図形と方程式｜円の方程式の基本形と一般形について

問

次の円の方程式を求めよ。

$(1)$ 中心が $(3 \ , \ -4)$ で原点を通る円

$(2)$ 中心が $(1 \ , \ 2)$ で、$x$ 軸に接する円

$(3)$ $2$ 点 $(1 \ , \ 4) \ , \ (5 \ , \ 6)$ を直径の両端とする円

$(4)$ $2$ 点 $(2 \ , \ 1) \ , \ (1 \ , \ 2)$ を通り、中心が $x$ 軸上にある円

$(5)$ $3$ 点 $(4 \ , \ -1) \ , \ (6 \ , \ 3) \ , \ (-3 \ , \ 0)$ を通る円

問(1)

次の円の方程式を求めよ。

中心が $(3 \ , \ -4)$ で原点を通る円

問(1)の解答例 1⃣

中心と原点の距離は

$$\begin{align*} \quad \sqrt{\left(3-0 \right)^{2}+\left(-4-0 \right)^{2}}=5 \end{align*}$$

これは半径に等しい。

問(1)の解答例 2⃣

$$\begin{align*} \quad \vdots \end{align*}$$

中心が $(3 \ , \ -4)$ で、半径が $5$ となるので、求める円の方程式は

$$\begin{align*} \quad \left(x-3 \right)^{2}+\left\{y-\left(-4 \right) \right\}^{2}=5^{2} \end{align*}$$

したがって

$$\begin{align*} \quad \left(x-3 \right)^{2}+\left(y+4 \right)^{2}=25 \end{align*}$$

問(2)

次の円の方程式を求めよ。

中心が $(1 \ , \ 2)$ で、$x$ 軸に接する円

問(2)の解答例 1⃣

中心と $x$ 軸の距離は $2$ となる。

これは半径に等しい。

問(2)の解答例 2⃣

$$\begin{align*} \quad \vdots \end{align*}$$

中心が $(1 \ , \ 2)$ で、半径が $2$ となるので、求める円の方程式は

$$\begin{align*} \quad \left(x-1 \right)^{2}+\left(y-2 \right)^{2}=2^{2} \end{align*}$$

したがって

$$\begin{align*} \quad \left(x-1 \right)^{2}+\left(y-2 \right)^{2}=4 \end{align*}$$

問(3)

次の円の方程式を求めよ。

$2$ 点 $(1 \ , \ 4) \ , \ (5 \ , \ 6)$ を直径の両端とする円

問(3)の解答例 1⃣

$2$ 点 $(1 \ , \ 4) \ , \ (5 \ , \ 6)$ を結ぶ線分の中点の座標は

$$\begin{align*} \quad \left(\frac{1+5}{2} \ , \ \frac{4+6}{2} \right) \end{align*}$$

よって

$$\begin{align*} \quad (3 \ , \ 5) \end{align*}$$

これが円の中心となる。

問(3)の解答例 2⃣

$$\begin{align*} \quad \vdots \end{align*}$$

半径は、中心 $(3 \ , \ 5)$ と点 $(1 \ , \ 4)$ の距離に等しいので

$$\begin{align*} \quad \sqrt{\left(1-3 \right)^{2}+\left(4-5 \right)^{2}}=\sqrt{5} \end{align*}$$

問(3)の解答例 3⃣

$$\begin{align*} \quad \vdots \end{align*}$$

中心が $(3 \ , \ 5)$ で、半径が $\sqrt{5}$ となるので、求める円の方程式は

$$\begin{align*} \quad \left(x-3 \right)^{2}+\left(y-5 \right)^{2}=\left(\sqrt{5} \right)^{2} \end{align*}$$

よって

$$\begin{align*} \quad \left(x-3 \right)^{2}+\left(y-5 \right)^{2}=5 \end{align*}$$

問(4)

次の円の方程式を求めよ。

$2$ 点 $(2 \ , \ 1) \ , \ (1 \ , \ 2)$ を通り、中心が $x$ 軸上にある円

問(4)の解答例 1⃣

円の中心が $x$ 軸上にあるので、中心の座標を $(a \ , \ 0)$ とする。

問(4)の解答例 2⃣

$$\begin{align*} \quad \vdots \end{align*}$$

$2$ 点 $(2 \ , \ 1) \ , \ (1 \ , \ 2)$ から中心 $(a \ , \ 0)$ へのそれぞれの距離が等しいので

$$\begin{align*} \quad \sqrt{\left(a-2 \right)^{2}+\left(0-1 \right)^{2}}=\sqrt{\left(a-1 \right)^{2}+\left(0-2 \right)^{2}} \end{align*}$$

問(4)の解答例 3⃣

$$\begin{align*} \quad \vdots \end{align*}$$ $$\begin{align*} \quad \sqrt{\left(a-2 \right)^{2}+\left(0-1 \right)^{2}}=\sqrt{\left(a-1 \right)^{2}+\left(0-2 \right)^{2}} \end{align*}$$

両辺を $2$ 乗すると

$$\begin{align*} \quad \left(a-2 \right)^{2}+\left(0-1 \right)^{2}=\left(a-1 \right)^{2}+\left(0-2 \right)^{2} \end{align*}$$

整理すると

$$\begin{align*} &\quad \left(a-2 \right)^{2}+1=\left(a-1 \right)^{2}+4 \\[ 7pt ] &\quad \left(a-2 \right)^{2}-\left(a-1 \right)^{2}=3 \\[ 7pt ] &\quad \left\{\left(a-2 \right)-\left(a-1 \right) \right\} \left\{\left(a-2 \right)+\left(a-1 \right) \right\}=3 \\[ 7pt ] &\quad \left(-1 \right) \cdot \left(2a-3 \right)=3 \\[ 7pt ] &\quad 2a-3=-3 \\[ 7pt ] &\quad \therefore \ a=0 \end{align*}$$

問(4)の解答例 4⃣

$$\begin{align*} \quad \vdots \end{align*}$$

$a=0$ から、半径は

$$\begin{align*} \quad \sqrt{\left(0-2 \right)^{2}+\left(0-1 \right)^{2}}=\sqrt{5} \end{align*}$$

問(4)の解答例 5⃣

$$\begin{align*} \quad \vdots \end{align*}$$

中心が $(0 \ , \ 0)$ で、半径が $\sqrt{5}$ となるので、求める円の方程式は

$$\begin{align*} \quad x^{2}+y^{2}=\left(\sqrt{5} \right)^{2} \end{align*}$$

よって

$$\begin{align*} \quad x^{2}+y^{2}=5 \end{align*}$$

中心が原点となる円の方程式

中心が原点、半径が $r$ のとき、円の方程式は

$$\begin{align*} \quad x^{2}+y^{2}=r^{2} \end{align*}$$