式と証明｜二項定理について
目次
二項定理を扱った問題を解いてみよう
次の問題を解いてみましょう。
問１
\begin{align*}
&\text{次の式を展開せよ。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad (a+b)^{\scriptsize{5}} \\[ 7pt ]
&(2) \quad (3a-2b)^{\scriptsize{4}}
\end{align*}
問１は、４次式以上の展開なので、二項定理を利用する問題です。もちろん、２次式や３次式の展開公式を利用することはできます。
しかし、分配法則による展開や同類項の整理なども必要なので、二項定理による展開よりも大変です。式を覚えるまでに時間が掛るかもしれませんが、二項定理を積極的に利用しましょう。
問１(1)の解答・解説
問１(1)
\begin{align*}
&\text{次の式を展開せよ。} \\[ 5pt ]
&\quad (a+b)^{\scriptsize{5}}
\end{align*}
問１(1)は５次式の展開です。二項定理を利用して与式を展開します。
二項定理の式を与式のそば（たとえば与式の上）に記述し、対応関係を把握しましょう。見ながらでも良いですが、自分の手を動かして書くことが早く覚えるコツです。
与式と二項定理の式を見比べると、ｎ＝５のときです。また、二項係数は以下のようになります。
問１(1)の解答例 1⃣
\begin{align*}
&\text{二項係数は、$r=0 \ , \ 1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \ 4 \ , \ 5$ のときで} \\[ 5pt ]
&\quad {}_{\scriptsize{5}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} \ , \ {}_{\scriptsize{5}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}} \ , \ {}_{\scriptsize{5}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ , \ {}_{\scriptsize{5}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{3}} \ , \ {}_{\scriptsize{5}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{4}} \ , \ {}_{\scriptsize{5}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{5}} \\[ 7pt ]
&\text{となる。}
\end{align*}
これらが展開後の式の係数になります。ここでは、二項係数を書き出しましたが、係数を求める問題以外でわざわざ書き出す必要はありません。
二項定理の式に当てはめると以下のようになります。
問１(1)の解答例 2⃣
\begin{align*}
( a+b )^{\scriptsize{n}} &= {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} \ a^{\scriptsize{n}} + {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}} \ a^{\scriptsize{n-1}} \ b + {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ a^{\scriptsize{n-2}} \ b^{\scriptsize{2}} + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_r \ a^{\scriptsize{n-r}} \ b^{\scriptsize{r}} + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n \ b^{\scriptsize{n}} \\[ 7pt ]
(1) \quad (a+b)^{\scriptsize{5}} &= {}_{\scriptsize{5}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} \ a^{\scriptsize{5}} + {}_{\scriptsize{5}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}} \ a^{\scriptsize{4}} \ b + {}_{\scriptsize{5}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ a^{\scriptsize{3}} \ b^{\scriptsize{2}} + {}_{\scriptsize{5}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{3}} \ a^{\scriptsize{2}} \ b^{\scriptsize{3}} + {}_{\scriptsize{5}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{4}} \ a^{\scriptsize{1}} \ b^{\scriptsize{4}} + {}_{\scriptsize{5}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{5}} \ b^{\scriptsize{5}}
\end{align*}
二項定理の式を見ながら、対応箇所（ｎとｒの値）を置き換えていきます。公式は途中の項が省略されていますが、式通りに覚えることを優先してそのまま書きましょう。
二項定理を使うときは以下をチェックしよう
５次式 (ａ＋ｂ)5 を二項定理を使って展開したとき
- 二項式の前の項ａの指数は、１つずつ減って５から０になっているか
- 二項式の後ろの項ｂの指数は、１つずつ増えて０から５になっているか
- Ｃの左下の数字は、展開前の指数５になっているか
- Ｃの右下の数字は、ｂの指数と対応しているか
