図形と方程式｜円と直線の共有点の座標について
円と直線の共有点の座標を扱った問題を解いてみよう
次の問題を解いてみましょう。
問
次の円と直線に共有点はあるか。あるときは、その点の座標を求めよ。
$(1) \ x^{2}+y^{2}=1 \ , \ x-y=1$
$(2) \ x^{2}+y^{2}=4 \ , \ x+y=3$
$(3) \ x^{2}+y^{2}=2 \ , \ 2x-y=1$
$(4) \ x^{2}+y^{2}=5 \ , \ x-2y=5$
問(1)の解答・解説
問(1)
次の円と直線に共有点はあるか。あるときは、その点の座標を求めよ。
$x^{2}+y^{2}=1 \ , \ x-y=1$
作図は以下の通りです。図から共有点は２個ありそうです。
例題と同じ要領で解きましょう。円と直線の方程式を連立させて解きます。
問(1)の解答例 1⃣
\begin{align*} &\quad x^{2}+y^{2}=1 \ \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad x-y=1 \ \cdots \text{②} \end{align*}とする。②より
\begin{align*} \quad y=x-1 \ \cdots \text{③} \end{align*}③を①に代入して整理すると
\begin{align*} &\quad x^{2}+\left( x-1 \right)^{2}=1 \\[ 7pt ] &\quad 2x^{2}-2x+1=1 \\[ 7pt ] &\quad x^{2}-x=0 \\[ 7pt ] &\quad x \left( x-1 \right)=0 \end{align*}これを解くと
\begin{align*} \quad x=0 \ , \ 1 \end{align*}実数解が２個なので、共有点は２個あります。
得られた実数解を③式にそれぞれ代入して、共有点のｙ座標を求めます。
問(1)の解答例 2⃣
\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad y=x-1 \ \cdots \text{③} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad x=0 \ , \ 1 \end{align*}これを③に代入すると
$x=0$ のとき
\begin{align*} \quad y=-1 \end{align*}$x=1$ のとき
\begin{align*} \quad y=0 \end{align*}よって、円と直線は
\begin{align*} \quad ( 0 \ , \ -1 ) \ , \ ( 1 \ , \ 0 ) \end{align*}の $2$ 点で交わる。
作図の段階で共有点の座標が分かることはほとんどないので、共有点の個数が予測できれば良いでしょう。
２次方程式が異なる２つの実数解をもてば、共有点は２個
問(2)の解答・解説
問(2)
次の円と直線に共有点はあるか。あるときは、その点の座標を求めよ。
$x^{2}+y^{2}=4 \ , \ x+y=3$
作図は以下の通りです。図から円と直線が共有点をもたない可能性があります。
円と直線の方程式を連立させて解きます。異なる式に同じ番号を振ることは基本的にしませんが、ここでは便宜上、同じ番号を使うので注意しましょう。
問(2)の解答例 1⃣
\begin{align*} &\quad x^{2}+y^{2}=4 \ \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad x+y=3 \ \cdots \text{②} \end{align*}とする。②より
\begin{align*} \quad y=-x+3 \ \cdots \text{③} \end{align*}③を①に代入して整理すると
\begin{align*} &\quad x^{2}+\left( -x+3 \right)^{2}=4 \\[ 7pt ] &\quad 2x^{2}-6x^{2}+9=4 \\[ 7pt ] &\quad 2x^{2}-6x+5=0 \end{align*}実数解の有無を調べるために、２次方程式の判別式の値を確認します。
問(2)の解答例 2⃣
\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 2x^{2}-6x+5=0 \end{align*}この $2$ 次方程式の判別式を $D$ とすると
\begin{align*} \quad \frac{D}{4} &=(-3)^{2}-2 \cdot 5 \\[ 7pt ] &= -1 \lt 0 \end{align*}よって、円と直線は共有点をもたない。
２次方程式は実数解をもたないので、作図は間違っていなかったようです。
２次方程式が実数解をもたなければ、共有点はなし
問(3)の解答・解説
問(3)
次の円と直線に共有点はあるか。あるときは、その点の座標を求めよ。
$x^{2}+y^{2}=2 \ , \ 2x-y=1$
作図は以下の通りです。図から共有点は第１象限と第３象限にできそうです。
円と直線の方程式を連立させて解きます。
問(3)の解答例 1⃣
