図形と方程式|三角形の面積について

数学2

図形と方程式 直線

三角形の面積を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

\begin{align*} &\text{$3$ 点 $A(-4 \ , \ 3) \ , \ B(-1 \ , \ 2) \ , \ C(3 \ , \ -1)$ について、次のものを求めよ。} \\[ 5pt ] &(1) \quad \text{点 $A$ と直線 $BC$ の距離} \\[ 5pt ] &(2) \quad \text{$\triangle ABC$ の面積} \end{align*}

問(1)の解答・解説

問(1)

\begin{align*} &\text{$3$ 点 $A(-4 \ , \ 3) \ , \ B(-1 \ , \ 2) \ , \ C(3 \ , \ -1)$ について、次のものを求めよ。} \\[ 5pt ] &\quad \text{点 $A$ と直線 $BC$ の距離} \end{align*}

例題と問を比較してみましょう。問では、例題(1),(2)が省略されています。

入試レベルになると、必要な作業があるにも関わらず、その作業を省略したような問題が出題されます。小問どうしの関係をしっかりと把握しておきましょう。

点Aと直線BCの距離を求めるには、直線BCの方程式が必要でした。2点を通る直線の方程式に代入して、直線BCの方程式を求めます。

問(1)の解答例 1⃣

\begin{align*} &\text{直線 $BC$ は $2$ 点 $B(-1 \ , \ 2) \ , \ C(3 \ , \ -1)$ を通るので} \\[ 5pt ] &\quad \left(-1-2 \right)\left\{x-\left(-1 \right) \right\}-\left\{ 3-\left(-1 \right) \right\}\left(y-2 \right)=0 \\[ 7pt ] &\quad -3\left(x+1 \right)-4\left(y-2 \right)=0 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad 3x+4y-5=0 \end{align*}

図に直線の方程式を追記しておきましょう。

三角形の図(練習問題)
直線BCの方程式を追記する

点Aと直線BCの距離を求めます。点と直線の距離の式に代入します。

問(1)の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 3x+4y-5=0 \\[ 7pt ] &\text{点 $A$ と直線 $BC$ の距離を $d$ とすると} \\[ 5pt ] &\quad d=\frac{| 3 \cdot (-4)+4 \cdot 3-5 |}{\sqrt{ 3^{\scriptsize{2}}+4^{\scriptsize{2}}} } \\[ 7pt ] &\quad d=\frac{| -5 |}{\sqrt{9+16}} \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad d=\frac{5}{5}=1 \\[ 5pt ] &\text{これは点 $A$ から $BC$ に下した垂線の長さに等しい。} \end{align*}

問(2)の解答・解説

問(2)

\begin{align*} &\text{$3$ 点 $A(-4 \ , \ 3) \ , \ B(-1 \ , \ 2) \ , \ C(3 \ , \ -1)$ について、次のものを求めよ。} \\[ 5pt ] &\quad \text{$\triangle ABC$ の面積} \end{align*}

三角形の面積を底辺の長さと高さを用いて求めるのであれば、問(1)を解いただけでは足りません。底辺の長さを求めていないからです。

2点間の距離の式に代入して、底辺である線分BCの長さを求めます。

問(2)の解答例 1⃣

\begin{align*} &\text{線分 $BC$ の長さは $2$ 点 $B(-1 \ , \ 2) \ , \ C(3 \ , \ -1)$ 間の} \\[ 5pt ] &\text{距離に等しいので} \\[ 5pt ] &\quad BC=\sqrt{\left\{ 3-(-1) \right\}^{\scriptsize{2}}+\left(-1-2 \right)^{\scriptsize{2}}} \\[ 7pt ] &\quad BC=\sqrt{16+9} \\[ 7pt ] &\text{$BC \gt 0$ より} \\[ 5pt ] &\quad BC=5 \end{align*}

△ABCの底辺の長さ、高さが分かったので、面積を求めます。

問(2)の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad BC=5 \\[ 7pt ] &\text{$\triangle {ABC}$ の面積は} \\[ 5pt ] &\quad \triangle ABC=\frac{1}{2} \cdot BC \cdot d \\[ 7pt ] &\quad \triangle ABC=\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 1 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad \triangle ABC=\frac{5}{2} \end{align*}

問(2)の別解例

問(1)を無視して、問(2)を単独で解くこともできます。

点Aが原点に重なるように平行移動させると、2点B,Cはそれぞれx軸方向に4、y軸方向に-3だけ平行移動します。

平行移動後の2点B’,C’の座標を用いて、三角形の面積を求めます。

問(2)の別解例

\begin{align*} &\text{点 $A(-4 \ , \ 3)$ が原点 $O(0 \ , \ 0)$ に重なるように} \\[ 5pt ] &\text{$\triangle {ABC}$ を平行移動させると} \\[ 5pt ] &\quad (-1+4 \ , \ 2-3) \ , \ (3+4 \ , \ -1-3) \\[ 7pt ] &\text{より、$2$ 点 $B \ , \ C$ はそれぞれ} \\[ 5pt ] &\quad B'(3 \ , \ -1) \ , \ C'(7 \ , \ -4) \\[ 5pt ] &\text{に平行移動する。} \\[ 5pt ] &\text{このとき} \\[ 5pt ] &\quad \triangle ABC=\triangle OB’C’ \\[ 7pt ] &\text{であるので、$\triangle ABC$ の面積は} \\[ 5pt ] &\quad \triangle ABC=\frac{1}{2}| 3 \cdot (-4)-7 \cdot (-1)| \\[ 7pt ] &\quad \triangle ABC=\frac{1}{2} \cdot 5 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad \triangle ABC=\frac{5}{2} \end{align*}

頂点の座標を用いた三角形の面積の式は、かなり便利な式です。時間短縮だけでなく、検算にも使えるので、ぜひともマスターしておきたい式です。

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さいごにもう一度まとめ

  • 底辺の長さを求めるときには、2点間の距離を利用しよう。
  • 三角形の高さを求めるときには、点と直線の距離を利用しよう。
  • 頂点の1つが原点であれば、残りの2点の座標で三角形の面積が決まる。
  • 頂点がどれも原点にないときは、三角形を平行移動しよう。