積分法|定積分と区分求積法の関係について

07/01/2016数学3極限,定積分,区分求積法,積分法

区分求積法って、結構、いい加減!?

出題される区間での面積

\begin{equation*}
\int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right) dx } =\lim _{ n\to \infty }{ \frac { b-a }{ n } } \sum _{ k=1 }^{ n }{ f\left( a+\frac { b-a }{ n } k \right) }
\end{equation*}

上式について、特に出題される区間は、 $a=0 \ , \ b=1$ ( $0 \leqq x \leqq 1$ の区間)のときの区間です。このときの式は以下のようになります。

\begin{equation*}
\int _{ 0 }^{ 1 }{ f\left( x \right) dx } =\lim _{ n\to \infty }{ \frac { 1 }{ n } } \sum _{ k=1 }^{ n }{ f\left( \frac { k }{ n } \right) }
\end{equation*}

$0 \leqq x \leqq 1$ の区間を $n$ 等分すると、その区間には横幅の等しい長方形の短冊が横に $n$ 個並んだ状態になります。

このとき、短冊の横幅はどれも等しく、区間の長さは $1$ なので、それぞれ$1/n$です。

区間の長さは $1$ で、短冊の横幅は $1/n$。

定積分と極限を取った区分求積法との関係

また、縦の長さはグラフ上の点の $y$ 座標を使います。このとき、グラフの式に点の $x$ 座標を代入して求めます。

縦の長さについて注意点があります。図を見ると分かるように、短冊の作り方が2通りあることが分かります。

短冊の右上または左上の頂点がグラフ上の点になるように短冊を作れる。

どちらで短冊を作ったとしても、限りなく多くの短冊に分割するので結果は同じですが、和の取り方に違いが出てくるので注意が必要です。

$0 \leqq x \leqq 1$ の区間で $n$ 等分したとき、頂点の選び方によって、和において「$k=1 \ , \cdots , \ n$」のときと、「$k=0 \ , \cdots , \ n-1$」のときがある。左上の頂点がグラフ上にあれば「$k=0 \ , \cdots , \ n-1$」の式で、右上の頂点がグラフ上にあれば「$k=1 \ , \cdots , \ n$」の式。

各短冊の頂点の選び方で縦の長さが変わる

短冊の作り方に2通りありますが、そのとき、短冊の面積の和がどのように変わるのかを詳しく考えます。

短冊は、右上または左上の頂点がグラフ上にあるように作ります。

区分求積法で短冊の作り方の違い

このとき、各頂点の $x$ 座標は、 各短冊の横幅が $1/n$ であることを利用すると求めることができます。左から順に各頂点の $x$ 座標を並べてみると、右上のときと左上のときで異なることが分かります。

右上の頂点のときの $x$ 座標($0 \leqq x \leqq 1$ の区間)
\begin{equation*}
\frac { 1 }{ n } \ ,\ \frac { 2 }{ n } \ ,\ \frac { 3 }{ n } \ ,\ \cdots \ ,\ \frac { n }{ n }
\end{equation*}
左上の頂点のときの $x$ 座標($0 \leqq x \leqq 1$ の区間)
\begin{equation*}
\frac { 0 }{ n } \ ,\ \frac { 1 }{ n } \ ,\ \frac { 2 }{ n } \ ,\ \cdots \ ,\ \frac { n-1 }{ n }
\end{equation*}

これらの $x$ 座標をグラフの式に代入すると、頂点の $y$ 座標を得ることができます。この $y$ 座標が短冊の縦の長さになります。

左から順に各頂点の $y$ 座標を左から順に並べると以下のようになります。

右上の頂点のときの $y$ 座標($0 \leqq x \leqq 1$ の区間)
\begin{equation*}
f\left( \frac { 1 }{ n } \right) \ , \ f\left( \frac { 2 }{ n } \right) \ , \ f\left( \frac { 3 }{ n } \right) \ , \ \cdots \ , \ f\left( \frac { n }{ n } \right)
\end{equation*}
左上の頂点のときの $y$ 座標($0 \leqq x \leqq 1$ の区間)
\begin{equation*}
f\left( \frac { 0 }{ n } \right) \ , \ f\left( \frac { 1 }{ n } \right) \ , \ f\left( \frac { 2 }{ n } \right) \ , \ \cdots \ , \ f\left( \frac { n-1 }{ n } \right)
\end{equation*}

