数学２
今回は二項定理について学習しましょう。二項定理は展開に関する定理です。この定理で扱う式は少し長く、計算ミスや記述ミスが起こりやすいので、記述試験でよく出題されます。
一見して複雑に感じるかもしれませんが、規則性に注目しながら頑張って覚えましょう。
二項定理について
二項定理は、二項からなる式を展開したときに成り立つ定理です。以下のような式が成り立ちます。
二項定理
\begin{align*}
( a+b )^{\scriptsize{n}} &= {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} \ a^{\scriptsize{n}} + {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}} \ a^{\scriptsize{n-1}} \ b + {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ a^{\scriptsize{n-2}} \ b^{\scriptsize{2}} + \cdots \\[ 7pt ]
&\qquad \cdots + \underline{ {}_n \mathrm{ C }_r \ a^{\scriptsize{n-r}} \ b^{\scriptsize{r}} } + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n \ b^{\scriptsize{n}}
\end{align*}
二項式ａ＋ｂのｎ乗と、その展開式の間に成り立つ関係を表したものが二項定理です。
特に、この展開公式のｒ＋１番目の項を展開式における一般項と言います。
二項定理の一般項
\begin{align*}
&\text{$r+1$ 番目の項は} \\[ 5pt ]
&\quad {}_n \mathrm{ C }_r \ a^{\scriptsize{n-r}} \ b^{\scriptsize{r}} \\[ 7pt ]
&\text{と表され、これを一般項と言う。}
\end{align*}
また、各項における係数のことを二項係数と言います。
二項定理の二項係数
\begin{equation*}
\quad {}_n \mathrm{ C }_r \quad ( r=0 \ , \ 1 \ , \ 2 \ , \cdots \cdots , n )
\end{equation*}
次は二項定理の式がどのようにして導出されるのかを考えてみまよう。
二項定理の式
２次式の展開で仕組みを理解する
二項定理の式を導出する前に、２次式の展開を観察してみましょう。
ここでの２次式の展開とは、２つの項からなる式を２乗したときの展開のことです。また、展開には分配法則を使います。
２次式の展開
\begin{align*}
(a+b)^{\scriptsize{2}} &= (a+b)(a+b) \\[ 5pt ]
&= a(a+b) +b(a+b) \\[ 5pt ]
&= a^{\scriptsize{2}} +ab +ab +b^{\scriptsize{2}} \\[ 5pt ]
&= a^{\scriptsize{2}} +2ab +b^{\scriptsize{2}}
\end{align*}
２次式の展開の様子を見ると、分配法則では、それぞれのカッコの中から項を選んで乗算しています。ですから、展開後にできる項は、カッコの中の項の選び方（組合せ方）で決まると言えます。
展開の仕組み カッコが２個あることから、ａとｂは２個ずつあります。２個ずつあるａ，ｂから２個だけ選んで項を作ります。
このときに注意したいのは、ａとｂのどちらか一方を選ぶ個数を決めてしまえば、他方の個数が自動的に決まるということです。ですから、ａとｂのどちらかに注目すれば、展開後の項の個数を求めることができます。
２次式の展開で言えば、項の選び方は３通りあります。
２個ずつあるａ，ｂの選び方
- ２個のａから２個を選ぶ（＝２個のｂから０個を選ぶ）
- ２個のａから１個を選ぶ（＝２個のｂから１個を選ぶ)
- ２個のａから０個を選ぶ（＝２個のｂから２個を選ぶ)
この仕組みから、展開後にできる項の個数は、ａとｂの組合せの総数に等しいことが分かります。
展開後の各項の個数と係数の関係
$2$ 個の $a$ から $2$ 個を選ぶことは、$2$ 個の $b$ から $0$ 個を選ぶことに等しいので、$a^{\scriptsize{2}}$ は
\begin{equation*}
\quad {}_{\scriptsize{2}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} = {}_{\scriptsize{2}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} = 1 \ \text{個}
\end{equation*}
$2$ 個の $a$ から $1$ 個を選ぶことは、$2$ 個の $b$ から $1$ 個を選ぶことに等しいので、$ab$ は
\begin{equation*}
\quad {}_{\scriptsize{2}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}} = 2 \ \text{個}
\end{equation*}
$2$ 個の $a$ から $0$ 個を選ぶことは、$2$ 個の $b$ から $2$ 個を選ぶことに等しいので、$b^{\scriptsize{2}}$ は
\begin{equation*}
\quad {}_{\scriptsize{2}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} = {}_{\scriptsize{2}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} = 1 \ \text{個}
\end{equation*}
展開後の各項の個数が分かったので、展開後の式は以下のようにして表せます。
各項の個数に注目して展開
各項の個数を $b$ の選び方に注目して展開すると
\begin{align*}
&\quad (a+b)^{\scriptsize{2}} = a^{\scriptsize{2}} \times {}_{\scriptsize{2}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} +ab \times {}_{\scriptsize{2}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}} +b^{\scriptsize{2}} \times {}_{\scriptsize{2}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ]
&\text{よって}
\end{align*}
\begin{align*}
