整数の性質｜ｎ進数の各位の数や桁数、記数法の決定について
今回はｎ進数の各位の数や桁数、記数法の決定について学習しましょう。
応用度の高い内容なので、躓きやすくなります。これまでに学習した事柄をしっかり定着させておいた方が良いでしょう。演習で間違えてしまったら、その都度、定義や条件などを確認しておきましょう。
ｎ進数の各位の数
ｎ進法で表される数、すなわちｎ進数は、以下のような意味をもっていました。
ｎ進数
$n$ を $2$ 以上の整数とする。
$n$ 進法で
\begin{align*} \quad a_{0} \ a_{1} \ a_{2} \ \cdots \cdots \ a_{k-1} \ a_{k} \end{align*}と書かれた $k+1$ 桁の正の整数は
\begin{align*} \quad a_{k} \cdot n^{k} + a_{k-1} \cdot n^{k-1} + \cdots \cdots + a_{2} \cdot n^{2} + a_{1} \cdot n^{1} + a_{0} \cdot n^{0} \end{align*}の意味である。ただし
\begin{align*} \quad a_{0} \ , \ a_{1} \ , \ a_{2} \ , \ \cdots \cdots \ , \ a_{k-1} \ , \ a_{k} \end{align*}は $0$ 以上 $n-1$ 以下の整数、$a_{k} \neq 0$
この定義から分かるように、ｎ進数は０～ｎ－１のｎ個の数字を用いて表されるので、各位の数字は０以上ｎ－１以下の整数です。ただし、最も高い位の数字だけは０になることはなく、１以上ｎ－１以下の整数です。
ｎ進法のｎは、ｎまでの数字ではなく、０～ｎ－１のｎ個の数字という意味。
たとえば、１０進数であれば、各位の数字は０以上９以下（最高位だけ１以上９以下）の整数で、これは整数を１０で割った余りの種類と同じになります。
６進数ａｂｃ(6)について、各位の数字が満たす条件を考えてみましょう。
６進数は、０～５の６個の数字を用いて表される数です。ただし、最も高い位だけは０になることはありません。
６進数の各位の数字が満たす条件
$6$ 進法で表される数は、$0$~$5$ の $6$ 個の数字を用いて表される。
$abc_{(6)}$ について、$a \ , \ b \ , \ c$ が満たす条件は
\begin{align*} \left\{ \begin{array}{l} 1 \leqq a \leqq 5 \\[ 7pt ] 0 \leqq b \leqq 5 \\[ 7pt ] 0 \leqq c \leqq 5 \end{array} \right. \end{align*}このように記数法の底をもとに、各位の数字が満たす条件を導出できます。これらの条件を用いて題意を満たす値を求めるので、忘れずに書き出しておきましょう。
各位の数字が満たす条件
ｎ進数について、
- １≦（最高位の数字）≦ｎ－１
- ０≦（それ以外の位の数字）≦ｎ－１
ｎ進数の桁数
たとえば、１０進数の最も高い位が百の位だと分かれば、１０進数の桁数は３だと分かります。これはｎ進数でも同じです。また、ｎ進数の桁数が分かれば、ｎ進数がどんな範囲にある数かを知ることができます。
たとえば、３桁の１０進数１２３を考えてみましょう。３桁の１０進数１２３は、記数法の底１０を用いて位取りすると、以下のように表されます。
１０進数１２３の意味
$10$ 進数 $123$ は
\begin{align*} \quad 123 = 1 \cdot 10^{2} + 2 \cdot 10^{1} + 3 \cdot 10^{0} \end{align*}を意味する。
３桁の１０進数であれば、最も高い位は１０2の位です。また、１０進数１２３は以下の範囲にある数だと表せます。
１０進数１２３の範囲
よって、$3$ 桁の $10$ 進数 $123$ は
\begin{align*} \quad 10^{3-1} \leqq 123 \lt 10^{3} \end{align*}の範囲にある。
このことから分かるのは、記数法の底や桁数を用いて、数の取りうる範囲を表すことができるということです。１２３は３桁の数なので、３桁の数の最小値（１００）以上であって、４桁の数の最小値（１０００）未満となります。
ただし、桁数の使い方に気をつけないと、数の取りうる範囲を間違えてしまいます。最も高い位の指数は、桁数よりも１だけ小さいので注意しましょう。
数の範囲を表すときの注意点
$10^{2}$ は $10^{2} = 100$ より $3$ 桁の数。
$10^{3}$ は $10^{3} = 1000$ より $4$ 桁の数。
指数と桁数の関係をしっかり把握しよう。
３進数で表すと５桁となる１０進数を考えてみよう
１０進数だと易しすぎるので、３進数で表すと５桁となるような自然数Ｎ（１０進数）の取りうる範囲を考えてみましょう。
３進数なので、記数法の底３で位取りします。底３と桁数５を用いて範囲を表します。
３進数で表すと５桁となる１０進数の取りうる範囲
$3$ 進数で表すと $5$ 桁になるときの最小値は
\begin{align*} \quad N_{min} = 1 \cdot 3^{5-1} \end{align*}$3$ 進数で表すと $6$ 桁になるときの最小値は
\begin{align*} \quad N’_{min} = 1 \cdot 3^{5} \end{align*}自然数 $N$ は、$3$ 進数で表すと$5$ 桁になるので
\begin{align*} \quad N_{min} \leqq N \lt N’_{min} \end{align*}よって
\begin{align*} \quad 3^{5-1} \leqq N \lt 3^{5} \end{align*}の範囲にある。
５桁の３進数のうち最小値となるのは、最高位（３5-1の位）の数字が１で、それ以外の位が０となるときです（最高位以外は０となるので、上記では省略してあります）。
また、６桁の３進数のうち最小値となるのは、最高位（３5の位）の数字が１で、それ以外が０となるときです（最高位以外は０となるので、上記では省略してあります）。
これらの範囲にある自然数であれば、すべて３進数で表すと５桁となります。
以上のことから、一般に、１０進数の取りうる範囲は、ｎ進数で表したときの桁数を用いて表すことができます。
ｎ進数の桁数と１０進数の取りうる範囲の関係
$n$ 進法で表すと $a$ 桁となる自然数 $N$ について
\begin{align*} \quad n^{a-1} \leqq N \lt n^{a} \end{align*}が成り立つ。
ただし
$n^{a-1}$ は $a$ 桁の $n$ 進数のうち最小値
$n^{a}$ は $a+1$ 桁の $n$ 進数のうち最小値
ｎ進数の桁数を扱った問題では、数の範囲や各桁における値の範囲などを表す不等式を必要とします。必ず立式できるようにしておきましょう。
記数法の決定
記数法の決定では、色々な記数法で表したときの数をヒントに記数法の底を求めます。ヒントで与えられる数は底が異なるので、底を統一するのが基本方針です。
底を統一することで、同じ土俵で関係式を扱うことができるようになります。特に、１０進法で表すと、かねてから扱っている数式として扱えるので、困ったときは１０進法で表してみましょう。
次はｎ進数の各位の数や桁数、記数法の決定を扱った問題を実際に解いてみましょう。