- 各項の指数は、合わせて５になっているか
対応箇所が全て置き換わったので、あとは各項を整理していきます。公式を使う利点は、機械的に処理できることなので、その利点を最大限に活用しましょう。
問１(1)の解答例 3⃣
\begin{align*}
( a+b )^{\scriptsize{n}} &= {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} \ a^{\scriptsize{n}} + {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}} \ a^{\scriptsize{n-1}} \ b + {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ a^{\scriptsize{n-2}} \ b^{\scriptsize{2}} + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_r \ a^{\scriptsize{n-r}} \ b^{\scriptsize{r}} + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n \ b^{\scriptsize{n}} \\[ 7pt ]
(a+b)^{\scriptsize{5}} &= {}_{\scriptsize{5}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} \ a^{\scriptsize{5}} + {}_{\scriptsize{5}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}} \ a^{\scriptsize{4}} \ b + {}_{\scriptsize{5}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ a^{\scriptsize{3}} \ b^{\scriptsize{2}} + {}_{\scriptsize{5}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{3}} \ a^{\scriptsize{2}} \ b^{\scriptsize{3}} + {}_{\scriptsize{5}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{4}} \ a^{\scriptsize{1}} \ b^{\scriptsize{4}} + {}_{\scriptsize{5}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{5}} \ b^{\scriptsize{5}} \\[ 7pt ]
&= 1 \cdot a^{\scriptsize{5}} + 5 \cdot a^{\scriptsize{4}} \ b + 10 \cdot a^{\scriptsize{3}} \ b^{\scriptsize{2}} + 10 \cdot a^{\scriptsize{2}} \ b^{\scriptsize{3}} + 5 \cdot a^{\scriptsize{1}} \ b^{\scriptsize{4}} + 1 \cdot b^{\scriptsize{5}} \\[ 7pt ]
\therefore \ (a+b)^{\scriptsize{5}} &= a^{\scriptsize{5}} + 5a^{\scriptsize{4}} \ b + 10a^{\scriptsize{3}} \ b^{\scriptsize{2}} + 10a^{\scriptsize{2}} \ b^{\scriptsize{3}} + 5a^{\scriptsize{1}} \ b^{\scriptsize{4}} + b^{\scriptsize{5}}
\end{align*}
問１(1)のように、二項式ａ＋ｂの各項がともに１次の項であれば、展開後の各項の次数はどれも５次になります（５次式の展開の場合）。このことを知っていれば、各項の指数を間違えることも減るでしょう。
また、各項の係数については、パスカルの三角形を利用して求めることもできます。
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問１(2)の解答・解説
問１(2)
\begin{align*}
&\text{次の式を展開せよ。} \\[ 5pt ]
&\quad (3a-2b)^{\scriptsize{4}}
\end{align*}
問１(2)は、４次式を展開する問題です。ここでも二項定理を利用しましょう。(1)と異なるのは、二項式の各項の係数が１ではないことです。
展開前の各項の係数が１でない場合、二項係数は組合せの総数だけではないことに注意しましょう。このような場合には、一般項を使って係数を調べると良いでしょう。
与式の係数
\begin{align*}
&\text{二項定理の一般項} \\[ 5pt ]
&\quad {}_n \mathrm{ C }_r \ a^{\scriptsize{n-r}} \ b^{\scriptsize{r}} \\[ 10pt ]
&\text{において、$a$ を $3a$ に、$b$ を $-2b$ に置き換えれば良い。} \\[ 5pt ]
&\text{$n=4$ のとき、与式の一般項は} \\[ 5pt ]
&\quad {}_{\scriptsize{4}} \mathrm{ C }_r \ \left(3a \right)^{\scriptsize{4-r}} \cdot \left(-2b \right)^{\scriptsize{r}} = {}_{\scriptsize{4}} \mathrm{ C }_r \cdot 3^{\scriptsize{4-r}} \cdot \left(-2 \right)^{\scriptsize{r}} \cdot a^{\scriptsize{4-r}} \cdot b^{\scriptsize{r}} \\[ 7pt ]
&\text{と表せる。よって、係数は} \\[ 5pt ]
&\quad {}_{\scriptsize{4}} \mathrm{ C }_r \cdot 3^{\scriptsize{4-r}} \cdot (-2)^{\scriptsize{r}}
