式と証明｜不等式の証明について（平方の差をつくる）

07/17/2021数学２

根号を含む不等式の証明を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問

$a \geqq 0 \ , \ b \geqq 0$ のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。

また、等号が成り立つのはどのようなときか。

\begin{align*} &(1) \quad \sqrt{a} + 2 \geqq \sqrt{a+4} \\[ 10pt ] &(2) \quad \sqrt{2(a+b)} \geqq \sqrt{a} + \sqrt{b} \end{align*}

根号を含む不等式の証明です。ａ≧０，ｂ≧０という条件が与えられています。平方の差を利用することができそうです。

問(1)の解答・解説

問(1)

$a \geqq 0 \ , \ b \geqq 0$ のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。

また、等号が成り立つのはどのようなときか。

\begin{equation*} \quad \sqrt{a} + 2 \geqq \sqrt{a+4} \end{equation*}

平方の差をつくり、式を整理します。

問(1)の解答例 1⃣

\begin{align*} &(\text{左辺})^{\scriptsize{2}}-(\text{右辺})^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] = \ &\left(\sqrt{a} + 2 \right)^{\scriptsize{2}}-\left(\sqrt{a+4} \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] = \ &a + 4\sqrt{a}+4-\left(a+4 \right) \\[ 7pt ] = \ &4\sqrt{a} \end{align*}

与えられたａの条件をもとに、平方の差の正負を調べます。

問(1)の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad = \left(\sqrt{a} + 2 \right)^{\scriptsize{2}}-\left(\sqrt{a+4} \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad = 4\sqrt{a} \\[ 7pt ] &\text{ここで、$a \geqq 0$ より} \\[ 5pt ] &\quad 4\sqrt{a} \geqq 0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad \left(\sqrt{a} + 2 \right)^{\scriptsize{2}}-\left(\sqrt{a+4} \right)^{\scriptsize{2}} \geqq 0 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad \left(\sqrt{a} + 2 \right)^{\scriptsize{2}} \geqq \left(\sqrt{a+4} \right)^{\scriptsize{2}} \end{align*}

平方の差は、平方完成しなくても正負を判断できる形になりました。また、平方の差から、左辺の平方と右辺の平方との大小関係を示すことができました。

平方の差の結果を利用して、平方する前の左辺と右辺の大小関係を示します。

問(1)の解答例 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \left(\sqrt{a} + 2 \right)^{\scriptsize{2}} \geqq \left(\sqrt{a+4} \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\text{ここで $a \geqq 0$ より} \\[ 5pt ] &\quad \sqrt{a} + 2 \gt 0 \ , \ \sqrt{a+4} \gt 0 \\[ 7pt ] &\text{であるので} \\[ 5pt ] &\quad \sqrt{a} +2 \geqq \sqrt{a+4} \end{align*}

平方する前の左辺と右辺の大小関係を示すとき、もとの左辺と右辺が０以上（または正）であることを必ず記述しておきましょう。

さいごに、等号が成立するときを考えます。等号が成り立つのは、差が０となるときです。①式を利用します。

問(1)の解答例 4⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 4\sqrt{a} \geqq 0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \sqrt{a} +2 \geqq \sqrt{a+4} \\[ 7pt ] &\text{また、等号が成り立つのは} \\[ 5pt ] &\text{①より} \\[ 5pt ] &\quad 4\sqrt{a} = 0 \\[ 7pt ] &\text{のときである。} \\[ 5pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad a = 0 \\[ 7pt ] &\text{のとき等号が成り立つ。} \end{align*}

等号が成り立つのは、平方の差が０になるときです。平方の差が０になるには、平方する前の左辺と右辺がともに等しくなくてはなりません。

このことから、①式を利用します。等号が成り立つ条件を考えるのは、与えられた不等式ではなく、平方の差を利用しましょう。

(1)は、平方の差を平方完成する必要がないので、とても易しい証明問題です。記述例は以下のようになります。

問(1)の記述例

\begin{align*} &\quad \left(\sqrt{a}+2 \right)^{\scriptsize{2}}-\left(\sqrt{a+4} \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\quad = a + 4\sqrt{a}+4-\left(a+4 \right) \\[ 7pt ] &\quad = 4\sqrt{a} \geqq 0 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad \left(\sqrt{a} + 2 \right)^{\scriptsize{2}} \geqq \left(\sqrt{a+4} \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\text{ここで $a \geqq 0$ より} \quad \text{（※断りを記述）} \\[ 5pt ] &\quad \sqrt{a} + 2 \gt 0 \ , \ \sqrt{a+4} \gt 0 \\[ 7pt ] &\text{であるので} \\[ 5pt ] &\quad \sqrt{a} + 2 \geqq \sqrt{a+4} \\[ 7pt ] &\text{また、等号が成り立つのは} \\[ 5pt ] &\quad a=0 \\[ 7pt ] &\text{のときである。} \end{align*}

記述例は、最低限の記述に留めています。大小比較に必要な条件を忘れないようにしましょう。

問(2)の解答・解説

問(2)

$a \geqq 0 \ , \ b \geqq 0$ のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。

