数学Ａ｜合同式を使って入試問題を解いてみよう

06/06/2021大学入試,数学Ａ

以前の記事で、合同式を紹介しました。その合同式を使って、国立大学の2次試験で実際に出題された問題を解いてみましょう。

２次試験の問題と言われると、記述形式なのでとても難しそうな感じがします。しかし、すべてが難易度の高い問題というわけではありません。もちろん、易しすぎるわけでもないので、油断は禁物です。

典型的な問題も出題されるので、そのような問題を確実に解けるように演習をこなしておくことが大切です。

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過去問を解いてみよう

まずは力試しに自力で解いてみると良いでしょう。

問題

以下の問いに答えよ。ただし、$(1)$ については、結論のみを書けばよい。

$(1) \ n$ を正の整数とし、$3^{\scriptsize{n}}$ を $10$ で割った余りを $a_{\scriptsize{n}}$ とする。$a_{\scriptsize{n}}$ を求めよ。

$(2) \ n$ を正の整数とし、$3^{\scriptsize{n}}$ を $4$ で割った余りを $b_{\scriptsize{n}}$ とする。$b_{\scriptsize{n}}$ を求めよ。

$(3)$ 数列 $\{ x_{\scriptsize{n}} \}$ を次のように定める。

\begin{equation*} \quad x_{\scriptsize{1}}=1 \ , \ x_{\scriptsize{n+1}}=3^{x_{\scriptsize{n}}} \quad (n=1,2,3,\cdots) \end{equation*}

$x_{\scriptsize{10}}$ を $10$ で割った余りを求めよ。

さいごに数列が出てきていますが、数列の知識がなくても解くことができます。これでも一応、数学Ａの分野に分類される問題です。

問題(1)の解答・解説

問題(1)

$(1) \ n$ を正の整数とし、$3^{\scriptsize{n}}$ を $10$ で割った余りを $a_{\scriptsize{n}}$ とする。$a_{\scriptsize{n}}$ を求めよ。

問題(1)は、３ⁿを１０で割ったときの余りａ_n を考える問題です。与式だけだと抽象的な印象のままなので、問題の意図を掴みにくいです。最初は手探りになるのは当たり前なので、方針を決めるためにも具体化してみましょう。

具体化して情報を整理しよう

実際にｎ＝１，２，３，… を代入して余りを求めます。ｎに代入する値が多ければ多いほど、多くの情報を得ることができます。中途半端に代入せず、何かしらの規則性が見つかるまで根気強く具現化しましょう。

実際に１０で割って、余りａ_nを求めた結果は以下のようになります。

具体化して規則性を探す

\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & \cdots \\ \hline 3^{\scriptsize{n}} & 3 & 9 & 27 & 81 & 243 & 729 & 2187 & 6561 & \cdots \\ \hline a_{\scriptsize{n}} & 3 & 9 & 7 & 1 & 3 & 9 & 7 & 1 & \cdots \end{array}

指数で分類しよう

表から分かるように、余りａ_nは４つの数３，９，７，１を１セットにして繰り返すことが分かります。ですから、３ⁿを１０で割ったときの余りａ_nは３，９，７，１のいずれかになることが分かります。

過去の入試でも数列の問題で、余りが繰り返すことを利用する問題が出題されている。扱い方に慣れておこう。

余りａ_nが４つの数を１セットにして繰り返すことから、ｎの値が分かれば余りａ_nも分かります。この関係を利用して、余りａ_nからｎを分類します。

余りａ_nからｎを分類する

\begin{align*} &\text{余り $a_{\scriptsize{n}}$ が $3$ のとき} \\[ 5pt ] &\quad n=1,5,9,\cdots \\[ 5pt ] &\Rightarrow \text{$n$ を $4$ で割ると余りが $1$ になる} \\[ 10pt ] &\text{余り $a_{\scriptsize{n}}$ が $9$ のとき} \\[ 5pt ] &\quad n=2, \ 6, \ 10, \ \cdots \\[ 5pt ] &\Rightarrow \text{$n$ を $4$ で割ると余りが $2$ になる} \\[ 10pt ] &\text{余り $a_{\scriptsize{n}}$ が $7$ のとき} \\[ 5pt ] &\quad n=3, \ 7, \ 11, \ \cdots \\[ 5pt ] &\Rightarrow \text{$n$ を $4$ で割ると余りが $3$ になる} \\[ 10pt ] &\text{余り $a_{\scriptsize{n}}$ が $1$ のとき} \\[ 5pt ] &\quad n=4, \ 8, \ 12, \ \cdots \\[ 5pt ] &\Rightarrow \text{$n$ を $4$ で割ると余りが $0$ になる} \end{align*}

