複素数と方程式｜ｘ，ｙに関する２次式の因数分解について

05/24/2021数学２

今回は、ｘ，ｙに関する２次式の因数分解について学習しましょう。２次式を因数分解するとき、乗法公式を利用した因数分解が難しい２次式が出てきます。

特に、文字が２種類もあると、因数分解の難易度は高くなります。この単元も応用的な内容になるので、じっくり腰を据えて取り組みましょう。

２次式の因数分解

２次式を因数分解するとき、文字が何種類あったとしても、基本は２次方程式にしてしまうことです。そのことは、少し前の単元で学習した事柄から分かります。

２次方程式の左辺の因数分解

$\begin{align*} &\text{$2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0 \\[ 7pt ] &\text{の $2$ つの解を} \\[ 5pt ] &\quad \alpha \ , \ \beta \\[ 7pt ] &\text{とする。} \\[ 5pt ] &\text{このとき、$2$ 次方程式の左辺は} \\[ 5pt ] &\quad ax^{\scriptsize{2}}+bx+c = a \left(x-\alpha \right) \left(x-\beta \right) \\[ 7pt ] &\text{と因数分解できる。} \end{align*}$

２次式を２次方程式にすると、文字がｘだけの１種類であれば、普段からよく扱っている１元２次方程式となります。それに対して、文字がｘ，ｙの２種類であれば、２元２次方程式となります。

このような方程式の解を求めれば、２次式の因数が分かるので、それをもとに２次式を因数分解できます。

１元２次方程式であれば、慣れているので容易に因数分解できるでしょう。それに対して、２元２次方程式であれば、少し戸惑うかもしれません。そうは言っても、このような式の扱い方については、すでに数１で学習しています。

２元２次方程式の因数分解

実際に例題を扱いながらの方が分かりやすいので、次の例題を考えてみましょう。

例題

$4x^{\scriptsize{2}}+7xy-2y^{\scriptsize{2}}-5x+8y+k$ が $x \ , \ y$ の $1$ 次式の積に分解できるように、定数 $k$ の値を定めよ。

与式は、２種類の文字ｘ，ｙを含む２次式です。この与式をいくつかの１次式に分解します。

例題の解答・解説

まず、与式の２次式をｘについての２次方程式にします。

例題の解答例 1⃣

$\begin{align*} &\text{与式から} \\[ 5pt ] &\quad 4x^{\scriptsize{2}}+7xy-2y^{\scriptsize{2}}-5x+8y+k=0 \\[ 7pt ] &\text{とおいた方程式を $x$ についての $2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\text{と考えて} \\[ 5pt ] &\quad 4x^{\scriptsize{2}}+\left(7y-5 \right)x- \left(2y^{\scriptsize{2}}-8y-k \right)=0 \quad \cdots \text{①} \end{align*}$

文字が複数あるので、特定の文字に注目しましょう。ここでは、ｘについての２次方程式と考えて、降べきの順に整理します。

文字が複数あるときは、特定の文字に注目した方程式として扱おう。

ｘについての２次方程式と考えて、この方程式の解を求めます。そうすれば、方程式の左辺、すなわち与式を因数分解できます。

ここで、解の公式で解を求める前に、２次方程式の判別式を求めておきます。

例題の解答例 2⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 4x^{\scriptsize{2}}+\left(7y-5 \right)x- \left(2y^{\scriptsize{2}}-8y-k \right)=0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\text{ここで、①の判別式を $D_{1}$ とすると、} \\[ 5pt ] &\quad D_{1}=\left(7y-5 \right)^{\scriptsize{2}}-4 \cdot 4 \cdot \left\{ -\left(2y^{\scriptsize{2}}-8y-k \right) \right\} \\[ 7pt ] &\text{これを整理すると} \\[ 5pt ] &\quad D_{1}=81y^{\scriptsize{2}}-198y+25-16k \end{align*}$

判別式を求めた理由は、解の公式を思い浮かべると分かります。

解の公式

$\begin{align*} &\text{$ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ の解は、解の公式より} \\[ 5pt ] &\quad x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{\scriptsize{2}}-4ac}}{2a} \\[ 7pt ] &\text{ここで、判別式を $D$ とすると} \\[ 5pt ] &\quad D=b^{\scriptsize{2}}-4ac \\[ 7pt ] &\text{であるので、解は} \\[ 5pt ] &\quad x=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\[ 7pt ] &\text{と表せる。} \end{align*}$

解の公式において、根号の中の式は判別式で表せます。

例題の２次方程式の解を判別式なしで求める場合、かなり煩雑な式変形になります。これだけが理由ではないのですが、先に根号の中の判別式を求めておいた方が、答案を記述しやすくなることは確かです。

