できるだけ演習をこなして、自分なりに手順をまとめておくと良いでしょう。

等式の証明よりも、不等式の証明の方が難しいので、自分なりに手順をまとめておこう。

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