以上のことを踏まえて答案を作成します。なお、問題(1)では結論だけを示せば良いので、分類したことが分かるように記述します。

問題(1)の解答例

\begin{equation*} a_{n} = \begin{cases} 3 & (\text{$n$ を $4$ で割った余りが $1$ になるとき}) \\[ 5pt ] 9 & (\text{$n$ を $4$ で割った余りが $2$ になるとき}) \\[ 5pt ] 7 & (\text{$n$ を $4$ で割った余りが $3$ になるとき}) \\[ 5pt ] 1 & (\text{$n$ を $4$ で割った余りが $0$ になるとき}) \end{cases} \end{equation*}

問題(1)は結論だけで良いので、何とか解答することができるでしょう。ただ、問題(2)からは過程を省略できないので、筋道立てて説明できる記述力が必要になります。

問題(2)の解答・解説

問題(2)

$(2) \ n$ を正の整数とし、$3^{\scriptsize{n}}$ を $4$ で割った余りを $b_{\scriptsize{n}}$ とする。$b_{\scriptsize{n}}$ を求めよ。

問題(2)は、３ⁿを４で割ったときの余りｂ_nを考える問題です。問題(1)と同じように、何かしらの規則性が見つかるまで具体化してみましょう。

具体化して情報を整理しよう

実際に余りｂ_nを求めると以下のようになります。情報は多い方が良いので、できる限り計算しましょう。

具体化して規則性を探す

\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \cdots \\ \hline 3^{\scriptsize{n}} & 3 & 9 & 27 & 81 & 243 & 729 & \cdots \\ \hline b_{\scriptsize{n}} & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & \cdots \end{array}

指数で分類しよう

表から分かるように、余りｂ_nは２つの数３，１を１セットにして繰り返すことが分かります。ですから、３ⁿを４で割ったときの余りｂ_nは３，１のいずれかになることが分かります。

余りｂ_nが２つの数を１セットにして繰り返すことから、ｎの値が奇数と偶数のどちらであるのかが分かれば、余りｂ_nも分かります。

問題(1)と同じようにそのまま分類したいところですが、このままだと経験的に分かったことを記述するだけなので、根拠としては弱いです。ですから、ｎが奇数であれば余りが必ず３となり、ｎが偶数であれば余りが必ず１となることを示す必要があります。ここで合同式の出番です。

指数が偶数と奇数になるように、合同式を上手に変形します。そのためには合同式の性質を使いこなせなければなりません。解答例は以下のようになります。

問題(2)の解答例

\begin{align*} &\text{$n=1, \ 2$ のとき、} \\[ 5pt ] &\quad 3^{\scriptsize{1}} \equiv 3 \pmod 4 \quad \text{…①} \\[ 5pt ] &\quad 3^{\scriptsize{2}} \equiv 1 \pmod 4 \quad \text{…②} \\[ 5pt ] &\text{$m$ を $0$ 以上の整数とすると、②と合同式の性質より、} \\[ 5pt ] &\quad ( \ 3^{\scriptsize{2}} \ )^{m} \equiv 1^{m} \pmod 4 \\[ 5pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad 3^{\scriptsize{2m}} \equiv 1 \pmod 4 \quad \text{…③} \\[ 5pt ] &\text{また、①,③と合同式の性質より、} \\[ 5pt ] &\quad 3^{\scriptsize{2m}} \cdot 3^{1} \equiv 1 \cdot 3 \pmod 4 \\[ 5pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad 3^{\scriptsize{2m+1}} \ \equiv 3 \pmod 4 \quad \text{…④} \\[ 5pt ] &\text{したがって、③，④より} \\[ 5pt ] &\quad b_{n} = \begin{cases} 3 & (\text{$n$ が奇数のとき}) \\[ 5pt ] 1 & (\text{$n$ が偶数のとき}) \end{cases} \end{align*}

ちなみに、問題(2)で利用した合同式の性質は以下のようになります。主に、合同式の性質②（３，４）を利用しています。

合同式のまとめ

合同式
$a-b$ が $m$ の倍数であるとき、$a \ , \ b$ は $m$ を法として合同であるといい、$a \equiv b \pmod m$ と式で表す。このような式を合同式という。
合同式の性質①
1. 反射律　$a \equiv a \pmod m$
2. 対称律　$a \equiv b \pmod m$ のとき、$b \equiv a \pmod m$
3. 推移律　$a \equiv b \pmod m \ , \ b \equiv c \pmod m$ のとき、
  $a \equiv c \pmod m$ または $a\equiv b \equiv c \pmod m$
合同式の性質②　$a \equiv b \pmod m \ , \ c \equiv d \pmod m$ のとき、次のことが成り立つ。
1. $a+c \equiv b+d \pmod m$
2. $a-c \equiv b-d \pmod m$
3. $ac \equiv bd \pmod m$
4. 自然数 $n$ （０以上の整数も可）に対し　$a^n \equiv b^n \pmod m$

