図形と方程式|円と直線の共有点の座標について

数学2

図形と方程式 円、円と直線、2つの円

円と直線の共有点の座標を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

次の円と直線に共有点はあるか。
あるときは、その点の座標を求めよ。
(1) $x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}=1 \ , \ x-y=1$
(2) $x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}=4 \ , \ x+y=3$
(3) $x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}=2 \ , \ 2x-y=1$
(4) $x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}=5 \ , \ x-2y=5$

問(1)の解答・解説

問(1)

次の円と直線に共有点はあるか。
あるときは、その点の座標を求めよ。
(1) $x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}=1 \ , \ x-y=1$

作図は以下の通りです。図から共有点は2個ありそうです。

円と直線の共有点の座標 問(1)の図
問(1)の図

例題と同じ要領で解きましょう。円と直線の方程式を連立させて解きます。

問(1)の解答例 1⃣

\begin{align*} &\quad x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}=1 \ \cdots \text{①} \\[ 5pt ] &\quad x-y=1 \ \cdots \text{②} \\[ 5pt ] &\text{とする。②より} \\[ 5pt ] &\quad y=x-1 \ \cdots \text{③} \\[ 5pt ] &\text{③を①に代入して整理すると} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+\left( x-1 \right)^{\scriptsize{2}}=1 \\[ 5pt ] &\quad 2x^{\scriptsize{2}}-2x+1=1 \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-x=0 \\[ 5pt ] &\quad x \left( x-1 \right)=0 \\[ 5pt ] &\text{これを解くと} \\[ 5pt ] &\quad x=0 \ , \ 1 \end{align*}

実数解が2個なので、共有点は2個あります。得られた実数解を③式にそれぞれ代入して、共有点のy座標を求めます。

問(1)の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\quad x=0 \ , \ 1 \\[ 5pt ] &\text{これを③に代入すると} \\[ 5pt ] &\quad x=0 \ \text{のとき} \ y=-1 \\[ 5pt ] &\quad x=1 \ \text{のとき} \ y=0 \\[ 5pt ] &\text{よって、円と直線は} \\[ 5pt ] &\quad ( 0 \ , \ -1 ) \ , \ ( 1 \ , \ 0 ) \\[ 5pt ] &\text{の2点で交わる。} \end{align*}

作図の段階で共有点の座標が分かることはほとんどないので、共有点の個数が予測できれば良いでしょう。

問(2)の解答・解説

問(2)

次の円と直線に共有点はあるか。
あるときは、その点の座標を求めよ。
(2) $x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}=4 \ , \ x+y=3$

作図は以下の通りです。図から円と直線が共有点をもたない可能性があります。

円と直線の共有点の座標 問(2)の図
問(2)の図

円と直線の方程式を連立させて解きます。

問(2)の解答例 1⃣

\begin{align*} &\quad x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}=4 \ \cdots \text{①} \\[ 5pt ] &\quad x+y=3 \ \cdots \text{②} \\[ 5pt ] &\text{とする。②より} \\[ 5pt ] &\quad y=-x+3 \ \cdots \text{③} \\[ 5pt ] &\text{③を①に代入して整理すると} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+\left( -x+3 \right)^{\scriptsize{2}}=4 \\[ 5pt ] &\quad 2x^{\scriptsize{2}}-6x^{\scriptsize{2}}+9=4 \\[ 5pt ] &\quad 2x^{\scriptsize{2}}-6x+5=0 \end{align*}

実数解の有無を調べるために、2次方程式の判別式の値を確認します。

問(2)の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\quad 2x^{\scriptsize{2}}-6x+5=0 \\[ 5pt ] &\text{この2次方程式の判別式をDすると} \\[ 5pt ] &\quad \frac{D}{4}=(-3)^{\scriptsize{2}}-2 \cdot 5 \\[ 5pt ] &\quad \therefore \quad \frac{D}{4}=-1 \lt 0 \\[ 5pt ] &\text{よって、円と直線は共有点をもたない。} \end{align*}

2次方程式は実数解をもたないので、作図は間違っていなかったようです。

問(3)の解答・解説

問(3)

次の円と直線に共有点はあるか。
あるときは、その点の座標を求めよ。
(3) $x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}=2 \ , \ 2x-y=1$

