数学２
部分分数への分解を扱った問題を解いてみよう
次の問題を解いてみましょう。
問
\begin{align*}
&\text{次の計算をせよ。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad \frac{1}{(x-3)(x-1)} + \frac{1}{(x-1)(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+3)} \\[ 10pt ]
&(2) \quad \frac{1}{a^{\scriptsize{2}}-a} + \frac{1}{a^{\scriptsize{2}}+a} + \frac{1}{a^{\scriptsize{2}}+3a+2}
\end{align*}
部分分数の公式を意識して変形しましょう。
問(1)の解答・解説
問(1)
\begin{align*}
&\text{次の計算をせよ。} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{1}{(x-3)(x-1)} + \frac{1}{(x-1)(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+3)}
\end{align*}
問(1)は、例題(2)と同じパターンの計算です。
与式の各項をそれぞれ部分分数に分解します。分母は、隣り合う２数の積でないものがありますが、大小関係を考えて分解します。
問(1)の解答例 1⃣
\begin{align*}
\quad \frac{1}{(x-3)(x-1)} &= \frac{1}{-1-(-3)} \left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-1} \right) \\[ 10pt ]
&=\frac{1}{2} \left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-1} \right) \\[ 10pt ]
\quad \frac{1}{(x-1)(x+1)} &= \frac{1}{1-(-1)} \left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1} \right) \\[ 10pt ]
&=\frac{1}{2} \left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1} \right) \\[ 10pt ]
\quad \frac{1}{(x+1)(x+3)} &= \frac{1}{3-1} \left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3} \right) \\[ 10pt ]
&=\frac{1}{2} \left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3} \right) \\[ 10pt ]
\end{align*}
より、与式を計算すると
\begin{align*}
\quad &\frac{1}{(x-3)(x-1)} + \frac{1}{(x-1)(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+3)} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{1}{2} \left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+1} \right)+\frac{1}{2} \left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1} \right)+\frac{1}{2} \left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3} \right) \\[ 10pt ]
= \ &\frac{1}{2} \left\{ \left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-1} \right)+\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1} \right)+\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3} \right) \right\} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{1}{2} \left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+3} \right)
\end{align*}
部分分数がうまい具合に相殺されて、結局、最初と最後の部分分数が残ります。
各項を部分分数に分解した後は、分配法則で展開したくなりますが、やめておきましょう。共通因数（１/２）に注目して、それでくくります。式が複雑にならないように、なるべく展開しない方針で進めましょう。
２つの分数式を通分して、１つの分数式にまとめます。このとき、部分分数の公式を応用すると、暗算で変形できます。
部分分数の公式（応用）
\begin{align*}
&\quad \frac{1}{(x+a)(x+b)} = \frac{1}{b-a} \left(\frac{1}{x+a} – \frac{1}{x+b} \right) \\[ 10pt ]
&\text{両辺に $b-a$ を掛けると} \\[ 10pt ]
&\quad \frac{1}{x+a} – \frac{1}{x+b} = \frac{b-a}{(x+a)(x+b)}
\end{align*}
公式を利用して、２つの分数式を１つにまとめます。
問(1)の解答例 2⃣
\begin{align*}
\quad &\frac{1}{(x-3)(x-1)} + \frac{1}{(x-1)(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+3)} \\[ 10pt ]
&\vdots \\[ 10pt ]
= \ &\frac{1}{2} \left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+3} \right) \\[ 10pt ]
= \ &\frac{1}{2} \cdot \frac{3-(-3)}{(x-3)(x+3)} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{(x-3)(x+3)} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{3}{(x-3)(x+3)}
\end{align*}