\end{align*}
係数には、組合せの総数以外も含まれていることが分かります。
また、一般項を利用するとき、指数法則の知識が必要です。指数法則は、どの単元でもよく使われる法則なので、しっかり使えるようにしておきましょう。
公式との対応関係を把握してから与式を展開します。
問１(2)の解答例 1⃣
\begin{align*}
( a+b )^{\scriptsize{n}} &= {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} \ a^{\scriptsize{n}} + {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}} \ a^{\scriptsize{n-1}} \ b + {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ a^{\scriptsize{n-2}} \ b^{\scriptsize{2}} + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_r \ a^{\scriptsize{n-r}} \ b^{\scriptsize{r}} + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n \ b^{\scriptsize{n}} \\[ 7pt ]
\left(3a-2b \right)^{\scriptsize{4}} &= {}_{\scriptsize{4}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} \ \left(3a \right)^{\scriptsize{4}} + {}_{\scriptsize{4}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}} \ \left(3a \right)^{\scriptsize{3}} \left(-2b \right) + {}_{\scriptsize{4}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ \left(3a \right)^{\scriptsize{2}} \left(-2b \right)^{\scriptsize{2}} + {}_{\scriptsize{4}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{3}} \ \left(3a \right) \left(-2b \right)^{\scriptsize{3}} + {}_{\scriptsize{4}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{4}} \ \left(-2b \right)^{\scriptsize{4}}
\end{align*}
対応箇所を全て置き換えたら、置き換えにミスがないか確認しましょう。前の項ａの指数だけを確認、後ろの項のｂの指数だけを確認……というように１つずつ調べましょう。
無事に置き換えできていれば、各項をそれぞれ整理します。
問１(2)の解答例 2⃣
\begin{align*}
( a+b )^{\scriptsize{n}} &= {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} \ a^{\scriptsize{n}} + {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}} \ a^{\scriptsize{n-1}} \ b + {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ a^{\scriptsize{n-2}} \ b^{\scriptsize{2}} + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_r \ a^{\scriptsize{n-r}} \ b^{\scriptsize{r}} + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n \ b^{\scriptsize{n}} \\[ 7pt ]
\left(3a-2b \right)^{\scriptsize{4}} &= {}_{\scriptsize{4}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} \ \left(3a \right)^{\scriptsize{4}} + {}_{\scriptsize{4}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}} \ \left(3a \right)^{\scriptsize{3}} \left(-2b \right) + {}_{\scriptsize{4}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ \left(3a \right)^{\scriptsize{2}} \left(-2b \right)^{\scriptsize{2}} + {}_{\scriptsize{4}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{3}} \ \left(3a \right) \left(-2b \right)^{\scriptsize{3}} + {}_{\scriptsize{4}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{4}} \ \left(-2b \right)^{\scriptsize{4}} \\[ 7pt ]
&= 1 \cdot 81a^{\scriptsize{4}} + 4 \cdot 27a^{\scriptsize{3}} \cdot (-2b) + 6 \cdot 9a^{\scriptsize{2}} \cdot 4b^{\scriptsize{2}} + 4 \cdot 3a \cdot (-8b^{\scriptsize{3}}) + 1 \cdot 16b^{\scriptsize{4}} \\[ 7pt ]
