図形と方程式|円の方程式の基本形と一般形について

03/03/2020数学2,方程式,図形と方程式

図形と方程式 円、円と直線、2つの円

円の方程式の基本形と一般形を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

次の円の方程式を求めよ。
(1) 中心が $(3 \ , \ -4)$ で原点を通る円
(2) 中心が $(1 \ , \ 2)$ で、$x$ 軸に接する円
(3) 2点 $(1 \ , \ 4) \ , \ (5 \ , \ 6)$ を直径の両端とする円
(4) 2点 $(2 \ , \ 1) \ , \ (1 \ , \ 2)$ を通り、中心が $x$ 軸上にある円
(5) 3点 $(4 \ , \ -1) \ , \ (6 \ , \ 3) \ , \ (-3 \ , \ 0)$ を通る円

問(1)の解答・解説

問(1)

次の円の方程式を求めよ。
中心が $(3 \ , \ -4)$ で原点を通る円

作図は以下の通りです。

円の方程式を求める問題(1)の図

中心の座標が与えられているので、あとは半径が分かれば円の方程式が分かります。

半径の求め方については、図を見るとよく分かります。中心と円周上にある原点との距離が半径です。

問(1)の解答例 1⃣

中心と原点の距離は
\begin{equation*} \quad \sqrt{\bigl(3-0 \bigr)^{\scriptsize{2}}+\bigl(-4-0 \bigr)^{\scriptsize{2}}}=5 \end{equation*}
これは半径に等しい。

半径が分かったら、中心の座標と半径を基本形に代入します。代入ミスに気を付けましょう。

問(1)の解答例 2⃣

\begin{equation*} \quad \vdots \end{equation*}
中心が $(3 \ , \ -4)$ で、半径が $5$ となるので、求める円の方程式は
\begin{equation*} \quad \bigl(x-3 \bigr)^{\scriptsize{2}}+\Bigl\{y-\bigl(-4 \bigr) \Bigr\}^{\scriptsize{2}}=5^{\scriptsize{2}} \end{equation*}
したがって
\begin{equation*} \quad \bigl(x-3 \bigr)^{\scriptsize{2}}+\bigl(y+4 \bigr)^{\scriptsize{2}}=25 \end{equation*}

負の数を代入するときは要注意です。

問(2)の解答・解説

問(2)

次の円の方程式を求めよ。
中心が $(1 \ , \ 2)$ で、$x$ 軸に接する円

作図は以下の通りです。

円の方程式を求める問題(2)の図

例題(1)と同じように、中心の座標が与えられていますが、半径が分かりません。円がx軸に接することを利用して、半径を求めます。

問(2)の解答例 1⃣

中心と $x$ 軸の距離は $2$ となる。
これは半径に等しい。

半径が分かったので、中心の座標と半径を基本形に代入します。

問(2)の解答例 2⃣

\begin{equation*} \quad \vdots \end{equation*}
中心が $(1 \ , \ 2)$ で、半径が $2$ となるので、求める円の方程式は
\begin{equation*} \quad \bigl(x-1 \bigr)^{\scriptsize{2}}+\bigl(y-2 \bigr)^{\scriptsize{2}}=2^{\scriptsize{2}} \end{equation*}
したがって
\begin{equation*} \quad \bigl(x-1 \bigr)^{\scriptsize{2}}+\bigl(y-2 \bigr)^{\scriptsize{2}}=4 \end{equation*}

x軸やy軸に接する円の半径は、中心の座標から求めることができます。

軸に接する円の半径

  • $x$ 軸に接する円の半径
    • |中心の $y$ 座標|=(半径)
  • $y$ 軸に接する円の半径
    • |中心の $x$ 座標|=(半径)

作図すればすぐに気付きますが、覚えておくと便利です。

問(3)の解答・解説

問(3)

次の円の方程式を求めよ。
2点 $(1 \ , \ 4) \ , \ (5 \ , \ 6)$ を直径の両端とする円

作図は以下の通りです。

円の方程式を求める問題(3)の図

問(3)では、直径の両端となる2点の座標が与えられています。この2点を結ぶ線分が直径で、直径の中点が円の中心です。上手く作図できれば、中心の座標を大まかに予想できます。

問(3)の解答例 1⃣

2点 $(1 \ , \ 4) \ , \ (5 \ , \ 6)$ を結ぶ線分の中点の座標は
\begin{equation*} \quad \biggl(\frac{1+5}{2} \ , \ \frac{4+6}{2} \biggr) \end{equation*}
よって
\begin{equation*} \quad \bigl(3 \ , \ 5 \bigr) \end{equation*}
これが円の中心となる。

円の中心の座標が分かりました。この中心と直径の端点との距離が半径となります。両端の2点のうち、計算しやすい方を選びましょう。

問(3)の解答例 2⃣

\begin{equation*} \quad \vdots \end{equation*}
半径は、中心 $(3 \ , \ 5)$ と点 $(1 \ , \ 4)$ の距離に等しいので
\begin{equation*} \quad \sqrt{\bigl(1-3 \bigr)^{\scriptsize{2}}+\bigl(4-5 \bigr)^{\scriptsize{2}}}=\sqrt{5} \end{equation*}

