図形と方程式|円に切り取られる線分の長さについて

円に切り取られる線分の長さを扱った問題を解いてみよう
次の問題を解いてみましょう。
問
問の解答・解説
円の中心が原点ではなくなっていることに注意しましょう。作図は以下の通りです。

例題と同じ要領で解きましょう。円の中心と直線の距離が円の半径に等しいことを利用します。
問の解答例 1⃣
弦の長さを求める式に、線分の長さを代入します。根号の中の計算に気を付けましょう。
問の解答例 2⃣
次は、別解の解法で解いてみましょう。
問の別解例
別解1では、2点間の距離と、解と係数の関係を利用します。
問の別解例1
解と係数の関係で得られる値が分数だと、計算が煩雑になります。解答例の方を採用した方が良いでしょう。
また、別解2の解法だと以下のようになります。傾きで作った直角三角形と、線分ABを斜辺とする直角三角形が相似であることを利用します。

直線の傾きが負なので、別解例ではm=-2をそのまま代入しています。長さの比から得られた式なので、本来なら正の数を代入すべきですが、式から分かるように傾きの値を2乗するので問題ありません。
例題の別解例2
別解1よりも計算が楽です。解答例以外なら、こちらの解法を採用した方が良いでしょう。
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さいごにもう一度まとめ
- 円に切り取られる線分の長さは図形の性質を利用しよう。
- 円の中心から弦に引いた垂線は、弦の垂直二等分線。
- 弦の長さは、三平方の定理を利用して求めよう。
- 2点間の距離を利用するときは、解と係数の関係を利用しよう。