作図は以下の通りです。図から共有点は第1象限と第3象限にできそうです。

円と直線の共有点の座標 問(3)の図
問(3)の図

円と直線の方程式を連立させて解きます。

問(3)の解答例 1⃣

\begin{align*} &\quad x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}=2 \ \cdots \text{①} \\[ 5pt ] &\quad 2x-y=1 \ \cdots \text{②} \\[ 5pt ] &\text{とする。②より} \\[ 5pt ] &\quad y=2x-1 \ \cdots \text{③} \\[ 5pt ] &\text{③を①に代入して整理すると} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+\left( 2x-1 \right)^{\scriptsize{2}}=2 \\[ 5pt ] &\quad 5x^{\scriptsize{2}}-4x+1=2 \\[ 5pt ] &\quad 5x^{\scriptsize{2}}-4x-1=0 \\[ 5pt ] &\quad ( 5x+1 )( x-1 )=0 \\[ 5pt ] &\text{これを解くと} \\[ 5pt ] &\quad x=-\frac{1}{5} \ , \ 1 \end{align*}

実数解が2個なので、共有点は2個あります。得られた実数解を③式にそれぞれ代入して、共有点のy座標を求めます。

問(3)の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\quad x=-\frac{1}{5} \ , \ 1 \\[ 5pt ] &\text{これを③に代入すると} \\[ 5pt ] &\quad x=-\frac{1}{5} \ \text{のとき} \ y=-\frac{7}{5} \\[ 5pt ] &\quad x=1 \ \text{のとき} \ y=1 \\[ 5pt ] &\text{よって、円と直線は} \\[ 5pt ] &\quad \left( -\frac{1}{5} \ , \ -\frac{7}{5} \right) \ , \ ( 1 \ , \ 1 ) \\[ 5pt ] &\text{の2点で交わる。} \end{align*}

問(4)の解答・解説

問(4)

次の円と直線に共有点はあるか。
あるときは、その点の座標を求めよ。
(4) $x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}=5 \ , \ x-2y=5$

作図は以下の通りです。図から円と直線が接する可能性があります。

円と直線の共有点の座標 問(4)の図
問(4)の図

円と直線の方程式を連立させて解きます。代入する式を工夫しましょう。

問(4)の解答例 1⃣

\begin{align*} &\quad x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}=5 \ \cdots \text{①} \\[ 5pt ] &\quad x-2y=5 \ \cdots \text{②} \\[ 5pt ] &\text{とする。②より} \\[ 5pt ] &\quad x=2y+5 \ \cdots \text{③} \\[ 5pt ] &\text{③を①に代入して整理すると} \\[ 5pt ] &\quad \left( 2y+5 \right)^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}=5 \\[ 5pt ] &\quad 5y^{\scriptsize{2}}+20y+25=5 \\[ 5pt ] &\quad y^{\scriptsize{2}}+4y+4=0 \\[ 5pt ] &\quad ( y+2 )^{\scriptsize{2}}=0 \\[ 5pt ] &\text{これを解くと} \\[ 5pt ] &\quad y=-2 \ \text{(重解)} \end{align*}

②式を文字yについて変形すると、分数が出てきます。そうすると、代入後の式変形が難しくなり、計算ミスを起こしやすくなります。計算ミスを防ぐために、文字xについて変形して代入します。

代入法は文字の種類を減らすのが目的。消去するのが必ず文字yである理由はない。

得られた実数解を③式に代入して、共有点のx座標を求めます。

問(4)の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\quad y=-2 \ \text{(重解)} \\[ 5pt ] &\text{これを③に代入すると} \\[ 5pt ] &\quad x=1 \\[ 5pt ] &\text{よって、円と直線は} \\[ 5pt ] &\quad ( 1 \ , \ -2 ) \\[ 5pt ] &\text{で接する。} \end{align*}

円や直線など複数のグラフを扱う場合、共有点の座標を求めることが多いです。直接的に「共有点の座標を求めよ」と指示されなかったとしても、ほとんどの場合で必要になります。グラフの方程式や点の座標を求めることはこの分野では必須なので、きちんとマスターしておきましょう。

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さいごにもう一度まとめ

  • 円と直線の共有点の座標は、連立方程式の実数解。
  • 連立方程式から代入法で2次方程式を導こう。
  • x,yのいずれかについての2次方程式であれば良い。
  • 作図して円と直線の位置関係を把握しよう。
  • 共有点がなさそうなら、2次方程式の判別式の値を調べよう。
  • 判別式の値が負であれば、共有点はない。