図形と方程式|平行四辺形の頂点の座標について

数学2座標,平行四辺形,頂点

平行四辺形の頂点の座標を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。


\begin{align*}
&\text{3点 $A(4 \ , \ 5) \ , \ B(6 \ , \ 7) \ , \ C(7 \ , \ 3)$ を頂点とする} \\[ 5pt ]
&\text{平行四辺形の残りの頂点Dの座標を求めよ。}
\end{align*}

問の解答・解説

平行四辺形の名称がないので、頂点Dの座標は3通り考えられます。このことは作図すればよく分かります。

問の平行四辺形の作図

例題と同じ要領で解きます。

問の解答例①
\begin{align*}
&\text{残りの頂点Dの座標を $(x \ , \ y)$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{平行四辺形の頂点の順序は、次の3つの場合がある。} \\[ 5pt ]
&\quad \text{(i) 平行四辺形ABCD} \quad \text{(ii) 平行四辺形ABDC} \quad \text{(iii) 平行四辺形ADBC}
\end{align*}

それぞれの平行四辺形において、点Dの座標を求めます。2本の対角線の中点が一致することを利用します。

まずは、平行四辺形ABCDの場合です。対角線は、線分BDと線分ACです。

問の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\text{(i) 平行四辺形ABCDの場合} \\[ 5pt ]
&\text{線分BDと線分ACの中点が一致するので、} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{x+6}{2}=\frac{4+7}{2} \ , \ \frac{y+7}{2}=\frac{5+3}{2} \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad x=5 \ , \ y=1
\end{align*}

次は、平行四辺形ABDCの場合です。対角線は、線分ADと線分BCです。

問の解答例③
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\text{(ii) 平行四辺形ABDCの場合} \\[ 5pt ]
&\text{線分ADと線分BCの中点が一致するので、} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{x+4}{2}=\frac{6+7}{2} \ , \ \frac{y+5}{2}=\frac{7+3}{2} \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad x=9 \ , \ y=5
\end{align*}

さいごは、平行四辺形ADBCの場合です。対角線は、線分CDと線分ABです。

問の解答例④
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\text{(iii) 平行四辺形ADBCの場合} \\[ 5pt ]
&\text{線分CDと線分ABの中点が一致するので、} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{x+7}{2}=\frac{4+6}{2} \ , \ \frac{y+3}{2}=\frac{5+7}{2} \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad x=3 \ , \ y=9 \\[ 7pt ]
&\text{(i),(ii),(iii)より、頂点Dの座標は} \\[ 5pt ]
&\quad (5 \ , \ 1) \ , \ (9 \ , \ 5) \ , \ (3 \ , \ 9)
\end{align*}

残りの頂点の位置から対角線を把握し、その中点の座標を用いて方程式を導きます。計算は易しいので、作図をして残りの頂点の位置さえしっかり把握できれば間違うことはないでしょう。

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さいごにもう一度まとめ

  • 平行四辺形の名称の有無を確認しよう。
  • 図形の名称があれば、頂点の順序はただ1つに定まる。
  • 図形の名称がなければ、頂点の順序を場合分けしよう。
  • 平行四辺形の頂点を扱うときは、対角線の中点を利用しよう。
  • 平行四辺形の2本の対角線の中点は一致する。