複素数と方程式｜２次方程式の解の種類の判別について

05/24/2021数学２

２次方程式の解の種類の判別を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問

$m$ は定数とする。次の $2$ 次方程式の解の種類を判別せよ。

$\begin{align*} &(1) \quad x^{\scriptsize{2}}-2mx+2m+3 = 0 \\[ 7pt ] &(2) \quad \left(m^{\scriptsize{2}}-1 \right)x^{\scriptsize{2}}-\left(m+1 \right)x+1 = 0 \end{align*}$

問題文を注意深く読み、与式をよく観察しましょう。

問(1)の解答・解説

問(1)

$m$ は定数とする。次の $2$ 次方程式の解の種類を判別せよ。

$\begin{equation*} \quad x^{\scriptsize{2}}-2mx+2m+3 = 0 \end{equation*}$

２次方程式の解の種類を判別するには、判別式を用います。与式の係数や定数項を判別式に代入します。

問(1)の解答例 1⃣

$\begin{align*} &\quad x^{\scriptsize{2}}-2mx+2m+3 = 0 \\[ 7pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+2 \cdot (-m)x+ \left(2m+3 \right) = 0 \\[ 7pt ] &\text{与式の判別式を $D$ とすると} \end{align*}$

$\begin{align*} \quad \frac{D}{4} &=\left(-m \right)^{\scriptsize{2}}-1 \cdot \left(2m+3 \right) \\[ 7pt ] &= m^{\scriptsize{2}}-2m-3 \\[ 7pt ] &= \left(m+1 \right)\left(m-3 \right) \end{align*}$

判別式は、ｍについての２次式で表されます。ｍの値で場合分けするとき、２次不等式や２次方程式を解く必要があるので、因数分解しておきましょう。

まず、２次方程式が異なる２つの実数解をもつときを考えます。

問(1)の解答例 2⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad = \left(m+1 \right)\left(m-3 \right) \\[ 7pt ] &D \gt 0 \ \text{となるのは} \\[ 5pt ] &\quad \left(m+1 \right)\left(m-3 \right) \gt 0 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad m \lt -1 \ , \ 3 \lt m \\[ 7pt ] &\text{のときで、このとき与式は} \\[ 5pt ] &\text{異なる $2$ つの実数解をもつ。} \end{align*}$

次に、２次方程式が重解をもつときを考えます。

問(1)の解答例 3⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad = \left(m+1 \right)\left(m-3 \right) \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &D = 0 \ \text{となるのは} \\[ 5pt ] &\quad \left(m+1 \right)\left(m-3 \right) = 0 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad m = -1 \ , \ 3 \\[ 7pt ] &\text{のときで、このとき与式は} \\[ 5pt ] &\text{重解をもつ。} \end{align*}$

最後に、２次方程式が異なる２つの虚数解をもつときを考えます。

問(1)の解答例 4⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad = \left(m+1 \right)\left(m-3 \right) \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &D \lt 0 \ \text{となるのは} \\[ 5pt ] &\quad \left(m+1 \right)\left(m-3 \right) \lt 0 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad -1 \lt m \lt 3 \\[ 7pt ] &\text{のときで、このとき与式は} \\[ 5pt ] &\text{異なる $2$ つの虚数解をもつ。} \end{align*}$

したがって

$m \lt -1 \ , \ 3 \lt m$ のとき、異なる $2$ つの実数解をもつ。

$m = -1 \ , \ 3$ のとき、重解をもつ。

$-1 \lt m \lt 3$ のとき、異なる $2$ つの虚数解をもつ。

与式が少し複雑になりましたが、計算ミスに気を付ければ、例題と同レベルの問題です。

また、与式の２次の項の係数は１であるので、必ず２次方程式となることを確認しておきましょう。

問(2)の解答・解説

問(2)

$m$ は定数とする。次の $2$ 次方程式の解の種類を判別せよ。

$\begin{equation*} \quad \left(m^{\scriptsize{2}}-1 \right)x^{\scriptsize{2}}-\left(m+1 \right)x+1 = 0 \end{equation*}$

与式は２次方程式です。ですから、２次の項がなくなると題意を満たしません。

与式が２次方程式であるための条件を導いておきます。

問(2)の解答例 1⃣

$\begin{align*} &\quad \left(m^{\scriptsize{2}}-1 \right)x^{\scriptsize{2}}-\left(m+1 \right)x+1 = 0 \\[ 7pt ] &\text{与式は $2$ 次方程式であるので} \\[ 5pt ] &\quad m^{\scriptsize{2}}-1 \neq 0 \\[ 7pt ] &\text{これを解くと} \\[ 5pt ] &\quad \left(m+1 \right)\left(m-1 \right) \neq 0 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad m \neq \pm 1 \quad \cdots \text{①} \end{align*}$

与式が２次方程式であるためには、条件①を必ず満たす必要があります。解の種類を判別するとき、この条件①も加えることを忘れないようにしましょう。

与式の係数や定数項を判別式に代入して整理します。

問(2)の解答例 2⃣

$\begin{align*} &\quad \left(m^{\scriptsize{2}}-1 \right)x^{\scriptsize{2}}-\left(m+1 \right)x+1 = 0 \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad m \neq \pm 1 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\text{与式の判別式を $D$ とすると} \end{align*}$