中心の座標と半径が分かったので、基本形に代入します。

問(3)の解答例 3⃣

\begin{equation*} \quad \vdots \end{equation*}
中心が $(3 \ , \ 5)$ で、半径が $\sqrt{5}$ となるので、求める円の方程式は
\begin{equation*} \quad \bigl(x-3 \bigr)^{\scriptsize{2}}+\bigl(y-5 \bigr)^{\scriptsize{2}}=\bigl(\sqrt{5} \bigr)^{\scriptsize{2}} \end{equation*}
よって
\begin{equation*} \quad \bigl(x-3 \bigr)^{\scriptsize{2}}+\bigl(y-5 \bigr)^{\scriptsize{2}}=5 \end{equation*}

円の方程式を基本形で表す問題であれば、それほど難易度は高くありません。

問(4)の解答・解説

問(4)

次の円の方程式を求めよ。
2点 $(2 \ , \ 1) \ , \ (1 \ , \ 2)$ を通り、中心が $x$ 軸上にある円

作図は以下の通りです。

円の方程式を求める問題(4)の図

問(4)では、「中心」という言葉が出てきますが、座標は与えられていません。しかし、半径を求めるためにも中心の座標が必要です。ですから、中心の座標を自分で定義します。

中心がx軸上にあることに注意しましょう。

問(4)の解答例 1⃣

円の中心が $x$ 軸上にあるので、中心の座標を $(a \ , \ 0)$ とする。

x軸上にある点のy座標はつねに0であることに注意しましょう。

ここで、問題で与えられた2点は、円周上にあります。各点と中心の距離は、半径となるので等しくなります。このことを利用します。

問(4)の解答例 2⃣

\begin{equation*} \quad \vdots \end{equation*}
2点 $(2 \ , \ 1) \ , \ (1 \ , \ 2)$ から中心 $(a \ , \ 0)$ へのそれぞれの距離が等しいので
\begin{equation*} \quad \sqrt{\bigl(a-2 \bigr)^{\scriptsize{2}}+\bigl(0-1 \bigr)^{\scriptsize{2}}}=\sqrt{\bigl(a-1 \bigr)^{\scriptsize{2}}+\bigl(0-2 \bigr)^{\scriptsize{2}}} \end{equation*}

aについての方程式を導くことができました。これをaについて解きます。

問(4)の解答例 3⃣

\begin{equation*} \quad \vdots \end{equation*}
\begin{equation*} \quad \sqrt{\bigl(a-2 \bigr)^{\scriptsize{2}}+\bigl(0-1 \bigr)^{\scriptsize{2}}}=\sqrt{\bigl(a-1 \bigr)^{\scriptsize{2}}+\bigl(0-2 \bigr)^{\scriptsize{2}}} \end{equation*}
両辺を2乗すると
\begin{equation*} \quad \bigl(a-2 \bigr)^{\scriptsize{2}}+\bigl(0-1 \bigr)^{\scriptsize{2}}=\bigl(a-1 \bigr)^{\scriptsize{2}}+\bigl(0-2 \bigr)^{\scriptsize{2}} \end{equation*}
整理すると
\begin{align*} &\quad \bigl(a-2 \bigr)^{\scriptsize{2}}+1=\bigl(a-1 \bigr)^{\scriptsize{2}}+4 \\[ 10pt ] &\quad \bigl(a-2 \bigr)^{\scriptsize{2}}-\bigl(a-1 \bigr)^{\scriptsize{2}}=3 \\[ 10pt ] &\quad \Bigl\{\bigl(a-2 \bigr)-\bigl(a-1 \bigr) \Bigr\} \Bigl\{\bigl(a-2 \bigr)+\bigl(a-1 \bigr) \Bigr\}=3 \\[ 10pt ] &\quad \bigl(-1 \bigr) \cdot \bigl(2a-3 \bigr)=3 \\[ 10pt ] &\quad 2a-3=-3 \\[ 10pt ] &\quad \therefore \ a=0 \end{align*}

aは中心のx座標なので、中心が原点であることが分かります。次は半径を求めます。

問(4)の解答例 4⃣

\begin{equation*} \quad \vdots \end{equation*}
$a=0$ から、半径は
\begin{equation*} \quad \sqrt{\bigl(0-2 \bigr)^{\scriptsize{2}}+\bigl(0-1 \bigr)^{\scriptsize{2}}}=\sqrt{5} \end{equation*}

半径を求めるには、解答例 2⃣ の式の左辺、または右辺を利用します。中心と半径の情報が揃ったので、基本形に代入します。

問(4)の解答例 5⃣

\begin{equation*} \quad \vdots \end{equation*}
中心が $(0 \ , \ 0)$ で、半径が $\sqrt{5}$ となるので、求める円の方程式は
\begin{equation*} \quad x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}=\bigl(\sqrt{5} \bigr)^{\scriptsize{2}} \end{equation*}
よって
\begin{equation*} \quad x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}=5 \end{equation*}

中心が原点となるので、半径だけを代入します。

中心が原点となる円の方程式

中心が原点、半径が $r$ のとき、円の方程式は
\begin{equation*} \quad x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}=r^{\scriptsize{2}} \end{equation*}