数学Ａ｜整数の問題で合同式を使ってみよう

合同式以外の解き方だと数学的帰納法などで解けそうですが、合同式の方が簡潔に解答することができます。

問題(3)の解答・解説

問題(3)

数列 $\{ x_{\scriptsize{n}} \}$ を次のように定める。

\begin{equation*} \quad x_{\scriptsize{1}}=1 \ , \ x_{\scriptsize{n+1}}=3^{x_{\scriptsize{n}}} \quad (n=1,2,3,\cdots) \end{equation*}

$x_{\scriptsize{10}}$ を $10$ で割った余りを求めよ。

最後の問題(3)は、ｘ₁₀を１０で割った余りを求める問題です。与式は数列の漸化式です。しかし、数列の一般項を求めたり、数列の和を求めたりするわけではありません。数列の知識がなくても解ける問題になっています。それよりもむしろ、問題(1)，(2)の結果を活用して解くことを考えなければなりません。

具体化して情報を整理しよう

問題(1)，(2)と同じ要領で、何かしらの規則性が見つかるまで具体化します。ｘ₁，ｘ₂，ｘ₃，…については、与式にｎ＝１，２，３，…を代入して求めます。

具体化して規則性を探す

\begin{align*} &\quad x_{\scriptsize{1}}=1 \ , \ x_{\scriptsize{n+1}}=3^{x_{\scriptsize{n}}} \quad (n=1,2,3,\cdots) \\[ 10pt ] &n=1, \ 2, \ 3, \ \cdots \ \text{を与式に代入すると、} \\[ 5pt ] &n=1 \ \text{のとき} \\[ 5pt ] &\quad x_{\scriptsize{2}}=3^{x_{\scriptsize{1}}}=3^{\scriptsize{1}}=3 \\[ 10pt ] &n=2 \ \text{のとき} \\[ 5pt ] &\quad x_{\scriptsize{3}}=3^{x_{\scriptsize{2}}}=3^{3^{\scriptsize{1}}}=27 \\[ 10pt ] &n=3 \ \text{のとき} \\[ 5pt ] &\quad x_{\scriptsize{4}}=3^{x_{\scriptsize{3}}}=3^{3^{\scriptsize{3}}}=3^{\scriptsize{27}} \\[ 10pt ] &n=4 \ \text{のとき} \\[ 5pt ] &\quad x_{\scriptsize{5}}=3^{x_{\scriptsize{4}}}=3^{3^{\scriptsize{27}}} \\[ 10pt ] &\quad \vdots \\[ 5pt ] &n=9 \ \text{のとき} \\[ 5pt ] &\quad x_{\scriptsize{10}}=3^{x_{\scriptsize{9}}} \end{align*}

これを表にまとめると以下のようになります。

具体化したものを整理する

\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} n & & 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 9 \\ \hline x_{\scriptsize{n+1}} & x_{\scriptsize{1}} & x_{\scriptsize{2}} & x_{\scriptsize{3}} & x_{\scriptsize{4}} & x_{\scriptsize{5}} & \cdots & x_{\scriptsize{10}} \\ \hline 3^{x_{\scriptsize{n}}} & 1 & 3^{\scriptsize{1}} & 3^{3^{\scriptsize{1}}} & 3^{3^{\scriptsize{3}}} & 3^{3^{\scriptsize{27}}} & \cdots & 3^{x_{\scriptsize{9}}} \end{array}

このままだとｎの値とｘの添え字が揃っていないので、対応するように整理し直します。

ｎの値とｘの添え字を対応させる

\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \cdots & 10 \\ \hline x_{\scriptsize{n}} & x_{\scriptsize{1}} & x_{\scriptsize{2}} & x_{\scriptsize{3}} & x_{\scriptsize{4}} & x_{\scriptsize{5}} & \cdots & x_{\scriptsize{10}} \\ \hline 3^{x_{\scriptsize{n-1}}} & 1 & 3^{\scriptsize{1}} & 3^{3^{\scriptsize{1}}} & 3^{3^{\scriptsize{3}}} & 3^{3^{\scriptsize{27}}} & \cdots & 3^{x_{\scriptsize{9}}} \end{array}

ｘ₁＝１より、ｘ₁は奇数です。また、ｘ₂，ｘ₃，…も３の累乗で表されるので、すべて奇数になることが分かります（表３行目参照）。

このことから、ｘ_nを１０で割った余りは、問題(1)の結果から３，９，７，１のいずれかになるだろうと予想できます。

しかし、４つの数のどれになるかまでは特定はできません。指数がどんな数になるのか分からないからです。