通分で１つの分数式にまとめるのが基本です。しかし、公式を上手に利用すれば、計算量を減らし、時間短縮につながります。よく出てくる形の式なので、使いこなせるようにしておくと良いでしょう。
問(2)の解答・解説
問(2)
\begin{align*}
&\text{次の計算をせよ。} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{1}{a^{\scriptsize{2}}-a} + \frac{1}{a^{\scriptsize{2}}+a} + \frac{1}{a^{\scriptsize{2}}+3a+2}
\end{align*}
問(2)の分数式をよく観察しましょう。分母が因数分解されていないので、部分分数に分解できる形になっていません。
まず分母を因数分解します。
問(2)の解答例 1⃣
\begin{align*}
&\quad a^{\scriptsize{2}}-a= a\left(a-1 \right) \\[ 7pt ]
&\quad a^{\scriptsize{2}}+a= a\left(a+1 \right) \\[ 7pt ]
&\quad a^{\scriptsize{2}}+3a+2= \left(a+1 \right)\left(a+2 \right) \\[ 7pt ]
&\text{より、与式は}
\end{align*}
\begin{align*}
\quad &\frac{1}{a^{\scriptsize{2}}-a} + \frac{1}{a^{\scriptsize{2}}+a} + \frac{1}{a^{\scriptsize{2}}+3a+2} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{1}{(a-1)a}+\frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{(a+1)(a+2)}
\end{align*}
これで与式を部分分数に分解する準備ができました。
応用的な問題になると、このような下準備が必要になることが多くなります。下準備には、これまでに学習してきたことを用いるので、忘れていたらすぐに確認しておきましょう。
公式を利用して部分分数に分解します。大小関係に注意して分解しましょう。
問(2)の解答例 2⃣
\begin{align*}
\quad \frac{1}{(a-1)a} &= \frac{1}{0-(-1)} \left(\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a} \right) \\[ 10pt ]
&=\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a} \\[ 10pt ]
\quad \frac{1}{a(a+1)} &= \frac{1}{1-0} \left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1} \right) \\[ 10pt ]
&=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1} \\[ 10pt ]
\quad \frac{1}{(a+1)(a+2)} &= \frac{1}{2-1} \left(\frac{1}{a+1}-\frac{1}{a+2} \right) \\[ 10pt ]
&=\frac{1}{a+1}-\frac{1}{a+2} \\[ 10pt ]
\end{align*}
より、与式を計算すると
\begin{align*}
\quad &\frac{1}{a^{\scriptsize{2}}-a} + \frac{1}{a^{\scriptsize{2}}+a} + \frac{1}{a^{\scriptsize{2}}+3a+2} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{1}{(a-1)a}+\frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{(a+1)(a+2)} \\[ 10pt ]
= \ &\left(\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a} \right)+\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1} \right)+\left(\frac{1}{a+1}-\frac{1}{a+2} \right) \\[ 10pt ]
= \ &\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a+2}
\end{align*}
問(2)も(1)と同じように、最初と最後の部分分数が残ります。
２つの分数式を通分して、１つの分数式にまとめます。このとき、部分分数の公式を利用します。
問(2)の解答例 3⃣
\begin{align*}
\quad &\frac{1}{a^{\scriptsize{2}}-a} + \frac{1}{a^{\scriptsize{2}}+a} + \frac{1}{a^{\scriptsize{2}}+3a+2} \\[ 10pt ]
&\vdots \\[ 10pt ]
= \ &\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a+2} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{2-(-1)}{(a-1)(a+2)} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{3}{(a-1)(a+2)}
\end{align*}
公式を上手に利用できれば、部分分数への分解も、部分分数を１つの分数式にまとめることも簡単にできます。
慣れてしまえば暗算できるので、計算過程の記述も簡単になります。公式を遠慮なく使い倒しましょう。
部分分数の公式
\begin{align*}
&\quad \frac{1}{(x+a)(x+b)} = \frac{1}{b-a} \left(\frac{1}{x+a} – \frac{1}{x+b} \right) \\[ 10pt ]
&\text{また、両辺に $b-a$ を掛けると} \\[ 10pt ]
&\quad \frac{1}{x+a} – \frac{1}{x+b} = \frac{b-a}{(x+a)(x+b)}
\end{align*}
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さいごにもう一度まとめ
- 部分分数に分解するとは、１つの分数式を複数の分数式に分解すること。
- 部分分数に分解する前に、分母を因数分解しておく。
- 部分分数への分解は、公式を利用して暗算で処理しよう。
- 部分分数に分解すると、計算が簡単になる場合がある。