\begin{align*} &\quad x^{2}+y^{2}=2 \ \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad 2x-y=1 \ \cdots \text{②} \end{align*}とする。②より
\begin{align*} \quad y=2x-1 \ \cdots \text{③} \end{align*}③を①に代入して整理すると
\begin{align*} &\quad x^{2}+\left( 2x-1 \right)^{2}=2 \\[ 7pt ] &\quad 5x^{2}-4x+1=2 \\[ 7pt ] &\quad 5x^{2}-4x-1=0 \\[ 7pt ] &\quad \left( 5x+1 \right)\left( x-1 \right)=0 \end{align*}これを解くと
\begin{align*} \quad x=-\frac{1}{5} \ , \ 1 \end{align*}実数解が２個なので、共有点は２個あります。
得られた実数解を③式にそれぞれ代入して、共有点のｙ座標を求めます。
問(3)の解答例 2⃣
\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad y=2x-1 \ \cdots \text{③} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad x=-\frac{1}{5} \ , \ 1 \end{align*}これを③に代入すると
$x=-\frac{1}{5}$ のとき
\begin{align*} \quad y=-\frac{7}{5} \end{align*}$x=1$ のとき
\begin{align*} \quad y=1 \end{align*}よって、円と直線は
\begin{align*} \quad \left( -\frac{1}{5} \ , \ -\frac{7}{5} \right) \ , \ ( 1 \ , \ 1 ) \end{align*}の $2$ 点で交わる。
２次方程式が異なる２つの実数解をもてば、共有点は２個
問(4)の解答・解説
問(4)
次の円と直線に共有点はあるか。あるときは、その点の座標を求めよ。
$x^{2}+y^{2}=5 \ , \ x-2y=5$
作図は以下の通りです。図から円と直線が接する可能性があります。
円と直線の方程式を連立させて解きます。代入する式を工夫しましょう。
問(4)の解答例 1⃣
\begin{align*} &\quad x^{2}+y^{2}=5 \ \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad x-2y=5 \ \cdots \text{②} \end{align*}とする。②より
\begin{align*} \quad x=2y+5 \ \cdots \text{③} \end{align*}③を①に代入して整理すると
\begin{align*} &\quad \left( 2y+5 \right)^{2}+y^{2}=5 \\[ 7pt ] &\quad 5y^{2}+20y+25=5 \\[ 7pt ] &\quad y^{2}+4y+4=0 \\[ 5pt ] &\quad \left( y+2 \right)^{2}=0 \end{align*}これを解くと
\begin{align*} \quad y=-2 \ \text{（重解）} \end{align*}②式を文字ｙについて変形すると、分数が出てきます。そうすると、代入後の式変形が難しくなり、計算ミスを起こしやすくなります。計算ミスを防ぐために、文字ｘについて変形して代入します。
代入法は文字の種類を減らすのが目的。消去するのが必ず文字ｙである理由はない。
得られた実数解を③式に代入して、共有点のｘ座標を求めます。
問(4)の解答例 2⃣
\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad x=2y+5 \ \cdots \text{③} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad y=-2 \ \text{（重解）} \end{align*}これを③に代入すると
\begin{align*} \quad x=1 \end{align*}よって、円と直線は
\begin{align*} \quad ( 1 \ , \ -2 ) \end{align*}で接する。
２次方程式が重解をもてば、共有点は１個（接する）
円や直線など複数のグラフを扱う場合、共有点の座標を求めることが多いです。
直接的に「共有点の座標を求めよ」と指示されなかったとしても、ほとんどの場合、設問を解く上で共有点の情報が必要になります。
グラフの方程式や点の座標を求めることはこの分野では必須なので、きちんとマスターしておきましょう。
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さいごにもう一度まとめ
- 円と直線の共有点の座標は、連立方程式の実数解。
- 連立方程式から代入法で２次方程式を導こう。
- ｘ，ｙのいずれかについての２次方程式であれば良い。
- 作図して円と直線の位置関係を把握しよう。
- 共有点がなさそうなら、２次方程式の判別式の値を調べよう。
- 判別式の値が負であれば、共有点はない。