数学２
２次方程式の解と判別式を扱った問題を解いてみよう
次の問題を解いてみましょう。
問１
\begin{align*}
&\text{次の $2$ 次方程式を解け。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad x^{\scriptsize{2}}+14x+67 = 0 \\[ 7pt ]
&(2) \quad -x^{\scriptsize{2}}+x-5 = 0 \\[ 7pt ]
&(3) \quad \left(2x-3 \right)^{\scriptsize{2}} = x^{\scriptsize{2}}-20
\end{align*}
解の公式を利用しますが、１次の項の係数に注目して使い分けましょう。
問１(1)の解答・解説
問１(1)
\begin{align*}
&\text{次の $2$ 次方程式を解け。} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}+14x+67 = 0
\end{align*}
１次の項の係数が偶数です。慣れないうちは代入ミスが多いので注意しましょう。
問１(1)の解答例
\begin{align*}
&\quad x^{\scriptsize{2}}+14x+67 = 0 \\[ 7pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}+2 \cdot 7x+67 = 0 \\[ 7pt ]
&\text{より}
\end{align*}
\begin{align*}
\quad x &= \frac{-7 \pm \sqrt{7^{\scriptsize{2}}-1 \cdot 67}}{1} \\[ 7pt ]
&= -7 \pm \sqrt{49-67} \\[ 7pt ]
&= -7 \pm \sqrt{-18} \\[ 7pt ]
&= -7 \pm \sqrt{18}i \\[ 7pt ]
&= -7 \pm 3\sqrt{2}i
\end{align*}
根号の中の値が負の数になってもそのまま計算します。虚数単位を用いて、複素数として表します。
問１(2)の解答・解説
問１(2)
\begin{align*}
&\text{次の $2$ 次方程式を解け。} \\[ 5pt ]
&\quad -x^{\scriptsize{2}}+x-5 = 0
\end{align*}
１次の項の係数が偶数ではないので、基本の公式を利用します。公式を利用する前に、２次の項の係数が負の数なので、正の数になるように与式を変形しておきます。
問１(2)の解答例
\begin{align*}
&\quad -x^{\scriptsize{2}}+x-5 = 0 \\[ 7pt ]
&\text{の両辺に $-1$ を掛けて} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}-x+5 = 0 \\[ 7pt ]
&\text{よって}
\end{align*}
\begin{align*}
\quad x &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^{\scriptsize{2}}-4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} \\[ 7pt ]
&= \frac{1 \pm \sqrt{1-20}}{2} \\[ 7pt ]
&= \frac{1 \pm \sqrt{-19}}{2} \\[ 7pt ]
&= \frac{1 \pm \sqrt{19}i}{2}
\end{align*}
２次方程式の解の場合、実部と虚部が分かるような複素数の表記にする必要はありません。対応する数を公式に代入して整理するだけです。
問１(3)の解答・解説
問１(3)
\begin{align*}
&\text{次の $2$ 次方程式を解け。} \\[ 5pt ]
&\quad \left(2x-3 \right)^{\scriptsize{2}} = x^{\scriptsize{2}}-20
\end{align*}
与式は、解の公式を利用できる形になっていません。まず、与式を展開して整理することから始めましょう。
問１(3)の解答例 1⃣
\begin{align*}
&\quad \left(2x-3 \right)^{\scriptsize{2}} = x^{\scriptsize{2}}-20 \\[ 7pt ]
&\text{を整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad 4x^{\scriptsize{2}}-12x+9 = x^{\scriptsize{2}}-20 \\[ 7pt ]
&\quad 3x^{\scriptsize{2}}-12x+29 = 0
\end{align*}
１次の項の係数が偶数であることに注目して、解を求めます。
問１(3)の解答例 2⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad 3x^{\scriptsize{2}}-12x+29 = 0 \\[ 7pt ]
&\quad 3x^{\scriptsize{2}}+2 \cdot (-6)x+29 = 0 \\[ 7pt ]
&\text{よって}
\end{align*}
\begin{align*}
\quad x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^{\scriptsize{2}}-3 \cdot 29}}{3} \\[ 7pt ]
&= \frac{6 \pm \sqrt{36-87}}{3} \\[ 7pt ]
&= \frac{6 \pm \sqrt{-51}}{3} \\[ 7pt ]
&= \frac{6 \pm \sqrt{51}i}{3}
\end{align*}
１次の項の係数が偶数のとき、もちろん基本の式でも解を求めることができます。
ただし、この場合、最後に必ず約分しなければならなくなります。それに加えて、大きな数を扱わなくてはならないので、計算も煩雑になりやすいです。
基本の公式に代入すると、以下のようになります。数が大きくなり、計算が面倒になることがよく分かります。最後の約分も見逃せません。
問１(3)の別解例
