複素数と方程式｜ｘ，ｙに関する２次式の因数分解について

05/24/2021数学２

今回は、ｘ，ｙに関する２次式の因数分解について学習しましょう。２次式を因数分解するとき、乗法公式を利用した因数分解が難しい２次式が出てきます。

特に、文字が２種類もあると、因数分解の難易度は高くなります。この単元も応用的な内容になるので、じっくり腰を据えて取り組みましょう。

２次式の因数分解

２次式を因数分解するとき、文字が何種類あったとしても、基本は２次方程式にしてしまうことです。そのことは、少し前の単元で学習した事柄から分かります。

２次式を２次方程式にすると、文字がｘだけの１種類であれば、普段からよく扱っている１元２次方程式となります。それに対して、文字がｘ，ｙの２種類であれば、２元２次方程式となります。

このような方程式の解を求めれば、２次式の因数が分かるので、それをもとに２次式を因数分解できます。

１元２次方程式であれば、慣れているので容易に因数分解できるでしょう。それに対して、２元２次方程式であれば、少し戸惑うかもしれません。そうは言っても、このような式の扱い方については、すでに数１で学習しています。

２元２次方程式の因数分解

実際に例題を扱いながらの方が分かりやすいので、次の例題を考えてみましょう。

与式は、２種類の文字ｘ，ｙを含む２次式です。この与式をいくつかの１次式に分解します。

例題の解答・解説

まず、与式の２次式をｘについての２次方程式にします。

文字が複数あるので、特定の文字に注目しましょう。ここでは、ｘについての２次方程式と考えて、降べきの順に整理します。

ｘについての２次方程式と考えて、この方程式の解を求めます。そうすれば、方程式の左辺、すなわち与式を因数分解できます。

ここで、解の公式で解を求める前に、２次方程式の判別式を求めておきます。

判別式を求めた理由は、解の公式を思い浮かべると分かります。

解の公式において、根号の中の式は判別式で表せます。

例題の２次方程式の解を判別式なしで求める場合、かなり煩雑な式変形になります。これだけが理由ではないのですが、先に根号の中の判別式を求めておいた方が、答案を記述しやすくなることは確かです。

判別式が分かったので、①式の解を求めて与式を因数分解します。

例題では与式を因数分解する必要がないので、記述しなくても構いません。ただし、問題によっては「因数分解の結果を示せ」と指示されることがあります。そのときは記述しておくと良いでしょう。

さて、これで与式を１次式の積で表せたと思うかもしれませんが、そうでもありません。問題は解の次数です。果たして１次式でしょうか。

根号部分を見ると、その中に判別式があります。この判別式はｙについての２次式です。根号の中にあるせいで、正直、解の次数がよくわからない状態です。

解の次数をはっきりさせるためには、根号がなくなればすべて丸く収まります。

根号がなくなるのは、中の数や式が平方の形で表されるときです。ですから、ｙの２次式（判別式）を含む根号部分が、１次式であるための条件は以下のようになります。

先に判別式を求めたのは、解が１次式になるための条件について言及するためでもあります。これを踏まえて、解答例の続きを記述します。

判別式を求めるとき、意外と大きい数を扱うので、工夫する必要があります。共通因数（ここでは８１）でくくっておくと、小さな数を扱うことができるので、計算ミスを減らせます。

ｙの２次式が完全平方式となるのは、ｙについての２次方程式が重解をもつときです。言い換えると、判別式の値が０となるときです。

このことを利用して、定数ｋについての方程式を導き、定数ｋの値を求めます。

だいぶ長くなったので、流れを整理しておきましょう。

判別式が２回出てくるので混乱しないように気を付けましょう。２次方程式と判別式は１対１の関係なので、対応関係をしっかり押さえましょう。

次は、ｘ，ｙに関する２次式の因数分解を扱った問題を実際に解いてみましょう。