場合の数|組合せについて

数学A

場合の数と確率

組合せを扱った問題を解いてみよう

次の問題を考えてみましょう。

組合せを扱った問題
問1,2

問1の解答・解説

問1

次の値を求めよ。

\begin{align*} &(i) \quad {}_6 \mathrm{ C }_2 \\[ 7pt ] &(ii) \quad {}_8 \mathrm{ C }_6 \end{align*}

問1は、組合せの記号Cの意味を読み取り、計算する問題です。定義の式に対応する数を代入して計算します。式を使いながら覚えていきましょう。

62は、異なる6個から2個を選ぶ組合せの総数のことです。定義の式にn=6,r=2を代入して計算します。

問1(i)の解答例

\begin{align*} \quad {}_6 \mathrm{ C }_2 &= \frac{{}_6 \mathrm{ P }_2}{2!} \\[ 7pt ] &= \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \\[ 7pt ] &= 15 \end{align*}

計算するとき、約分を優先して数をできるだけ小さくしましょう。

86は、異なる8個から6個を選ぶ組合せの総数のことです。定義の式にn=8,r=6を代入しても良いのですが、先に組合せの総数の性質(その2)を利用します。

「異なる8個から6個を選ぶ」ことで、結果的に「異なる8個から2個を残す」ことになります。ですから「異なる8個から残す2個を選ぶ」と言い換えることができます。

問1(ii)の解答例

\begin{align*} \quad {}_8 \mathrm{ C }_6 &= {}_8 \mathrm{ C }_2 \\[ 7pt ] &= \frac{{}_8 \mathrm{ P }_2}{2!} \\[ 7pt ] &= \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} \\[ 7pt ] &= 28 \end{align*}

なお、性質を使わずに解くと以下のようになります。

問1(ii)の別解例

\begin{align*} \quad {}_8 \mathrm{ C }_6 &= \frac{{}_8 \mathrm{ P }_6}{6!} \\[ 7pt ] &= \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\[ 7pt ] &= \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} \\[ 7pt ] &= 28 \end{align*}

別解例の計算過程を見ると、余分な計算をしていることが分かります。計算ミスを防ぐために、性質を上手に利用して易しい計算ができるようにしましょう。

nrにおいて、rの値が小さければ小さいほど計算はラクになる。

問1のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

組合せを扱った問題第1問の解答例
問1のポイントと解答例

問2の解答・解説

問2

男子 $7$ 人と女子 $5$ 人の男女 $12$ 人から $3$ 人を選ぶとき、次の選び方は何通りあるか。

$(i) \quad 3$ 人の選び方の総数

$(ii) \quad$ 男子 $2$ 人と女子 $1$ 人をそれぞれ選ぶ

$(ii) \quad$ 少なくとも女子を $1$ 人を選ぶ

問2は、色々な場合の組合せの総数を求める問題です。上手な数え方を考えましょう。

問2(i)では、男女に関わりなく3人を選べばよいので、12人から3人を選ぶ組合せの総数を求めます。

問2(i)の解答例

男女 $12$ 人から $3$ 人を選ぶ組合せの総数は

\begin{align*} \quad {}_{12} \mathrm{ C }_3 &= \frac{{}_{12} \mathrm{ P }_3}{3!} \\[ 7pt ] &= \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} \\[ 7pt ] &= 220 \ \text{(通り)} \end{align*}

問2(i)のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

組合せを扱った問題第2問(i)の解答例
問2(i)のポイントと解答例

問2(ii)では、男子2人と女子1人を選びます。男子を選ぶとき、女子の組合せは関係ありませんし、その逆も同じです。ですから、男子と女子の選び方を別々に考えることが大切です。

男子2人の選び方は、7人から2人を選ぶときの組合せの総数です。女子1人の選び方は、5人から1人を選ぶときの組合せの総数です。

男子2人の選び方それぞれについて、女子1人の選び方があるので、積の法則を使って、男子2人、女子1人を選ぶ組合せの総数を求めます。

問2(ii)の解答例

男子 $2$ 人の選び方のそれぞれについて、女子 $1$ 人の選び方がある。

求める組合せの総数は、積の法則より

\begin{align*} \quad {}_7 \mathrm{ C }_2 \times {}_5 \mathrm{ C }_1 &= \frac{{}_7 \mathrm{ P }_2}{2!} \times \frac{{}_5 \mathrm{ P }_1}{1!} \\[ 7pt ] &= \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} \times \frac{5}{1} \\[ 7pt ] &= 105 \ \text{(通り)} \end{align*}