\quad (a+b)^{\scriptsize{2}} &= a^{\scriptsize{2}} \times 1 +ab \times 2 +b^{\scriptsize{2}} \times 1 \\[ 7pt ]
&= a^{\scriptsize{2}} +2ab +b^{\scriptsize{2}}
\end{align*}
項の係数は、展開後にできる項の何個を表すことが分かります。
二項定理の仕組み 二項定理の式を導出する
２次式の展開で仕組みが分かれば、ｎ乗の展開であっても同じです。カッコがｎ個あるので、ａとｂはそれぞれｎ個ずつあります。
展開後の項の個数は、それぞれ以下のようになります。二項定理では、ｂの選び方の総数が用いられています。
二項定理における各項の個数と係数の関係
\begin{align*}
&\text{$n$ 個の $b$ から $0$ 個を選ぶと} \\[ 5pt ]
&\quad \text{$a^{\scriptsize{n}}$ が ${}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}}$ 個} \\[ 10pt ]
&\text{$n$ 個の $b$ から $1$ 個を選ぶと} \\[ 5pt ]
&\quad \text{$a^{\scriptsize{n-1}} \ b$ が ${}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}}$ 個} \\[ 10pt ]
&\text{$n$ 個の $b$ から $2$ 個を選ぶと} \\[ 5pt ]
&\quad \text{$a^{\scriptsize{n-2}} \ b^{\scriptsize{2}}$ が ${}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}}$ 個} \\[ 5pt ]
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\text{$n$ 個の $b$ から $r$ 個を選ぶと} \\[ 5pt ]
&\quad \text{$a^{\scriptsize{n-r}} \ b^{\scriptsize{r}}$ が ${}_n \mathrm{ C }_r$ 個} \\[ 10pt ]
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\text{$n$ 個の $b$ から $n$ 個を選ぶと} \\[ 5pt ]
&\quad \text{$b^{\scriptsize{n}}$ が ${}_n \mathrm{ C }_n$ 個}
\end{align*}
各項の個数が分かりました。これらが各項の係数、つまり二項係数となります。
各項に個数を乗算して和を求めると、二項定理の式を導出することができます。
二項定理の式の導出
\begin{align*}
\quad ( a+b )^{\scriptsize{n}} &= a^{\scriptsize{n}} \times {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} + a^{\scriptsize{n-1}} \ b \times {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}} + a^{\scriptsize{n-2}} \ b^{\scriptsize{2}} \times {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} + \\[ 7pt ]
&\quad \cdots + a^{\scriptsize{n-r}} \ b^{\scriptsize{r}} \times {}_n \mathrm{ C }_r + \cdots + b^{\scriptsize{n}} \times {}_n \mathrm{ C }_n \\[ 7pt ]
\therefore \ ( a+b )^{\scriptsize{n}} &= {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} \ a^{\scriptsize{n}} + {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}} \ a^{\scriptsize{n-1}} \ b + {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ a^{\scriptsize{n-2}} \ b^{\scriptsize{2}} + \\[ 7pt ]
&\quad \cdots + {}_n \mathrm{ C }_r \ a^{\scriptsize{n-r}} \ b^{\scriptsize{r}} + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n \ b^{\scriptsize{n}}
\end{align*}
右辺を覚えるのが大変だと感じるかもしれませんが、そうでもありません。組合せの数はｂの選び方なので、Ｃの右下の数字とｂの指数とが対応しています。
数字が１つずつ増えていく箇所と、１つずつ減っていく箇所に注意すれば、規則性があることに気付くはずです。
導出の過程を知っているので、単なる暗記に比べると覚えやすいのは確かです。
しかし、数学では知識を道具として使えることに比重が置かれます。ですから、演習をこなし、実際に使いながら覚えていく方が効率的です。
二項定理の式を理解するには、組合せについての知識も必要です。
組合せの総数とその性質
\begin{align*}
{}_n \mathrm{ C }_r &= \frac{n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1)}{r(r-1)(r-2) \cdots \cdot 2 \cdot 1} \\[ 10pt ]
&= \frac{n!}{r! \ (n-r)!}
\end{align*}
\begin{align*}
&\text{ただし} \\[ 5pt ]
&\quad n! = n(n-1)(n-2) \cdots \cdot 2 \cdot 1 \\[ 7pt ]
&\quad 0! = 1 \\[ 7pt ]
&\quad {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} = {}_n \mathrm{ C }_n = 1 \\[ 7pt ]
&\quad {}_n \mathrm{ C }_r = {}_n \mathrm{ C }_{n-r} \\[ 7pt ]
&\quad {}_n \mathrm{ C }_r = {}_{n-{\scriptsize{1}}} \mathrm{ C }_{r-{\scriptsize{1}}} + {}_{n-{\scriptsize{1}}} \mathrm{ C }_r
\end{align*}
次は、二項定理を扱った問題を実際に解いてみましょう。