判別式が分かったので、①式の解を求めて与式を因数分解します。

例題の解答例 3⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 4x^{\scriptsize{2}}+\left(7y-5 \right)x- \left(2y^{\scriptsize{2}}-8y-k \right)=0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad D_{1}=81y^{\scriptsize{2}}-198y+25-16k \\[ 7pt ] &\text{よって、①の解は} \\[ 5pt ] &\quad x=\frac{-\left(7y-5 \right) \pm \sqrt{D_{1}}}{8} \\[ 7pt ] &\text{であるので、与式は} \\[ 5pt ] &\quad ( \ \text{与式} \ ) = 4\left\{ x- \frac{-\left(7y-5 \right) – \sqrt{D_{1}}}{8} \right\} \left\{ x- \frac{-\left(7y-5 \right) + \sqrt{D_{1}}}{8} \right\} \\[ 7pt ] &\text{と変形できる。} \end{align*}$

例題では与式を因数分解する必要がないので、記述しなくても構いません。ただし、問題によっては「因数分解の結果を示せ」と指示されることがあります。そのときは記述しておくと良いでしょう。

さて、これで与式を１次式の積で表せたと思うかもしれませんが、そうでもありません。問題は解の次数です。果たして１次式でしょうか。

根号部分を見ると、その中に判別式があります。この判別式はｙについての２次式です。根号の中にあるせいで、正直、解の次数がよくわからない状態です。

解の次数をはっきりさせるためには、根号がなくなればすべて丸く収まります。

根号がなくなるのは、中の数や式が平方の形で表されるときです。ですから、ｙの２次式（判別式）を含む根号部分が、１次式であるための条件は以下のようになります。

ｙの２次式Ｄ₁について

$\begin{align*} &\text{与式を因数分解した後の因数が $x \ , \ y$ の $1$ 次式となるためには} \\[ 5pt ] &\quad \text{$\sqrt{D_{1}}$ が $y$ の $1$ 次式} \\[ 5pt ] &\qquad \Leftrightarrow \ \text{$D_{1}$ の $y$ の $2$ 次式が完全平方式} \\[ 7pt ] &\text{が成り立てばよい。} \\[ 5pt ] &\text{したがって、$D_{1}$ の $y$ の $2$ 次式が完全平方式となるのは、} \\[ 5pt ] &\quad \text{$D_{1}=0$ すなわち ( $y$ の $2$ 次式) $=0$ が重解をもつとき} \\[ 7pt ] &\text{である。} \end{align*}$

先に判別式を求めたのは、解が１次式になるための条件について言及するためでもあります。これを踏まえて、解答例の続きを記述します。

例題の解答例 4⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad D_{1}=81y^{\scriptsize{2}}-198y+25-16k \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\text{与式が $x$ と $y$ の $1$ 次式の積に分解されるための} \\[ 5pt ] &\text{必要十分条件は、①の解が $y$ の $1$ 次式となること、} \\[ 5pt ] &\text{すなわち $D_{1}$ が $y$ の完全平方式となることである。} \\[ 5pt ] &\text{このとき、$D_{1}=0$ とおいた $y$ の $2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad 81y^{\scriptsize{2}}-198y+25-16k=0 \\[ 7pt ] &\text{の判別式を $D_{2}$ とすると} \\[ 5pt ] &\quad \frac{D_{2}}{4} = \left(-99 \right)^{\scriptsize{2}}-81 \left(25-16k \right) \\[ 7pt ] &\text{これを整理すると} \\[ 5pt ] &\quad \frac{D_{2}}{4} = 81 \left\{11^{\scriptsize{2}}-\left(25-16k \right) \right\} \\[ 7pt ] &\text{より} \\[ 5pt ] &\quad \frac{D_{2}}{4} = 81 \left(96+16k \right) \end{align*}$

判別式を求めるとき、意外と大きい数を扱うので、工夫する必要があります。共通因数（ここでは８１）でくくっておくと、小さな数を扱うことができるので、計算ミスを減らせます。

ｙの２次式が完全平方式となるのは、ｙについての２次方程式が重解をもつときです。言い換えると、判別式の値が０となるときです。

このことを利用して、定数ｋについての方程式を導き、定数ｋの値を求めます。

例題の解答例 5⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \frac{D_{2}}{4} = 81 \left(96+16k \right) \\[ 7pt ] &\text{$D_{2}=0$ となればよいので} \\[ 5pt ] &\quad 81 \left(96+16k \right)=0 \\[ 7pt ] &\text{これを解くと} \\[ 5pt ] &\quad k=-6 \end{align*}$

だいぶ長くなったので、流れを整理しておきましょう。

文字ｘ，ｙを含む２次式を１次式の積で表す

ｘについての２次方程式を作る。
２次方程式の解を求める。
解がｙについての１次式となるためには、根号の中の判別式Ｄ₁が完全平方式となればよい。
判別式Ｄ₁＝０とおいて、ｙについての２次方程式を作る。
３の条件を満たすのは、ｙについての２次方程式が重解をもつ、すなわち判別式Ｄ₂の値が０となるとき。
判別式Ｄ₂＝０から定数ｋについての方程式を導く。
方程式を解いて、定数ｋの値を求める。

判別式が２回出てくるので混乱しないように気を付けましょう。２次方程式と判別式は１対１の関係なので、対応関係をしっかり押さえましょう。

次は、ｘ，ｙに関する２次式の因数分解を扱った問題を実際に解いてみましょう。

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Posted by kiri

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