場合の数｜場合の数について
和の法則や積の法則を扱った問題を解いてみよう
次の問題を考えてみましょう。
問１の解答・解説
問１
$100$ 円、$50$ 円、$10$ 円の硬貨がそれぞれ $5$ 枚ずつある。これらを用いて $300$ 円の支払い方は何通りあるか。
１００円硬貨の枚数に注目して、枚数の組合せを漏れなく重複なく書き出します。ただし、それぞれの硬貨は５枚が上限です。
問１の解答例 1⃣
$100$ 円の枚数に注目して、枚数の組合せを考える。
組合せを表にまとめると以下のようになる。
\begin{align*} \begin{array}{c|ccc} {\scriptsize \text{硬貨}} & 100 & 50 & 10 \\ \hline {\scriptsize \text{事柄 $A$}} & 3 & 0 & 0 \\ \hline {\scriptsize \text{事柄 $B$}} & 2 & 2 & 0 \\ & 2 & 1 & 5 \\ \hline {\scriptsize \text{事柄 $C$}} & 1 & 4 & 0 \\ & 1 & 3 & 5 \\ \hline {\scriptsize \text{事柄 $D$}} & 0 & 5 & 5 \end{array} \end{align*}１００円硬貨の枚数は、３，２，１，０枚の４通り考えられます。これらは同時に起こらない事柄なので、樹形図であれば、独立した樹が４つできます。
それぞれの樹の枝数は、１００円硬貨の枚数によって変わるので、すべてが同じ枝数の樹になりません。積の法則が使えないので、和の法則を使って場合の数を求めます。
問１の解答例 2⃣
$100$ 円の枚数に注目して、枚数の組合せを考える。
組合せを表にまとめると以下のようになる。
\begin{align*} \begin{array}{c|ccc} {\scriptsize \text{硬貨}} & 100 & 50 & 10 \\ \hline {\scriptsize \text{事柄 $A$}} & 3 & 0 & 0 \\ \hline {\scriptsize \text{事柄 $B$}} & 2 & 2 & 0 \\ & 2 & 1 & 5 \\ \hline {\scriptsize \text{事柄 $C$}} & 1 & 4 & 0 \\ & 1 & 3 & 5 \\ \hline {\scriptsize \text{事柄 $D$}} & 0 & 5 & 5 \end{array} \end{align*}表より、$100$ 円の枚数が $3$ 枚になる組合せは $1$ 通り、$2$ 枚になる組合せは $2$ 通り、$1$ 枚になる組合せは $2$ 通り、$0$ 枚になる組合せは $1$ 通りある。
したがって、求める場合の数は和の法則より
\begin{align*} \quad 1+2+2+1=6 \ \text{（通り）} \end{align*}樹形図を利用した解答例は以下のようになります。
「硬貨を用いて～円にする」という問題では、硬貨の枚数の組合せを樹形図で表します。このとき、独立した樹が複数できます。
枝の数がどの樹も同じであれば積の法則を利用しますが、本問のように異なれば和の法則を利用して場合の数を求めます。
硬貨の枚数の組合せは、和の法則を利用して求める。樹形図を描くと、独立した樹（同時に起こらない複数の事柄）が複数できる。
問２の解答・解説
問２
大小 $2$ 個のサイコロを投げたとき、目の和が $5$ の倍数になるのは、何通りあるか。
目の和が５の倍数になるのは、和が５，１０になるときです。サイコロ（大）の目に注目して順序良く組合せを書き出します。
問２の解答例 1⃣
目の和が $5$ の倍数になるのは、和が $5 \ , \ 10$ になるとき。
このとき、大のサイコロに注目した出目の組合せを考える。
組合せを表にまとめると以下のようになる。
\begin{align*} \begin{array}{c|cc} {\tiny \text{サイコロ}} & {\tiny \text{大}} & {\tiny \text{小}} \\ \hline {\scriptsize \text{事柄 $1$}} & 1 & 4 \\ \hline {\scriptsize \text{事柄 $2$}} & 2 & 3 \\ \hline {\scriptsize \text{事柄 $3$}} & 3 & 2 \\ \hline {\scriptsize \text{事柄 $4$}} & 4 & 1 \\ & 4 & 6 \\ \hline {\scriptsize \text{事柄 $5$}} & 5 & 5 \\ \hline {\scriptsize \text{事柄 $6$}} & 6 & 4 \end{array} \end{align*}上の表では、大サイコロの目に注目したので、大サイコロの目のぶんだけ事柄（６つ）があります。樹形図であれば、樹が６つできるはずです。
大サイコロの出目は１～６の６通りありますが、これらは同時に起こりません。和の法則を利用して場合の数を求めます。
問２の解答例 2⃣
目の和が $5$ の倍数になるのは、和が $5 \ , \ 10$ になるとき。
このとき、大のサイコロに注目した出目の組合せを考える。
組合せを表にまとめると以下のようになる。
\begin{align*} \begin{array}{c|cc} {\tiny \text{サイコロ}} & {\tiny \text{大}} & {\tiny \text{小}} \\ \hline {\scriptsize \text{事柄 $1$}} & 1 & 4 \\ \hline {\scriptsize \text{事柄 $2$}} & 2 & 3 \\ \hline {\scriptsize \text{事柄 $3$}} & 3 & 2 \\ \hline {\scriptsize \text{事柄 $4$}} & 4 & 1 \\ & 4 & 6 \\ \hline {\scriptsize \text{事柄 $5$}} & 5 & 5 \\ \hline {\scriptsize \text{事柄 $6$}} & 6 & 4 \end{array} \end{align*}表より、求める場合の数は和の法則より
\begin{align*} \quad 1+1+1+2+1+1=7 \ \text{（通り）} \end{align*}大サイコロの出目を事柄にしましたが、これに対して、目の和を事柄として考えることもできます。この場合、目の和が５の場合と１０の場合の２つの事柄になります。
どちらの考え方でも構いませんが、視点が変われば事柄の数が変わるので注意しましょう。
サイコロを扱った問題では、目の組合せよりも、目の和や積などが必要になることが多いです。このような場合、一覧表にまとめた方が分かりやすくなります。
サイコロの出目の和
\begin{align*} \begin{array}{c|cccccc} {\tiny \text{小}} \ \backslash \ {\tiny \text{大}} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \end{array} \end{align*}縦と横に大小のサイコロの目を書き、表の中には目の和を書き込んでいきます。目の和を調べるので、目の組合せだけでは足りません。ですから、今回は樹形図よりも一覧表の方が適しています。
表を見ると５または１０が全部で７個あるので、５の倍数になる目の組合せは７通りになります。
一覧表を利用した解答例は以下のようになります。
サイコロを扱った問題では、目の組合せ自体が必要であれば樹形図だけも足りるでしょう。しかし、目の和や積であれば、樹形図よりも一覧表の方が使い勝手が良いでしょう。
コインを扱った問題では、樹形図よりも表を利用しよう。表を使うとき、場合の数は、和の法則や積の法則を利用せずに数え上げるだけ。
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さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう
- 場合の数を調べるときは、樹形図を書く習慣を。
- 事柄の関係に応じて、和の法則や積の法則を使い分けよう。
- 樹が複数できたら、和の法則を利用しよう。
- 複数の樹の枝が同じ数であれば、積の法則を利用しよう。
- サイコロの問題では表も活用しよう。