２次関数｜２次不等式の解法について（応用編）

12/28/2022数学１

２次不等式を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問１の解答・解説

問１

次の $2$ 次不等式や連立不等式を解け。

\begin{align*} \quad x^{2}-4x+4 \gt 0 \end{align*}

解く前に確認しておくことが２つあります。

２次不等式を見たら確認しよう

２次の項の係数が正の数であるか
左辺が２次式で、右辺が０であるか

与式を見ると、２次の項の係数が正の数で、右辺が０になっています。これならすぐに解き始めることができます。

与式の左辺に注目すると、左辺を因数分解することができることに気付きます。

問１の解答例

与式の左辺を変形して

\begin{align*} \quad x^{2}-4x+4 &\gt 0 \\[ 7pt ] \quad \left( x-2 \right)^{2} &\gt 0 \end{align*}

左辺がカッコの２乗の形に因数分解できたので、グラフはｘ軸と接することが分かります。このとき、共有点は１個で、共有点（接点）のｘ座標は２です。

また、２次関数の値域は、２次不等式からｙ＞０であるので、これに対応するグラフと定義域を考えます。

値域ｙ＞０に対応するグラフは共有点を除いた部分です。このことから、２次不等式の解はｘ＝２以外のすべての実数になります。

２次不等式の解１⃣

$2$ 次不等式

\begin{align*} \quad a{\left( x – \alpha \right)}^{2} \gt 0 \quad ( a \gt 0 ) \end{align*}

の解は

\begin{align*} \quad x=\alpha \ \text{以外のすべての実数} \end{align*}

問１のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

問２の解答・解説

問２

次の $2$ 次不等式や連立不等式を解け。

\begin{align*} \quad x^{2}-4x+5 \lt 0 \end{align*}

与式を見ると、２次の項の係数が正の数で、右辺が０になっています。解く準備はできています。ただ、問１と異なるのは、左辺を因数分解できないことです。

因数分解できないので、「２次方程式を作って解の公式で解く・・・」としたいところです。しかし、２次方程式が実数解をもつか不明です。

このようなときは、２次方程式を作ったら判別式の値を調べてみましょう。

問２の解答例

\begin{align*} \quad x^{2}-4x+5 \lt 0 \end{align*}

与式より

\begin{align*} \quad x^{2}-4x+5 = 0 \end{align*}

の判別式を $D$ とすると

\begin{align*} \quad D &=\left(-4 \right)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 5 \\[ 7pt ] &= 16-20 \\[ 7pt ] &= -4 \\[ 7pt ] \therefore \ &D \lt 0 \end{align*}

判別式の値が負の数になったので、２次方程式は実数解をもちません。このような場合、解の公式を使っても２次方程式を解くことはできません。

なお、２次方程式が実数解をもたないので、グラフとｘ軸との共有点はありません。

判別式の値を調べたら、２次関数の値域を確認します。与式から値域はｙ＜０であるので、これに対応するグラフと定義域を考えます。

グラフを参考にすると、値域ｙ＜０に対応するグラフがないことが分かります。このことから、２次不等式の解は解なしになります。

２次不等式の解 7⃣

$2$ 次方程式

\begin{align*} \quad a{x}^{2}+bx+c = 0 \quad ( a \gt 0 ) \end{align*}

が実数解をもたないとき、$2$ 次不等式

\begin{align*} \quad a{x}^{2}+bx+c \lt 0 \end{align*}

の解は、解なし

問２のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。解答例では、左辺を平方完成して、実数の性質から解を求めています。

問３の解答・解説

問３

次の $2$ 次不等式や連立不等式を解け。

\begin{align*} \quad \begin{cases} {x}^{2}+x-2 \geqq 0 \\ {x}^{2}+x-6 \lt 0 \end{cases} \end{align*}

３問は２次不等式を連立した問題です。連立不等式の場合、加減法や代入法を使って解きません。それぞれの不等式を個別に解きます。

個別に求めた解の共通部分が連立不等式の解になります。連立方程式とは解法が異なるので注意しましょう。

個別に２次不等式を解くので、実質的には問１，２と変わりません。最後に２つの解の共通部分を探すところだけが異なります。

どちらの不等式の左辺も因数分解できます。共有点を２個もつ場合です。一気に解までもっていきましょう。

問３の解答例

\begin{align*} \quad \begin{cases} {x}^{2}+x-2 \geqq 0 \cdots \text{①} \\ {x}^{2}+x-6 \lt 0 \cdots \text{②} \end{cases} \end{align*}

①の左辺を変形して

\begin{align*} \quad x^{2}+x-2 &\geqq 0 \\[ 7pt ] \quad \left(x+2 \right)\left(x-1 \right) &\geqq 0 \end{align*}

よって、①の解は

\begin{align*} \quad x \leqq -2 \ , \ 1 \leqq x \end{align*}

②の左辺を変形して

\begin{align*} \quad x^{2}+x-6 &\lt 0 \\[ 7pt ] \quad \left(x+3 \right)\left(x-2 \right) &\lt 0 \end{align*}

よって、②の解は

\begin{align*} \quad -3 \lt x \lt 2 \end{align*}

したがって、連立不等式の解は

\begin{align*} \quad -3 \lt x \leqq -2 \ , \ 1 \leqq x \lt 2 \end{align*}

問３のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

数と式｜連立不等式について

実数解が得られるとは限らないことに注意しよう

今までは、「自分たちが扱っている範囲の数（たとえば整数）が解として得られる」ことが当たり前という感覚があったと思います。

しかし、高校数学になると、どんな数かイメージできない平方根をはじめ、実数の範囲にない数も考えなくてはならなくなります。

特に、２次方程式を扱う場合には、判別式の値を先に調べることが効果的です。

このような工夫を取り入れることで二度手間を回避することができます。そのためには、各単元とのつながりを意識して学習するのが大切だろうと思います。

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