&= 81a^{\scriptsize{4}} -216a^{\scriptsize{3}} b + 216a^{\scriptsize{2}} b^{\scriptsize{2}} -96ab^{\scriptsize{3}} + 16b^{\scriptsize{4}} \\[ 7pt ]
\therefore \ (3a-2b)^{\scriptsize{4}} &= 81a^{\scriptsize{4}} -216a^{\scriptsize{3}} b + 216a^{\scriptsize{2}} b^{\scriptsize{2}} -96ab^{\scriptsize{3}} + 16b^{\scriptsize{4}}
\end{align*}
一遍に計算する必要はありません。たとえば、累乗の計算の後に、係数を整理するというように、ミスの出ない計算をしましょう。
また、よく間違えるのが係数の扱いです。
二項式の係数が１でなければ、その係数も２乗したり、３乗したりしなければなりません。そうなると、展開後の計算は意外と多くなります。計算過程をしっかり記述しないと、計算ミスしやすいので注意しましょう。
次の問題を解いてみましょう。
問２の解答・解説
問２
\begin{align*}
&\text{次の展開式における[ ]内に示した項の係数を求めよ。} \\[ 5pt ]
&\quad \left(2x-3y \right)^{\scriptsize{7}} \quad \left[ \ x^{\scriptsize{4}} y^{\scriptsize{3}} \ \right]
\end{align*}
問２は、展開後の式において、特定の項の係数を求める問題です。このような問題では、一般項を利用します。
問２の解答例
\begin{align*}
&\text{二項定理の一般項} \\[ 5pt ]
&\quad {}_n \mathrm{ C }_r \ a^{\scriptsize{n-r}} \ b^{\scriptsize{r}} \\[ 10pt ]
&\text{において、$a$ を $2x$ に、$b$ を $-3y$ に置き換えれば良い。} \\[ 5pt ]
&\text{$n=7$ のとき、与式の一般項は} \\[ 5pt ]
&\quad {}_{\scriptsize{7}} \mathrm{ C }_r \ \left(2x \right)^{{\scriptsize{7}}-r} \cdot \left(-3y \right)^{r} \\[ 7pt ]
&\text{と表せる。}
\end{align*}
この一般項を、係数が分かるように整理します。このとき、指数法則を利用します。
問２の解答例 2⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad {}_{\scriptsize{7}} \mathrm{ C }_r \ \left(2x \right)^{{\scriptsize{7}}-r} \cdot \left(-3y \right)^{r} \\[ 7pt ]
&\text{これを整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad {}_{\scriptsize{7}} \mathrm{ C }_r \ \left(2x \right)^{{\scriptsize{7}}-r} \cdot \left(-3y \right)^{r} = {}_{\scriptsize{7}} \mathrm{ C }_r \cdot 2^{{\scriptsize{7}}-r} \cdot \left(-3 \right)^{\scriptsize{r}} \cdot x^{{\scriptsize{7}}-r} \cdot y^{r} \\[ 7pt ]
&\text{よって、一般項の係数は} \\[ 5pt ]
&\quad {}_{\scriptsize{7}} \mathrm{ C }_r \cdot 2^{{\scriptsize{7}}-r} \cdot (-3)^{r}
\end{align*}
展開前の各項の係数が１でなければ、公式通りの二項係数ではなく、展開前の各項の係数も含まれます。また、係数を求めるとき、一般項をきちんと整理しておかないと、計算ミスが多くなります。
一般項から指定した項の係数を求めます。ここでは項が指定されているので、ｒの値を決めなくてはなりません。そこで、文字の指数を見比べて、ｒの値を求めます。
問２の解答例 3⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad {}_{\scriptsize{7}} \mathrm{ C }_r \cdot 2^{{\scriptsize{7}}-r} \cdot (-3)^{r} \\[ 7pt ]
&\text{また} \\[ 5pt ]
&\quad x^{{\scriptsize{7}}-r} \ y^{r} \\[ 7pt ]
&\text{が $x^{\scriptsize{4}}y^{\scriptsize{3}}$ の項となるのは} \\[ 5pt ]
&\quad r=3 \\[ 7pt ]
&\text{のときである。} \\[ 5pt ]
&\text{よって、求める係数は} \\[ 5pt ]
&\quad {}_{\scriptsize{7}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{3}} \cdot 2^{\scriptsize{4}} \cdot (-3)^{\scriptsize{3}} \\[ 7pt ]
&= 35 \cdot 16 \cdot (-27) \\[ 7pt ]
&= -15120 \\[ 5pt ]
\end{align*}
問２は記述形式の試験でよく出題されます。二項式の係数が１以外の場合、展開後の係数に注意しましょう。
計算ミスしやすいので、演習をこなして慣れておきましょう。
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さいごにもう一度まとめ
- 二項定理の式は、組合せの総数を利用して表される。
- 定理の式との対応関係を正しく把握しよう。
- 係数の扱いに気をつけよう。
- ４次式以上の展開では二項定理を利用しよう。