これらから、それぞれの短冊の面積は以下のようになります。

右上の頂点で作ったときの各短冊の面積($0 \leqq x \leqq 1$ の区間)
\begin{equation*}
\frac { 1 }{ n } \cdot f\left( \frac { 1 }{ n } \right) \ , \ \frac { 1 }{ n } \cdot f\left( \frac { 2 }{ n } \right) \ , \ \frac { 1 }{ n } \cdot f\left( \frac { 3 }{ n } \right) \ , \ \cdots \ , \ \frac { 1 }{ n } \cdot f\left( \frac { n }{ n } \right)
\end{equation*}
左上の頂点で作ったときの各短冊の面積($0 \leqq x \leqq 1$ の区間)
\begin{equation*}
\frac { 1 }{ n } \cdot f\left( \frac { 0 }{ n } \right) \ , \ \frac { 1 }{ n } \cdot f\left( \frac { 1 }{ n } \right) \ , \ \frac { 1 }{ n } \cdot f\left( \frac { 2 }{ n } \right) \ , \ \cdots \ , \ \frac { 1 }{ n } \cdot f\left( \frac { n-1 }{ n } \right)
\end{equation*}

さいごに各短冊の面積の和を取り、共通因数の $1/n$ でくくると以下のようになります。

右上の頂点で作ったときの面積の和($0 \leqq x \leqq 1$ の区間)
\begin{equation*}
\frac { 1 }{ n } \cdot \left\{ f\left( \frac { 1 }{ n } \right) + f\left( \frac { 2 }{ n } \right) + f\left( \frac { 3 }{ n } \right) + \ \cdots \ f\left( \frac { n }{ n } \right) \right\}
\end{equation*}
左上の頂点で作ったときの面積の和($0 \leqq x \leqq 1$ の区間)
\begin{equation*}
\frac { 1 }{ n } \cdot \left\{ f\left( \frac { 0 }{ n } \right) + f\left( \frac { 1 }{ n } \right) + f\left( \frac { 2 }{ n } \right) + \ \cdots \ f\left( \frac { n-1 }{ n } \right) \right\}
\end{equation*}

規則的に変化する数の和はΣ(シグマ)を使う

短冊の面積の和を何度も記述するのは面倒なので、各項が規則的に変化する場合はΣ(シグマ)を用いて表します。

各短冊の面積は、代入した $x$ 座標の分子が $0$ から $n-1$ または $1$ から $n$ の整数の並びになるように変化しています。

右上の頂点で作ったときの面積の和($0 \leqq x \leqq 1$ の区間)
\begin{equation*}
\frac { 1 }{ n } \cdot f\left( \frac { 1 }{ n } \right) \ + \ \frac { 1 }{ n } \cdot f\left( \frac { 2 }{ n } \right) \ + \ \frac { 1 }{ n } \cdot f\left( \frac { 3 }{ n } \right) \ + \ \cdots \ + \ \frac { 1 }{ n } \cdot f\left( \frac { n }{ n } \right)
\end{equation*}
左上の頂点で作ったときの面積の和($0 \leqq x \leqq 1$ の区間)
\begin{equation*}
\frac { 1 }{ n } \cdot f\left( \frac { 0 }{ n } \right) \ + \ \frac { 1 }{ n } \cdot f\left( \frac { 1 }{ n } \right) \ + \ \frac { 1 }{ n } \cdot f\left( \frac { 2 }{ n } \right) \ + \ \cdots \ + \ \frac { 1 }{ n } \cdot f\left( \frac { n-1 }{ n } \right)
\end{equation*}

この規則性が分かれば、$k$ 番目の短冊の面積は以下のように表せます。

$k$ 番目の短冊の面積
\begin{equation*}
\frac { 1 }{ n } \cdot f\left( \frac { k }{ n } \right)
\end{equation*}

あとは変数 $k$ がどの範囲で変わるのかに注意すれば、面積の和をΣ(シグマ)で表すことができます。Σ(シグマ)を使うと、すっきりした表記で済ますことができます。

右上の頂点で作ったときの面積の和($0 \leqq x \leqq 1$ の区間)
\begin{align*}
&\frac { 1 }{ n } \cdot f\left( \frac { 1 }{ n } \right) \ + \ \frac { 1 }{ n } \cdot f\left( \frac { 2 }{ n } \right) \ + \ \frac { 1 }{ n } \cdot f\left( \frac { 3 }{ n } \right) \ + \ \cdots \ + \ \frac { 1 }{ n } \cdot f\left( \frac { n }{ n } \right) \\[ 5pt ]
= \ &\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ n } \cdot f\left( \frac { k }{ n } \right) }
\end{align*}
左上の頂点で作ったときの面積の和($0 \leqq x \leqq 1$ の区間)
\begin{align*}
&\frac { 1 }{ n } \cdot f\left( \frac { 0 }{ n } \right) \ + \ \frac { 1 }{ n } \cdot f\left( \frac { 1 }{ n } \right) \ + \ \frac { 1 }{ n } \cdot f\left( \frac { 2 }{ n } \right) \ + \ \cdots \ + \ \frac { 1 }{ n } \cdot f\left( \frac { n-1 }{ n } \right) \\[ 5pt ]
= \ &\sum _{ k=0 }^{ n-1 }{ \frac { 1 }{ n } \cdot f\left( \frac { k }{ n } \right) }
\end{align*}
変数 $k$ の値が変化する範囲が、右上または左上の頂点で変わる。

次は、区分求積法を扱った問題を解いてみます。