$\begin{align*} \quad D &=\left\{-\left(m+1 \right) \right\}^{\scriptsize{2}}-4 \cdot \left(m^{\scriptsize{2}}-1 \right) \cdot 1 \\[ 7pt ] &= m^{\scriptsize{2}}+2m+1-4m^{\scriptsize{2}}+4 \\[ 7pt ] &= -3m^{\scriptsize{2}}+2m+5 \\[ 7pt ] &= -\left(3m^{\scriptsize{2}}-2m-5 \right) \\[ 7pt ] &= -\left(m+1 \right) \left(3m-5 \right) \end{align*}$

まず、２次方程式が異なる２つの実数解をもつときを考えます。

問(2)の解答例 3⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad m \neq \pm 1 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad = -\left(m+1 \right) \left(3m-5 \right) \\[ 7pt ] &D \gt 0 \ \text{となるのは} \\[ 5pt ] &\quad -\left(m+1 \right) \left(3m-5 \right) \gt 0 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad -1 \lt m \lt \frac{5}{3} \\[ 7pt ] &\text{のときで、これと①より} \\[ 5pt ] &\quad -1 \lt m \lt 1 \ , \ 1 \lt m \lt \frac{5}{3} \\[ 7pt ] &\text{のとき、与式は異なる $2$ つの} \\[ 5pt ] &\text{実数解をもつ。} \end{align*}$

与式が２次方程式であるために、条件①を考慮した範囲にしましょう。

次に、２次方程式が重解をもつときを考えます。

問(2)の解答例 4⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad m \neq \pm 1 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad = -\left(m+1 \right) \left(3m-5 \right) \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &D = 0 \ \text{となるのは} \\[ 5pt ] &\quad -\left(m+1 \right) \left(3m-5 \right) = 0 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad m = -1 \ , \ \frac{5}{3} \\[ 7pt ] &\text{のときで、これと①より} \\[ 5pt ] &\text{$m=-1$ は不適。} \\[ 5pt ] &\text{よって、$m = \frac{5}{3}$ のとき} \\[ 5pt ] &\text{与式は重解をもつ。} \end{align*}$

ここでも条件①を考慮します。ｍ＝－１のとき、与式は２次の項だけでなく、１次の項もなくなります。また、等式自体も成り立たないので、題意を満たしません。

最後に、２次方程式が異なる２つの虚数解をもつときを考えます。

問(2)の解答例 5⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad m \neq \pm 1 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad = -\left(m+1 \right) \left(3m-5 \right) \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &D \lt 0 \ \text{となるのは} \\[ 5pt ] &\quad -\left(m+1 \right) \left(3m-5 \right) \lt 0 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad m \lt -1 \ , \ \frac{5}{3} \lt m \\[ 7pt ] &\text{のときで、これは①を満たす。} \\[ 5pt ] &\text{よって、$m \lt -1 \ , \ \frac{5}{3} \lt m$ のとき} \\[ 5pt ] &\text{与式は異なる$2$ つの虚数解をもつ。} \end{align*}$

したがって

$-1 \lt m \lt 1 \ , \ 1 \lt m \lt \frac{5}{3}$ のとき、異なる $2$ つの実数解をもつ。

$m = \frac{5}{3}$ のとき、重解をもつ。

$m \lt -1 \ , \ \frac{5}{3} \lt m$ のとき、異なる $2$ つの虚数解をもつ。

ｍの値の範囲を確認すると、与式が２次方程式にはならない値（ｍ＝±１）を除くすべての実数について、解の種類が判別されていることが分かります。

与式が２次方程式でなくても良い場合

例題や問では、問題文に「２次方程式」という文言がありました。しかし、問題によっては、単に「方程式」となっていることがあります。

このような問題では、２次の項の係数に文字が含まれていれば、より注意が必要です。文字の値によっては、与式が２次方程式ではなく、１次方程式であることも考えられるからです。

与式が２次方程式である必要がないのであれば、２次の項の係数について場合分けすることから始めなければなりません。

与式が２次方程式である必要がない場合

２次の項の係数に文字が含まれる場合、次の２通りに場合分けする。

２次の項の係数=０のとき ⇒ 与式が１次方程式のとき（※方程式にならないときもある）
２次の項の係数≠０のとき ⇒ 与式が２次方程式のとき

問(2)の方程式を例にします。以下の記述は、問(2)の解答例1⃣の前に記述すると良いでしょう。

例）与式が２次方程式ではない場合

$\begin{align*} &\quad \left(m^{\scriptsize{2}}-1 \right)x^{\scriptsize{2}}-\left(m+1 \right)x+1 = 0 \\[ 7pt ] &\text{与式より} \\[ 5pt ] &\quad m^{\scriptsize{2}}-1=0 \\[ 7pt ] &\text{のとき} \\[ 5pt ] &\quad m = \pm 1 \\[ 7pt ] &m = 1 \ \text{のとき} \\[ 5pt ] &\quad -2x+1 = 0 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad x=\frac{1}{2} \\[ 7pt ] &\text{より、与式は $1$ つの実数解をもつ。} \\[ 5pt ] &m = -1 \ \text{のとき} \\[ 5pt ] &\quad 1 = 0 \\[ 7pt ] &\text{より、与式は方程式にならない。} \end{align*}$

１次方程式ならましですが、それどころか方程式でない場合もあります。慌てないようにしましょう。

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