また、等号が成り立つのはどのようなときか。

\begin{equation*} \quad \sqrt{2(a+b)} \geqq \sqrt{a} + \sqrt{b} \end{equation*}

平方の差をつくり、式を整理します。

問(2)の解答例 1⃣

\begin{align*} &(\text{左辺})^{\scriptsize{2}}-(\text{右辺})^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] = \ &\left(\sqrt{2(a+b)} \right)^{\scriptsize{2}}-\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] = \ &2\left(a+b \right)-\left(a+2\sqrt{ab}+b \right) \\[ 7pt ] = \ &a-2\sqrt{ab}+b \\[ 7pt ] = \ &\left(\sqrt{a}-\sqrt{b} \right)^{\scriptsize{2}} \end{align*}

平方の差を整理すると、平方完成して多項式の２乗を導くことができました。

ａ，ｂの条件をもとに、平方の差が０以上であることを示します。このとき、実数の性質を利用します。

問(2)の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad = \left(\sqrt{2(a+b)} \right)^{\scriptsize{2}}-\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad = \left(\sqrt{a}-\sqrt{b} \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\text{ここで、$a \ , \ b$ はともに $0$ 以上の} \\[ 5pt ] &\text{実数であるので} \\[ 5pt ] &\quad \sqrt{a}-\sqrt{b} \\[ 7pt ] &\text{も実数である。} \\[ 5pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad \left(\sqrt{a}-\sqrt{b} \right)^{\scriptsize{2}} \geqq 0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad \left(\sqrt{2(a+b)} \right)^{\scriptsize{2}}-\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right)^{\scriptsize{2}} \geqq 0 \\[ 7pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad \left(\sqrt{2(a+b)} \right)^{\scriptsize{2}} \geqq \left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right)^{\scriptsize{2}} \end{align*}

平方の差から、左辺の平方と右辺の平方との大小関係を示すことができました。

平方の差の結果を利用して、平方する前の左辺と右辺の大小関係を示します。

問(2)の解答例 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \left(\sqrt{2(a+b)} \right)^{\scriptsize{2}} \geqq \left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\text{ここで $a \geqq 0 \ , \ b \geqq 0$ より} \\[ 5pt ] &\quad \sqrt{2(a+b)} \geqq 0 \ , \ \sqrt{a} + \sqrt{b} \geqq 0 \\[ 7pt ] &\text{であるので} \\[ 5pt ] &\quad \sqrt{2(a+b)} \geqq \sqrt{a} + \sqrt{b} \end{align*}

平方する前の左辺と右辺の大小関係を示すとき、もとの左辺と右辺が０以上（または正）であることを必ず記述しておきましょう。

さいごに、等号が成立するときを考えます。等号が成り立つのは、差が０となるときです。①式を利用します。

問(2)の解答例 4⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \left(\sqrt{a}-\sqrt{b} \right)^{\scriptsize{2}} \geqq 0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \sqrt{2(a+b)} \geqq \sqrt{a} + \sqrt{b} \\[ 7pt ] &\text{また、等号が成り立つのは} \\[ 5pt ] &\text{①より} \\[ 5pt ] &\quad \left(\sqrt{a}-\sqrt{b} \right)^{\scriptsize{2}} = 0 \\[ 7pt ] &\text{のときである。} \\[ 5pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad \sqrt{a}-\sqrt{b} = 0 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad a=b \\[ 7pt ] &\text{のとき等号が成り立つ。} \end{align*}

(2)では、平方の差を平方完成して変形する必要がありました。基本的に、不等式の証明では、平方完成することを意識しておくと良いでしょう。

記述例は以下のようになります。

問(2)の記述例

\begin{align*} &\quad \left(\sqrt{2(a+b)} \right)^{\scriptsize{2}}-\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\quad = 2 \left(a+b \right) – \left(a+2\sqrt{ab}+b \right) \\[ 7pt ] &\quad = a -2\sqrt{ab} -b \\[ 7pt ] &\quad = \left(\sqrt{a} – \sqrt{b} \right)^{\scriptsize{2}} \geqq 0 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad \left(\sqrt{2(a+b)} \right)^{\scriptsize{2}} \geqq \left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\text{ここで $a \geqq 0 \ , \ b \geqq 0$ より} \quad \text{（※断りを記述）} \\[ 5pt ] &\quad \sqrt{2(a+b)} \geqq 0 \ , \ \sqrt{a} + \sqrt{b} \geqq 0 \\[ 7pt ] &\text{であるので} \\[ 5pt ] &\quad \sqrt{2(a+b)} \geqq \sqrt{a} + \sqrt{b} \\[ 7pt ] &\text{また、等号が成り立つのは} \\[ 5pt ] &\quad a=b \\[ 7pt ] &\text{のときである。} \end{align*}

不等式の証明に限らず、根号や絶対値を含む式のままでは大小を比較できないことがほとんどです。そのような場合、平方の差を利用して大小を比較します。

ただし、平方する前の数や式が０以上（または正）であることが条件です。この条件があるから平方の差を利用できます。条件について言及することを忘れないようにしましょう。

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