男子と女子の選び方を別々に考える。

問2(ii)のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

組合せを扱った問題第2問(ii)の解答例
問2(ii)のポイントと解答例

問2(iii)では、少なくとも女子を1人を選びます。「少なくとも」という文言から、女子の人数は最低でも1人いれば何人いても良いということです。

この場合、男女の選び方は以下の3通りが考えられます。

少なくとも女子1人を選ぶ組合せ

  • 男子2人と女子1人(問2(ii))
  • 男子1人と女子2人
  • 男子0人と女子3人

この3種類の組合せは同時に起こらない組合せです。このとき、少なくとも女子1人を選ぶ組合せの総数は、3種類の組合せの和になります。

このように「少なくとも~」という文言がある場合、それぞれの場合ごとに場合の数を求める必要があり、煩雑になりやすくなります。その手間を省くために、集合で学習した補集合の考え方を利用します。

「少なくとも女子1人を選ぶ組合せ」の補集合に相当するのは、「女子を1人も選ばない組合せ」言い換えると「男子3人を選ぶ組合せ」です。男子3人の選び方は73通りです。

男女に関わりなく3人を選ぶ選び方は、問2(i)の結果から123通りでした。この選び方から男子3人の選び方を除けば、女子が必ず含まれる組合せだけが残ります。

問2(iii)の解答例

少なくとも女子 $1$ 人を選ぶには、すべての組合せから $3$ 人とも男子になる組合せを除けば良い。

$3$ 人とも男子になる選び方の総数は ${}_7 \mathrm{ C }_3$ 通りであり、また $(i)$ から

\begin{align*} \quad {}_{12} \mathrm{ C }_3 – {}_7 \mathrm{ C }_3 &= 220- \frac{{}_7 \mathrm{ P }_3}{3!} \\[ 7pt ] &= 220- \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} \\[ 7pt ] &= 220- 35 \\[ 7pt ] &= 185 \ \text{(通り)} \end{align*}

問2(iii)のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

組合せを扱った問題第2問(iii)の解答例
問2(iii)のポイントと解答例

なお、3つの場合ごとに選び方を考えて計算すると以下のようになります。

少なくとも女子1人を選ぶ組合せ

  • 男子2人と女子1人 … 72×51通り
  • 男子1人と女子2人… 71×52通り
  • 男子0人と女子3人… 53(=52)通り

問2(iii)の別解例

少なくとも女子 $1$ 人を選ぶ組合せは、男子 $2$ 人と女子 $1$ 人、男子 $1$ 人と女子 $2$ 人、$3$ 人とも女子の $3$ 通りある。

これらの組合せは同時に起こらないので、求める組合せの総数は

\begin{align*} \quad &{}_7 \mathrm{ C }_2 \times {}_5 \mathrm{ C }_1 + {}_7 \mathrm{ C }_1 \times {}_5 \mathrm{ C }_2 + {}_5 \mathrm{ C }_3 \\[ 10pt ] = \ &{}_7 \mathrm{ C }_2 \times {}_5 \mathrm{ C }_1 + {}_7 \mathrm{ C }_1 \times {}_5 \mathrm{ C }_2 + {}_5 \mathrm{ C }_2 \\[ 10pt ] = \ &\frac{{}_7 \mathrm{ P }_2}{2!} \times \frac{{}_5 \mathrm{ P }_1}{1!} + \frac{{}_7 \mathrm{ P }_1}{1!} \times \frac{{}_5 \mathrm{ P }_2}{2!} + \frac{{}_5 \mathrm{ P }_2}{2!} \\[ 10pt ] = \ &\frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} \times \frac{5}{1}+\frac{7}{1} \times \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1}+\frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \\[ 10pt ] = \ &105+70+10 \\[ 7pt ] = \ &185 \ \text{(通り)} \end{align*}

それほど難しい計算ではありませんが、それでも面倒なのは確かです。

「少なくとも~」と言う表現が出てきたら、補集合(余事象)を使って求めよう。

順列や組合せを表す記号P,Cにはちゃんと意味があります。意味を理解するには、ことばに置き換えて考えることが大切です。

記号や式をことばに置き換える習慣は、一般化された公式や定理を扱う場合に効力を発揮します。

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さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう

  • 組合せでは、順番を考慮しない。
  • 組合せの総数は、順列の総数から組合せごとの重複ぶんを除いた場合の数。
  • 組合せの樹形図では、重複を防ぐためにアルファベット順に注意しよう。
  • 組合せの総数の性質を利用して、計算をできるだけ簡単にしよう。
  • 「少なくとも」は複数の場合を含むことばなので、補集合の考え方を利用しよう。