複素数と方程式|2重解をもつ条件について

数学2複素数と方程式,重解,高次方程式

3次方程式が2重解をもつ条件を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。


\begin{align*}
&\text{3次方程式 $x^{\scriptsize{3}}+(a-2)x^{\scriptsize{2}}-4a=0$ が2重解をもつように} \\[ 5pt ]
&\text{定数 $a$ の値を定め、そのときの解をすべて求めよ。}
\end{align*}

問の解答・解説

3次方程式を扱った問題なので、まず因数分解することを考えましょう。また、定数 a の値について、すべての解を求めることにも気を付けましょう。

方程式の左辺をよく観察すると、例題のときよりも簡単に因数である1次式が分かります。

問の解答例①
\begin{align*}
&\quad f(x)=x^{\scriptsize{3}}+\bigl( a-2 \bigr)x^{\scriptsize{2}}-4a \\[ 7pt ]
&\text{とすると} \\[ 5pt ]
&\quad f(2)=2^{\scriptsize{3}}+\bigl( a-2 \bigr) \cdot 2^{\scriptsize{2}}-4a=0 \\[ 7pt ]
&\text{より、$f(x)$ は $x-2$ を因数にもつ。}
\end{align*}

因数である1次式が見つかったら、組立除法で3次式を割り算します割り算します。組立除法の結果は以下の通りです。次数が1の項がないことに注意しましょう。

問の組立除法

3次式を因数分解できたら、新たに方程式を導きます。

問の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\text{より、$f(x)$ は $x-2$ を因数にもつ。} \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad f(x)=\bigl( x-2 \bigr)\bigl( x^{\scriptsize{2}}+ax+2a \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{より、方程式は} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( x-2 \bigr)\bigl( x^{\scriptsize{2}}+ax+2a \bigr)=0 \\[ 7pt ]
&\text{したがって} \\[ 5pt ]
&\quad x-2=0 \quad \text{または} \quad x^{\scriptsize{2}}+ax+2a=0
\end{align*}

3次方程式の解の1つは、1次方程式からすぐに分かります。この解をもとに場合分けをして、2重解をもつときの定数 a の値を求めます。

まず、2次方程式が重解をもつときです。ただし、1次方程式の解とは異なることも忘れないようにしましょう。

問の解答例③
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad x-2=0 \quad \text{または} \quad x^{\scriptsize{2}}+ax+2a=0 \\[ 7pt ]
&\text{[1] $x^{\scriptsize{2}}+ax+2a=0$ が $2$ ではない重解をもつ} \\[ 5pt ]
&\text{判別式を $D$ とすると} \\[ 5pt ]
&\quad D=0 \quad \text{かつ} \quad 2^{\scriptsize{2}}+a \cdot 2+2a \neq 0 \\[ 7pt ]
&\text{を満たせばよい。ここで} \\[ 5pt ]
&\quad D=a^{\scriptsize{2}}-8a=a\bigl(a-8\bigr) \\[ 7pt ]
&\text{より、$D=0$ とすると} \\[ 5pt ]
&\quad a= 0 \ , \ 8 \\[ 7pt ]
&\text{これは $a+1 \neq 0$ を満たす。}
\end{align*}

誤って3重解にならないように、2次方程式が $x=2$ を解にもたないという条件を付けています。ここで次の場合に行かず、定数 a の値について、2次方程式の重解を求めます。

問の解答例④
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\text{$a=0$ のとき、2次方程式は} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}=0 \\[ 7pt ]
&\text{となるので、重解は $x=0$} \\[ 5pt ]
&\text{また、$a=8$ のとき、2次方程式は} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}+8x+16=0 \\[ 7pt ]
&\text{となるので、重解は $x=-4$}
\end{align*}

次は、2次方程式の解の1つが2となるときです。もちろん、2次方程式の残りの解は2になってはいけません。

問の解答例⑤
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\text{[2] $x^{\scriptsize{2}}+ax+2a=0$ の解の1つが $2$ で、他の解が $2$ ではない} \\[ 5pt ]
&\text{$x=2$ が解であるので} \\[ 5pt ]
&\quad 2^{\scriptsize{2}}+a \cdot 2+2a= 0 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad a+1=0 \quad \text{すなわち} \quad a=-1 \\[ 7pt ]
&\text{このとき、2次方程式は} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}-x-2=0 \\[ 7pt ]
&\text{となるので} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( x+1 \bigr)\bigl( x-2 \bigr)=0 \\[ 7pt ]
&\text{より} \\[ 5pt ]
&\quad x=-1 \ , \ 2 \\[ 7pt ]
&\text{これは、他の解が $2$ ではないので適する。} \\[ 5pt ]
&\text{[1],[2]より} \\[ 5pt ]
&\quad a=-1 \quad \text{のとき} \quad x=2 \ \text{(重解)} \ , \ -1 \\[ 7pt ]
&\quad a=0 \quad \text{のとき} \quad x=0 \ \text{(重解)} \ , \ 2 \\[ 7pt ]
&\quad a=8 \quad \text{のとき} \quad x=-4 \ \text{(重解)} \ , \ 2
\end{align*}

定数 a の値が小さい順に書き並べています。解いた順番と前後するので注意しましょう。

組立除法が上手くいかないとき

問の3次式あっても、最低次数の文字(ここでは定数 a )について整理すると、3次式を因数分解できます。

最低次数の文字に注目して因数分解する
\begin{align*}
&\quad x^{\scriptsize{3}}+(a-2)x^{\scriptsize{2}}-4a=0 \\[ 7pt ]
&\text{方程式の左辺を $a$ について整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{3}}-2x^{\scriptsize{2}}+a\bigl(x^{\scriptsize{2}}-4 \bigr)=0 \\[ 7pt ]
&\text{さらに変形すると} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}\bigl(x-2 \bigr)+a\bigl(x+2 \bigr) \bigl(x-2 \bigr)=0 \\[ 7pt ]
&\text{より、共通因数 $x-2$ でくくると} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( x-2 \bigr)\Bigl\{x^{\scriptsize{2}}+a\bigl(x+2 \bigr) \Bigr\}=0 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( x-2 \bigr)\bigl(x^{\scriptsize{2}}+ax+2a \bigr)=0
\end{align*}

2次方程式の重解の求め方

2次方程式の重解を求めるとき、方程式を解く人が意外と多いかもしれません。間違ってはいませんが、その解き方は、効率の悪い解き方です。

2次方程式が重解をもつことが分かっているとき、その重解は以下のようになることが分かっています。

2次方程式の重解
\begin{align*}
&\text{2次方程式 $ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ が重解をもつとき、} \\[ 5pt ]
&\text{その重解は} \\[ 5pt ]
&\quad x=-\frac{b}{2a}
\end{align*}

このことを知っておくと、方程式をわざわざ解く必要がなく、時間短縮になります。暗算で解けるので、とても便利です。

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さいごにもう一度まとめ

  • 3次方程式の問題では、因数分解を優先しよう。
  • 3次方程式が2重解をもち方は2通りある。
  • 1次式の因数を見つけて因数分解しよう。
  • 2次方程式の重解は公式を用いて求めよう。
  • 3重解にならないように、他の解も確認しよう。