場合の数｜順列について

11/23/2021数学Ａ

今回は頻出の「順列」を学習しましょう。この後に学習する「確率」でも必要な知識になります。順列の定義やその考え方をしっかりマスターしましょう。

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順列の定義やその考え方を知ろう

新しい用語とその定義が出てきます。しっかり覚えましょう。

順列に関する基本事項

順列
階乗
順列の総数

順列とは、いくつかの人や物を順番を付けて１列に並べること、または並べたものです。

人や物の単なる組み合わせではなく、並びの順番が大切になってきます。ですから、同じ組合せであっても、並ぶ順番が異なれば別物と捉えます。

次に、階乗です。階乗とは、ある数から１までの整数の積のことです。

一般に、ｎから１までの整数の積をｎの階乗と言い、ｎ！と表します。なお、０の階乗の値は、０！＝１と定義されています。

階乗が便利なのは、積を記号化できるところです。たとえば、３×２×１は３の階乗のことなので、３！と表すことができます。

場合の数や確率では、連続する整数の積を頻繁に扱うので、記述を簡略化できる階乗を使いこなせると非常に便利です。

階乗は連続する整数の積を表す

\begin{align*} &\quad 0! = 1 \\[ 7pt ] &\quad n! = n \times \left(n-1 \right) \times \left(n-2 \right) \times \cdots \times 1 \end{align*}

さいごに、順列の総数です。順列の総数とは、いくつかの人や物を順番を付けて１列に並べたときの場合の数のことです。

一般に、異なるｎ個のものからｒ個を取り出して並べたときの順列の総数を、記号Ｐを用いて_nＰ_rと表します。なお、記号Ｐは、順列を意味するpermutationの頭文字です。

順列の総数の求め方

Ａ，Ｂ，Ｃの３人を左から順に並べるときの順列の総数を考えてみましょう。順列の総数も場合の数なので、樹形図を書くことで求めることができます。

左端に並ぶ人から順に決めていくと、漏れや重複なしに数え上げることができます。

Ａ，Ｂ，Ｃの３人を左から順に並べるときの順列の総数

【左端】Ａ，Ｂ，Ｃの３人がそれぞれ並ぶので３通り
【真ん中】左端の３通りのそれぞれについて、残った２人のどちらかが並ぶので２通りずつ
【右端】真ん中の２通りのそれぞれについて、最後の１人が並ぶので１通りずつ

樹形図では同じ枝数の樹が３つできます。樹形図において同じ枝数の樹が複数できた場合、積の法則を利用して順列の総数を求めることができます。

積の法則を利用すると、順列の総数は３×２×１＝６（通り）です。順列の総数は連続する整数の積で表されるので、３！（通り）とすることもできます。

場合の数｜場合の数について

階乗の使い方

Ａ，Ｂ，Ｃの３人を左から順に並べるときの順列の総数は、３×２×１＝６（通り）でした。このように３人全員であれば、３から１までの整数の積で順列の総数が表されます。

一般に、異なるｎ個のものすべてを並べるとき、その順列の総数は、ｎから１までの整数の積で表されます。先ほどの具体例で言えば、「３人を並べるときの順列の総数は３！＝３×２×１＝６（通り）」のように記述して求めます。

異なるｎ個を並べるときの順列の総数

\begin{align*} {}_n \mathrm{ P }_n &= n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1 \\[ 7pt ] &= n! \end{align*}

このように、すべての人や物を並べるときの順列の総数は、階乗で表せます。

慣れないうちは整数の積で立式しても構いませんが、たとえば「順列の総数は３！通りあり、～」というふうに文章中にも使えるので、できるだけ早く扱いに慣れておきましょう。

一部の人や物を並べるときの順列の総数

先ほどはすべての人や物を順番に並べたときを考えましたが、次は一部の人や物を並べるときを考えてみましょう。

たとえば、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４人のうち、３人を左から順に並べるときの順列の総数を考えます。樹形図は図のようになります。ただし、Ｃ，Ｄが左端のときは省略しています。

Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４人から３人を左から順に並べるときの順列の総数

【左端】Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４人がそれぞれ並ぶので４通り
【真ん中】左端の４通りのそれぞれについて、残った３人のどちらかが並ぶので３通りずつ
【右端】真ん中の３通りのそれぞれについて、最後の２人が並ぶので２通りずつ

樹形図では同じ枝数の樹が４つできるので、積の法則を利用できます。

積の法則を利用すると、順列の総数は４×３×２＝２４（通り）です。

具体例のように４人のうち３人を並べる場合、４から２までの整数の積で表されます。１までではないので注意しましょう。

順列の総数Ｐの使い方

具体例で分かったことをまとめてみましょう。

３人すべてを並べるときの順列の総数から分かること

順列の総数は、連続する整数の積で表される。
特に、すべてを並べるとき、ある数から１までの整数の積となり、階乗で表せる。

一部を並べるとき、整数の積は１までの積ではありませんでした。他の場合も同じでしょうか。

全体から一部を並べるときの順列の総数

５人のうち４人を並べるとき … ５から２までの積
５人のうち３人を並べるとき … ５から３までの積
５人のうち２人を並べるとき … ５から４までの積

もう少し例が多ければ規則性に気付くのですが、全体の数から(全体の数)－(並べる数)＋１までの積になっています。

一般に、ｎ個の中からｒ個取って並べるとき、その順列の総数はｎからｎ－ｒ＋１までの整数の積で表されます。

以上のことから、すべてまたは一部を並べるときの順列の総数は、記号Ｐを使って以下のように表せます。

順列の総数

異なる $n$ 個から $r$ 個を並べるときの順列の総数

\begin{align*} \quad {}_n \mathrm{ P }_r = n \cdot \left(n-1 \right) \cdot \left(n-2 \right) \cdot \cdots \cdot \left(n-r+1 \right) \end{align*}

異なる $n$ 個を並べるときの順列の総数（ $r=n$ のとき）

\begin{align*} \quad {}_n \mathrm{ P }_n &= n \cdot \left(n-1 \right) \cdot \left(n-2 \right) \cdot \cdots \cdot 1 \\[ 5pt ] &= n! \end{align*}

すべてを並べるときはｒ＝ｎのときですが、_nＰ_nよりも階乗ｎ！で表すことが多いです。

また、_nＰ_rの式で間違いの多いのは、右辺の一番最後の数なので、気を付けましょう。

さらに、_nＰ_rの式において、右辺を変形すると以下のような式が得られます。

順列の総数

異なる $n$ 個から $r$ 個を並べるときの順列の総数

\begin{align*} {}_n \mathrm{ P }_r &= n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \cdots \cdot (n-r+1) \\[ 10pt ] &= \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \cdots \cdot (n-r+1) \cdot (n-r) \cdot \cdots \cdot 1}{(n-r) \cdot \cdots \cdot 1} \\[ 10pt ] &= \frac{n!}{(n-r)!} \end{align*}

下図を見ると、どのように変形したのかが分かると思います。この式であれば階乗だけで表すことができるのが利点です。