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad 3x^{\scriptsize{2}}-12x+29 = 0 \\[ 7pt ]
&\text{よって}
\end{align*}
\begin{align*}
\quad x &= \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^{\scriptsize{2}}-4 \cdot 3 \cdot 29}}{2 \cdot 3} \\[ 7pt ]
&= \frac{12 \pm \sqrt{144-348}}{6} \\[ 7pt ]
&= \frac{12 \pm \sqrt{-204}}{6} \\[ 7pt ]
&= \frac{12 \pm \sqrt{204}i}{6} \\[ 7pt ]
&= \frac{12 \pm \sqrt{4 \cdot 51}i}{6} \\[ 7pt ]
&= \frac{12 \pm 2\sqrt{51}i}{6} \\[ 7pt ]
&= \frac{6 \pm \sqrt{51}i}{3}
\end{align*}
大きな数を扱うと、暗算するのが難しくなります。解の公式を用いるときは、１次の項の係数に合わせて使い分けることが大切です。
次の問題を解いてみましょう。解の種類を判別する問題です。
問２
\begin{align*}
&\text{次の $2$ 次方程式の解の種類を判別せよ。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad 9x^{\scriptsize{2}}-24x+16 = 0 \\[ 7pt ]
&(2) \quad 9x^{\scriptsize{2}}+7x+2 = 0 \\[ 7pt ]
&(3) \quad 7x^{\scriptsize{2}}-27x-9=0
\end{align*}
解の種類の判別には、判別式を利用します。このとき、１次の項の係数を確認してからにしましょう。
問２(1)の解答・解説
問２(1)
\begin{align*}
&\text{次の $2$ 次方程式の解の種類を判別せよ。} \\[ 5pt ]
&\quad 9x^{\scriptsize{2}}-24x+16 = 0
\end{align*}
１次の項の係数が偶数です。代入ミスに気を付けましょう。
問２(1)の解答例
\begin{align*}
&\quad 9x^{\scriptsize{2}}-24x+16 = 0 \\[ 7pt ]
&\quad 9x^{\scriptsize{2}}+2 \cdot (-12)x+16 = 0 \\[ 7pt ]
&\text{与式の判別式を $D$ とおくと}
\end{align*}
\begin{align*}
\quad \frac{D}{4} &= \left(-12 \right)^{\scriptsize{2}}-9 \cdot 16 \\[ 7pt ]
&= 144 -144 \\[ 7pt ]
&= 0
\end{align*}
\begin{align*}
&D=0 \ \text{より、$2$ 次方程式は} \\[ 5pt ]
&\text{重解をもつ。}
\end{align*}
判別式の値が０となるのは、２次方程式が重解をもつときです。
問２(2)の解答・解説
問２(2)
\begin{align*}
&\text{次の $2$ 次方程式の解の種類を判別せよ。} \\[ 5pt ]
&\quad 9x^{\scriptsize{2}}+7x+2 = 0
\end{align*}
１次の項の係数が偶数ではありません。基本の式に代入して計算しましょう。
問２(2)の解答例
\begin{align*}
&\quad 9x^{\scriptsize{2}}+7x+2 = 0 \\[ 7pt ]
&\text{与式の判別式を $D$ とおくと}
\end{align*}
\begin{align*}
\quad D &= 7^{\scriptsize{2}}-4 \cdot 9 \cdot 2 \\[ 7pt ]
&= 49 -72 \\[ 7pt ]
&= -23 \lt 0
\end{align*}
\begin{align*}
&D \lt 0 \ \text{より、$2$ 次方程式は} \\[ 5pt ]
&\text{異なる $2$ つの虚数解をもつ。}
\end{align*}
これまでのように、「実数解をもたない」ではなく、「異なる２つの虚数解をもつ」としなければなりません。
問２(3)の解答・解説
問２(3)
\begin{align*}
&\text{次の $2$ 次方程式の解の種類を判別せよ。} \\[ 5pt ]
&\quad 7x^{\scriptsize{2}}-27x-9=0
\end{align*}
１次の項の係数が偶数ではありません。基本の式に代入して計算しましょう。
問２(3)の解答例
\begin{align*}
&\quad 7x^{\scriptsize{2}}-27x-9=0 \\[ 7pt ]
&\text{与式の判別式を $D$ とおくと}
\end{align*}
\begin{align*}
\quad D &= \left(-27 \right)^{\scriptsize{2}}-4 \cdot 7 \cdot \left( -9 \right) \\[ 7pt ]
&= 27^{\scriptsize{2}}+4 \cdot 7 \cdot 9 \gt 0
\end{align*}
\begin{align*}
&D \gt 0 \ \text{より、$2$ 次方程式は} \\[ 5pt ]
&\text{異なる $2$ つの実数解をもつ。}
\end{align*}
判別式の値が正の数になることは明らかです。判別式の値の正負が分かれば良いので、最後まで計算しなくても構いません。気になるようであれば、最後まで計算しましょう。
１次の項の係数によって、解の公式や判別式を使い分けできると余裕を持てます。演習をこなしてしっかりマスターしましょう。
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さいごにもう一度まとめ
- 解の公式は、平方完成を利用して導出される。
- 判別式は、２次方程式の解の種類を判別するための式。
- 判別式は、解の公式にある根号の中の式。
- 解の公式や判別式は、１次の項の係数が偶数かどうかで使い分けよう。
